3.4: Застосування детермінанта

Результати

1. Використовуйте детермінанти, щоб визначити, чи має матриця зворотне, і оцініть зворотне за допомогою кофакторів.
2. Застосуйте правило Крамера для вирішення\(2\times 2\) або\(3\times 3\) лінійної системи.
3. Задані точки даних, знайдіть відповідний інтерполяційний поліном і використовуйте його для оцінки точок.

Формула для зворотного

Детермінант матриці також надає спосіб знайти зворотну матрицю. Згадаймо визначення зворотної матриці у Визначенні 2.6.1. Ми говоримо\(A^{-1}\), що,\(n \times n\) матриця, є оберненою\(A\), також\(n \times n\), якщо\(AA^{-1} = I\) і\(A^{-1}A=I\).

Тепер ми визначаємо нову матрицю, яка називається матрицею кофактора\(A\). Кофакторною матрицею\(A\) є матриця,\(ij^{th}\) запис якої є\(ij^{th}\) кофактором\(A\). Формальне визначення виглядає наступним чином.

Визначення\(\PageIndex{1}\): The Cofactor Matrix

\(A=\left[ a_{ij}\right]\)Дозволяти бути\(n\times n\) матрицею. Потім кофакторна матриця\(A\)\(\mathrm{cof}\left( A\right)\), позначається, визначається,\(\mathrm{cof}\left( A\right) =\left[ \mathrm{cof}\left(A\right)_{ij}\right]\) де\(\mathrm{cof}\left(A\right)_{ij}\) знаходиться\(ij^{th}\) кофактор\(A\).

Зверніть увагу, що\(\mathrm{cof}\left(A\right)_{ij}\) позначає\(ij^{th}\) запис матриці кофактора.

Ми будемо використовувати кофакторну матрицю для створення формули для зворотного\(A\). Спочатку ми визначаємо adjugate\(A\) to be транспонування матриці кофактора. Ми також можемо назвати цю матрицю класичною суміжною\(A\), і позначимо її по\(adj \left(A\right)\).

У конкретному випадку, де\(A\)\(2 \times 2\) матриця, задана\[A = \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right]\nonumber \] тоді\({adj}\left(A\right)\), задається\[{adj}\left(A\right) = \left[ \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right]\nonumber \]

Загалом, завжди\({adj}\left(A\right)\) можна знайти, взявши транспонування кофакторної матриці\(A\). Наступна теорема дає формулу\(A^{-1}\) використання детермінанта та ад'югата\(A\).

Теорема\(\PageIndex{1}\): The Inverse and the Determinant

\(A\)Дозволяти бути\(n\times n\) матрицею. Тоді\[A \; {adj}\left(A\right) = {adj}\left(A\right)A = {\det \left(A\right)} I\nonumber \]

Причому\(A\) є оборотним, якщо і тільки якщо\(\det \left(A\right) \neq 0\). У цьому випадку ми маємо:\[A^{-1} = \frac{1}{\det \left(A\right)} {adj}\left(A\right)\nonumber \]

Зверніть увагу, що перша формула тримає для будь-якої\(n \times n\) матриці\(A\), і у випадку\(A\) є оборотним ми насправді є формула для\(A^{-1}\).

Розглянемо наступний приклад.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Find Inverse Using the Determinant

Знайдіть обернену матрицю,\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] використовуючи формулу в теоремі\(\PageIndex{1}\).

Рішення

Згідно з теоремою\(\PageIndex{1}\),\[A^{-1} = \frac{1}{\det \left(A\right)} {adj}\left(A\right)\nonumber \]

Спочатку знайдемо детермінант цієї матриці. Використовуючи теореми 3.2.1, 3.2.2 та 3.2.4, ми можемо спочатку спростити матрицю за допомогою рядкових операцій. По-перше, додайте\(-3\) раз перший ряд до другого ряду. Потім додайте\(-1\) раз перший ряд до третього ряду, щоб отримати\[B = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & -8 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right]\nonumber \] За теоремою 3.2.4,\(\det \left(A\right) = \det \left(B\right)\). За теоремою 3.1.2,\(\det \left(B\right) = 1 \times -6 \times -2 = 12\). Отже,\(\det \left(A\right) = 12\).

