3.4: Застосування детермінанта

Результати

1. Використовуйте детермінанти, щоб визначити, чи має матриця зворотне, і оцініть зворотне за допомогою кофакторів.
2. Застосуйте правило Крамера для вирішення$2\times 2$ або$3\times 3$ лінійної системи.
3. Задані точки даних, знайдіть відповідний інтерполяційний поліном і використовуйте його для оцінки точок.

Формула для зворотного

Детермінант матриці також надає спосіб знайти зворотну матрицю. Згадаймо визначення зворотної матриці у Визначенні 2.6.1. Ми говоримо$A^{-1}$, що,$n \times n$ матриця, є оберненою$A$, також$n \times n$, якщо$AA^{-1} = I$ і$A^{-1}A=I$.

Тепер ми визначаємо нову матрицю, яка називається матрицею кофактора$A$. Кофакторною матрицею$A$ є матриця,$ij^{th}$ запис якої є$ij^{th}$ кофактором$A$. Формальне визначення виглядає наступним чином.

Визначення$\PageIndex{1}$: The Cofactor Matrix

$A=\left[ a_{ij}\right]$Дозволяти бути$n\times n$ матрицею. Потім кофакторна матриця$A$$\mathrm{cof}\left( A\right)$, позначається, визначається,$\mathrm{cof}\left( A\right) =\left[ \mathrm{cof}\left(A\right)_{ij}\right]$ де$\mathrm{cof}\left(A\right)_{ij}$ знаходиться$ij^{th}$ кофактор$A$.

Зверніть увагу, що$\mathrm{cof}\left(A\right)_{ij}$ позначає$ij^{th}$ запис матриці кофактора.

Ми будемо використовувати кофакторну матрицю для створення формули для зворотного$A$. Спочатку ми визначаємо adjugate$A$ to be транспонування матриці кофактора. Ми також можемо назвати цю матрицю класичною суміжною$A$, і позначимо її по$adj \left(A\right)$.

У конкретному випадку, де$A$$2 \times 2$ матриця, задана $$A = \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right]\nonumber$$ тоді${adj}\left(A\right)$, задається $${adj}\left(A\right) = \left[ \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right]\nonumber$$

Загалом, завжди${adj}\left(A\right)$ можна знайти, взявши транспонування кофакторної матриці$A$. Наступна теорема дає формулу$A^{-1}$ використання детермінанта та ад'югата$A$.

Теорема$\PageIndex{1}$: The Inverse and the Determinant

$A$Дозволяти бути$n\times n$ матрицею. Тоді $$A \; {adj}\left(A\right) = {adj}\left(A\right)A = {\det \left(A\right)} I\nonumber$$

Причому$A$ є оборотним, якщо і тільки якщо$\det \left(A\right) \neq 0$. У цьому випадку ми маємо: $$A^{-1} = \frac{1}{\det \left(A\right)} {adj}\left(A\right)\nonumber$$

Зверніть увагу, що перша формула тримає для будь-якої$n \times n$ матриці$A$, і у випадку$A$ є оборотним ми насправді є формула для$A^{-1}$.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{1}$: Find Inverse Using the Determinant

Знайдіть обернену матрицю, $$A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ використовуючи формулу в теоремі$\PageIndex{1}$.

Рішення

Згідно з теоремою$\PageIndex{1}$, $$A^{-1} = \frac{1}{\det \left(A\right)} {adj}\left(A\right)\nonumber$$

Спочатку знайдемо детермінант цієї матриці. Використовуючи теореми 3.2.1, 3.2.2 та 3.2.4, ми можемо спочатку спростити матрицю за допомогою рядкових операцій. По-перше, додайте$-3$ раз перший ряд до другого ряду. Потім додайте$-1$ раз перший ряд до третього ряду, щоб отримати $$B = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & -8 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right]\nonumber$$ За теоремою 3.2.4,$\det \left(A\right) = \det \left(B\right)$. За теоремою 3.1.2,$\det \left(B\right) = 1 \times -6 \times -2 = 12$. Отже,$\det \left(A\right) = 12$.

Тепер нам потрібно знайти${adj} \left(A\right)$. Для цього спочатку знайдемо кофакторну матрицю$A$. Це задається $$\mathrm{cof}\left( A\right) = \left[ \begin{array}{rrr} -2 & -2 & 6 \\ 4 & -2 & 0 \\ 2 & 8 & -6 \end{array} \right]\nonumber$$ Here,$ij^{th}$ запис є$ij^{th}$ кофактором вихідної матриці$A$, який ви можете перевірити. Тому з $\PageIndex{1}$теореми$A$ обернене дається $$A^{-1} = \frac{1}{12}\left[ \begin{array}{rrr} -2 & -2 & 6 \\ 4 & -2 & 0 \\ 2 & 8 & -6 \end{array} \right] ^{T}= \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{array} \right]\nonumber$$

Пам'ятайте, що ми завжди можемо перевірити нашу відповідь для$A^{-1}$. Обчисліть продукт$AA^{-1}$$A^{-1}A$ і переконайтеся, що кожен продукт дорівнює$I$.