Тепер нам потрібно знайти\({adj} \left(A\right)\). Для цього спочатку знайдемо кофакторну матрицю\(A\). Це задається\[\mathrm{cof}\left( A\right) = \left[ \begin{array}{rrr} -2 & -2 & 6 \\ 4 & -2 & 0 \\ 2 & 8 & -6 \end{array} \right]\nonumber \] Here,\(ij^{th}\) запис є\(ij^{th}\) кофактором вихідної матриці\(A\), який ви можете перевірити. Тому з \(\PageIndex{1}\)теореми\(A\) обернене дається\[A^{-1} = \frac{1}{12}\left[ \begin{array}{rrr} -2 & -2 & 6 \\ 4 & -2 & 0 \\ 2 & 8 & -6 \end{array} \right] ^{T}= \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{array} \right]\nonumber \]

Пам'ятайте, що ми завжди можемо перевірити нашу відповідь для\(A^{-1}\). Обчисліть продукт\(AA^{-1}\)\(A^{-1}A\) і переконайтеся, що кожен продукт дорівнює\(I\).

Обчислити\(A^{-1}A\) наступним чином\[A^{-1}A = \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] = I\nonumber \] Ви можете переконатися, що\(AA^{-1} = I\) і, отже, наша відповідь правильна.

Ми розглянемо ще один приклад того, як використовувати цю формулу для пошуку\(A^{-1}\).

Приклад\(\PageIndex{2}\): Find the Inverse From a Formula

Знайдіть обернену матрицю,\[A=\left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \end{array} \right]\nonumber \] використовуючи формулу, наведену в теоремі\(\PageIndex{1}\).

Рішення

Для початку нам потрібно знайти\(\det \left(A\right)\). Цей крок залишається як вправа, і ви повинні переконатися, що\(\det \left(A\right) = \frac{1}{6}.\) зворотний, отже, дорівнює\[A^{-1} = \frac{1}{(1/6)}\; {adj} \left(A\right) = 6\; {adj} \left(A\right)\nonumber \]

Продовжуємо обчислювати наступним чином. Тут ми показуємо\(2 \times 2\) детермінанти, необхідні для пошуку кофакторів. \[A^{-1} = 6\left[ \begin{array}{rrr} \left| \begin{array}{rr} \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & -\left| \begin{array}{rr} -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & \left| \begin{array}{rr} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} \end{array} \right| \\ -\left| \begin{array}{rr} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & \left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & -\left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{rr} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & -\left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & \left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array} \right| \end{array} \right] ^{T}\nonumber \]

Розширюючи всі\(2\times 2\) детермінанти, це дає\[A^{-1} = 6\left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array} \right] ^{T}= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Знову ж таки, ви завжди можете перевірити свою роботу, множивши\(A^{-1}A\)\(AA^{-1}\) і забезпечивши ці продукти рівними\(I\). \[A^{-1}A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]Це говорить нам про те, що наш розрахунок\(A^{-1}\) для правильний. Це залишається читачеві, щоб перевірити це\(AA^{-1} = I\).

Крок перевірки дуже важливий, оскільки це простий спосіб перевірити свою роботу! Якщо ви множите\(A^{-1}A\)\(AA^{-1}\) і ці продукти не обидва рівні\(I\), обов'язково поверніться назад і двічі перевірте кожен крок. Одна поширена помилка полягає в тому, щоб забути взяти транспонування матриці кофактора, тому обов'язково виконайте цей крок.

Зараз ми доведемо теорему\(\PageIndex{1}\).

Теорема\(\PageIndex{1}\): The Inverse and the Determinant

Доказ

(Теореми\(\PageIndex{1}\)) Нагадаємо, що\((i,j)\) -запис\({adj}(A)\) дорівнює\(\mathrm{cof}(A)_{ji}\). Таким чином,\((i,j)\) -entry of\(B=A\cdot {adj}(A)\) is:\[B_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik} {adj} (A)_{kj}= \sum_{k=1}^n a_{ik} \mathrm{cof} (A)_{jk}\nonumber \] За теоремою про розширення кофактора ми бачимо, що цей вираз for\(B_{ij}\) дорівнює визначнику матриці, отриманої з\(A\) заміною її\(j\) го рядка на \(a_{i1}, a_{i2}, \dots a_{in}\)— тобто його\(i\) другий ряд.

Якщо\(i=j\) тоді ця матриця\(A\) сама по собі і тому\(B_{ii}=\det A\). Якщо з іншого боку\(i\neq j\), то ця матриця має свій\(i\) -й рядок, рівний її\(j\) -му рядку, а значить і\(B_{ij}=0\) в цьому випадку. Таким чином, ми отримуємо:\[A \; {adj}\left(A\right) = {\det \left(A\right)} I\nonumber \] Аналогічно ми можемо переконатися, що:\[{adj}\left(A\right)A = {\det \left(A\right)} I\nonumber \] І це доводить першу частину теореми.

Далі якщо\(A\) обертається, то по теоремі 3.2.5 маємо:\[1 = \det \left( I \right) = \det \left( A A^{-1} \right) = \det \left( A \right) \det \left( A^{-1} \right)\nonumber \] і таким чином\(\det \left( A \right) \neq 0\). Рівнозначно, якщо\(\det \left( A \right) = 0\), то не\(A\) є оборотним.

Нарешті\(\det \left( A \right) \neq 0\), якщо, то наведена вище формула показує, що\(A\) є оборотним і що:\[A^{-1} = \frac{1}{\det \left(A\right)} {adj}\left(A\right)\nonumber \]

На цьому доказ завершено.

Цей метод пошуку зворотного\(A\) є корисним у багатьох контекстах. Зокрема, це корисно для складних матриць, де записи є функціями, а не числами.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Inverse for Non-Constant Matrix

Припустимо,\[A\left( t\right) =\left[ \begin{array}{ccc} e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t \end{array} \right]\nonumber \] Покажіть, що\(A\left( t\right) ^{-1}\) існує, а потім знайдіть його.

Рішення

Перша примітка\(\det \left( A\left( t\right) \right) = e^{t}(\cos^2 t + \sin^2 t) = e^{t}\neq 0\) так\(A\left( t\right) ^{-1}\) існує.

Матриця кофактора є\[C\left( t\right) =\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right]\nonumber \] і тому зворотна\[\frac{1}{e^{t}}\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right] ^{T}= \left[ \begin{array}{ccc} e^{-t} & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t \end{array} \right]\nonumber \]

Правило Крамера

Інший контекст, в якому важлива формула,\(\PageIndex{1}\) наведена в теоремі, - Правило Крамера. Нагадаємо, що ми можемо уявити систему лінійних рівнянь у вигляді\(AX=B\), де розв'язки цієї системи задаються\(X\). Правило Крамера дає формулу для розв'язків\(X\) в окремому випадку, яка\(A\) являє собою квадратну оборотну матрицю. Зверніть увагу, що це правило не застосовується, якщо у вас є система рівнянь, в якій існує інша кількість рівнянь, ніж змінні (іншими словами, коли\(A\) не квадрат), або коли не\(A\) є оборотним.

Припустимо, у нас є система рівнянь\(AX=B\), заданих, і ми хочемо знайти рішення,\(X\) які задовольняють цій системі. Потім нагадайте, що якщо\(A^{-1}\) існує,\[\begin{aligned} AX&=B \\ A^{-1}\left(AX\right)&=A^{-1}B \\ \left(A^{-1}A\right)X&=A^{-1}B \\ IX&=A^{-1}B\\ X &= A^{-1}B\end{aligned}\] Отже, рішення\(X\) системи даються\(X=A^{-1}B\). Оскільки ми припускаємо, що\(A^{-1}\) існує, ми можемо використовувати формулу для\(A^{-1}\) наведеної вище. Підставляючи цю формулу в рівняння для\(X\), у нас є\[X=A^{-1}B=\frac{1}{\det \left( A\right) }{adj}\left( A\right)B\nonumber \]\(x_i\)\(b_j\) Дозволяти бути\(i^{th}\) запис\(X\) і бути\(j^{th}\) запис\(B\). Тоді це рівняння стає\[x_i = \sum_{j=1}^{n}\left[ a_{ij}\right]^{-1}b_{j}=\sum_{j=1}^{n}\frac{1} {\det \left( A\right) } {adj}\left( A\right) _{ij}b_{j}\nonumber \] там, де\({adj}\left(A\right)_{ij}\) є\(ij^{th}\) запис\({adj}\left(A\right)\).

За формулою розширення детермінанта вздовж стовпця,\[x_{i}=\frac{1}{\det \left( A\right) }\det \left[ \begin{array}{ccccc} \ast & \cdots & b_{1} & \cdots & \ast \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \ast & \cdots & b_{n} & \cdots & \ast \end{array} \right]\nonumber \] де тут\(i^{th}\) стовпець\(A\) замінюється вектором стовпця\(\left[ b_{1}\cdots \cdot ,b_{n}\right] ^{T}\). Визначник цієї модифікованої матриці береться і ділиться на\(\det \left( A\right)\). Ця формула відома як правило Крамера.

Ми формально визначаємо цей метод зараз.

Порядок дій\(\PageIndex{1}\): Using Cramer’s Rule

Припустимо,\(A\) що це\(n\times n\) оборотна матриця, і ми хочемо вирішити систему\(AX=B\) для\(X =\left[ x_{1},\cdots ,x_{n}\right] ^{T}.\) Тоді правило Крамера говорить,\[x_{i}= \frac{\det \left(A_{i}\right)}{\det \left(A\right)}\nonumber \] де\(A_{i}\) знаходиться матриця, отримана заміною\(i^{th}\) стовпця \(A\)з матрицею стовпців\[B = \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right]\nonumber \]

Проілюструємо цю процедуру в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{4}\): Using Cramer's Rule

Знайти,\(x,y,z\) якщо\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]\nonumber \]

Рішення

Ми будемо використовувати метод, описаний в \(\PageIndex{1}\)Procedure, щоб знайти значення\(x,y,z\), для яких дає рішення цієї системи. Нехай\[B = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]\nonumber\]

Для того щоб знайти\(x\), обчислюємо,\[x = \frac{\det \left(A_{1}\right)}{\det \left(A\right)}\nonumber \] де\(A_1\) знаходиться матриця, отримана від заміни першого стовпця\(A\) на\(B\).

Отже\(A_1\), дається\[A_1 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]

Тому,\[x= \frac{\det \left(A_{1}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=\frac{1}{2}\nonumber \]

Аналогічно знайти\(y\) будуємо,\(A_2\) замінивши другий стовпець\(A\) з\(B\). Отже\(A_2\), дається\[A_2 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]

Тому,\[y=\frac{\det \left(A_{2}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=-\frac{1}{7}\nonumber \]

Аналогічно\(A_3\) будується шляхом заміни третьої колонки на\(A\) с\(B\). Потім\(A_3\), дається\[A_3 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{array} \right]\nonumber \]

Тому\(z\) розраховується наступним чином.

\[z= \frac{\det \left(A_{3}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=\frac{11}{14}\nonumber \]

Правило Крамера дає вам ще один інструмент, який слід враховувати при вирішенні системи лінійних рівнянь.

Ми також можемо використовувати Правило Крамера для систем нелінійних рівнянь. Розглянемо наступну систему, де матриця\(A\) має функції, а не числа для записів.

Використання правила Крамера

Приклад\(\PageIndex{5}\): Use Cramer's Rule for Non-Constant Matrix

Вирішити для\(z\) якщо\[\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ t \\ {0.05in}t^{2} \end{array} \right]\nonumber \]

Рішення

Нас просять знайти значення\(z\) в розчині. Вирішити будемо за допомогою правила Крамера. Таким чином\[z={.05in} \frac{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & e^{t}\cos t & t \\ 0 & -e^{t}\sin t & t^{2} \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right| }= t\left( \left( \cos t\right) t+\sin t\right) e^{-t}\nonumber \]

Інтерполяція поліномів

При вивченні набору даних, який пов'язує змінні\(y\),\(x\) і може бути так, що ми можемо використовувати поліном для «підгонки» до даних. Якщо такий многочлен може бути встановлений, він може бути використаний для оцінки значень\(x\) і\(y\) які не були надані.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад\(\PageIndex{6}\): Polynomial Interpolation

Задані точки даних\((1,4), (2,9), (3,12)\), знайти інтерполяційний поліном\(p(x)\) ступеня не більше,\(2\) а потім оцінити значення, відповідне\(x = \frac{1}{2}\).

Рішення

Ми хочемо знайти многочлен, заданий\[p(x) = r_0 + r_1x_1 + r_2x_2^2\nonumber \] таким, що\(p(1)=4, p(2)=9\) і\(p(3)=12\). Щоб знайти цей многочлен, підставляємо відомі значення в for\(x\) і вирішуємо for\(r_0, r_1\), і\(r_2\). \[\begin{aligned} p(1) &= r_0 + r_1 + r_2 = 4\\ p(2) &= r_0 + 2r_1 + 4r_2 = 9\\ p(3) &= r_0 + 3r_1 + 9r_2 = 12\end{aligned}\]

Написуючи доповнену матрицю, ми маємо\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 9 \\ 1 & 3 & 9 & 12 \end{array} \right]\nonumber\]

Після операцій з рядками отримана матриця\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right]\nonumber \]

Тому рішення системи є\(r_0 = -3, r_1 = 8, r_2 = -1\) і необхідний інтерполяційний поліном є\[p(x) = -3 + 8x - x^2\nonumber \]

Щоб оцінити значення для\(x = \frac{1}{2}\), обчислюємо\(p(\frac{1}{2})\):\[\begin{aligned} p(\frac{1}{2}) &= -3 + 8(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2\\ &= -3 + 4 - \frac{1}{4} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}\]

Ця процедура може бути використана для будь-якої кількості точок даних, і будь-якого ступеня полінома. Кроки викладені нижче.

Порядок дій\(\PageIndex{2}\): Finding an Interpolation Polynomial

Припустимо, що\(x\)\(y\) наведені значення і відповідні значення, такі, що фактична взаємозв'язок між\(x\) і\(y\) невідома. Потім значення\(y\) можуть бути оцінені за допомогою інтерполяційного полінома\(p(x)\). Якщо вказано\(x_1, ..., x_n\) та відповідне\(y_1, ..., y_n\),\(p(x)\) процедура пошуку наступна:

1. Бажаний многочлен\(p(x)\) задається\[p(x) = r_0 + r_1 x + r_2 x^2 + ... + r_{n-1}x^{n-1}\nonumber \]
2. \(p(x_i) = y_i\)для всіх\(i = 1, 2, ...,n\) так, щоб\[\begin{array}{c} r_0 + r_1x_1 + r_2 x_1^2 + ... + r_{n-1}x_1^{n-1} = y_1 \\ r_0 + r_1x_2 + r_2 x_2^2 + ... + r_{n-1}x_2^{n-1} = y_2 \\ \vdots \\ r_0 + r_1x_n + r_2 x_n^2 + ... + r_{n-1}x_n^{n-1} = y_n \end{array}\nonumber \]
3. Налаштуйте доповнену матрицю цієї системи рівнянь\[\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} & y_1 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} & y_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} & y_n \\ \end{array} \right]\nonumber \]
4. Рішення цієї системи призведе до отримання унікального рішення\(r_0, r_1, \cdots, r_{n-1}\). Використовуйте ці значення для побудови\(p(x)\) та оцінки значення\(p(a)\) для будь-якого\(x=a\).

Ця процедура мотивує наступну теорему.

Теорема\(\PageIndex{2}\): Polynomial Interpolation

З огляду на\(n\) дані точки\((x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)\) з\(x_i\) disfinctive, існує унікальний многочлен\(p(x) = r_0 + r_1x + r_2x^2 + \cdots + r_{n-1}x^{n-1}\) такий, що\(p(x_i) = y_i\) для\(i=1,2,\cdots, n\). Отриманий\(p(x)\) многочлен називається інтерполяційним поліномом для точок даних.

Завершуємо цей розділ ще одним прикладом.

Приклад\(\PageIndex{7}\): Polynomial Interpolation

Розглянемо дані точки\((0,1), (1,2), (3,22), (5,66)\). Знайдіть інтерполяційний многочлен\(p(x)\) ступеня не більше трьох, і оцініть значення\(p(2)\).

Рішення

Бажаний многочлен\(p(x)\) задається:\[p(x) = r_0 + r_1 x + r_2x^2 + r_3x^3\nonumber \]

Використовуючи задані точки, система рівнянь\[\begin{aligned} p(0) &= r_0 = 1 \\ p(1) &= r_0 + r_1 + r_2 + r_3 = 2 \\ p(3) &= r_0 + 3r_1 + 9r_2 + 27r_3 = 22 \\ p(5) &= r_0 + 5r_1 + 25r_2 + 125r_3 = 66\end{aligned}\]

Доповнена матриця задається:\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & 22 \\ 1 & 5 & 25 & 125 & 66 \end{array} \right]\nonumber\]

Отримана матриця\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right]\nonumber\]

Тому\(r_0 = 1, r_1 = -2, r_2 = 3, r_3 = 0\) і\(p(x) = 1 -2x + 3x^2\). Щоб оцінити величину\(p(2)\), обчислюємо\(p(2) = 1 -2(2) + 3(2^2) = 1 - 4 + 12 = 9\).