Обчислити$A^{-1}A$ наступним чином $$A^{-1}A = \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] = I\nonumber$$ Ви можете переконатися, що$AA^{-1} = I$ і, отже, наша відповідь правильна.

Ми розглянемо ще один приклад того, як використовувати цю формулу для пошуку$A^{-1}$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Find the Inverse From a Formula

Знайдіть обернену матрицю, $$A=\left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \end{array} \right]\nonumber$$ використовуючи формулу, наведену в теоремі$\PageIndex{1}$.

Рішення

Для початку нам потрібно знайти$\det \left(A\right)$. Цей крок залишається як вправа, і ви повинні переконатися, що$\det \left(A\right) = \frac{1}{6}.$ зворотний, отже, дорівнює $$A^{-1} = \frac{1}{(1/6)}\; {adj} \left(A\right) = 6\; {adj} \left(A\right)\nonumber$$

Продовжуємо обчислювати наступним чином. Тут ми показуємо$2 \times 2$ детермінанти, необхідні для пошуку кофакторів. $$A^{-1} = 6\left[ \begin{array}{rrr} \left| \begin{array}{rr} \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & -\left| \begin{array}{rr} -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & \left| \begin{array}{rr} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} \end{array} \right| \\ -\left| \begin{array}{rr} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & \left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & -\left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{rr} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & -\left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & \left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array} \right| \end{array} \right] ^{T}\nonumber$$

Розширюючи всі$2\times 2$ детермінанти, це дає $$A^{-1} = 6\left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array} \right] ^{T}= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$

Знову ж таки, ви завжди можете перевірити свою роботу, множивши$A^{-1}A$$AA^{-1}$ і забезпечивши ці продукти рівними$I$. $$A^{-1}A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ Це говорить нам про те, що наш розрахунок$A^{-1}$ для правильний. Це залишається читачеві, щоб перевірити це$AA^{-1} = I$.

Крок перевірки дуже важливий, оскільки це простий спосіб перевірити свою роботу! Якщо ви множите$A^{-1}A$$AA^{-1}$ і ці продукти не обидва рівні$I$, обов'язково поверніться назад і двічі перевірте кожен крок. Одна поширена помилка полягає в тому, щоб забути взяти транспонування матриці кофактора, тому обов'язково виконайте цей крок.

Зараз ми доведемо теорему$\PageIndex{1}$.

Теорема$\PageIndex{1}$: The Inverse and the Determinant

Доказ

(Теореми$\PageIndex{1}$) Нагадаємо, що$(i,j)$ -запис${adj}(A)$ дорівнює$\mathrm{cof}(A)_{ji}$. Таким чином,$(i,j)$ -entry of$B=A\cdot {adj}(A)$ is: $$B_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik} {adj} (A)_{kj}= \sum_{k=1}^n a_{ik} \mathrm{cof} (A)_{jk}\nonumber$$ За теоремою про розширення кофактора ми бачимо, що цей вираз for$B_{ij}$ дорівнює визначнику матриці, отриманої з$A$ заміною її$j$ го рядка на $a_{i1}, a_{i2}, \dots a_{in}$— тобто його$i$ другий ряд.

Якщо$i=j$ тоді ця матриця$A$ сама по собі і тому$B_{ii}=\det A$. Якщо з іншого боку$i\neq j$, то ця матриця має свій$i$ -й рядок, рівний її$j$ -му рядку, а значить і$B_{ij}=0$ в цьому випадку. Таким чином, ми отримуємо: $$A \; {adj}\left(A\right) = {\det \left(A\right)} I\nonumber$$ Аналогічно ми можемо переконатися, що: $${adj}\left(A\right)A = {\det \left(A\right)} I\nonumber$$ І це доводить першу частину теореми.

Далі якщо$A$ обертається, то по теоремі 3.2.5 маємо: $$1 = \det \left( I \right) = \det \left( A A^{-1} \right) = \det \left( A \right) \det \left( A^{-1} \right)\nonumber$$ і таким чином$\det \left( A \right) \neq 0$. Рівнозначно, якщо$\det \left( A \right) = 0$, то не$A$ є оборотним.

Нарешті$\det \left( A \right) \neq 0$, якщо, то наведена вище формула показує, що$A$ є оборотним і що: $$A^{-1} = \frac{1}{\det \left(A\right)} {adj}\left(A\right)\nonumber$$

На цьому доказ завершено.

Цей метод пошуку зворотного$A$ є корисним у багатьох контекстах. Зокрема, це корисно для складних матриць, де записи є функціями, а не числами.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{3}$: Inverse for Non-Constant Matrix

Припустимо, $$A\left( t\right) =\left[ \begin{array}{ccc} e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t \end{array} \right]\nonumber$$ Покажіть, що$A\left( t\right) ^{-1}$ існує, а потім знайдіть його.

Рішення

Перша примітка$\det \left( A\left( t\right) \right) = e^{t}(\cos^2 t + \sin^2 t) = e^{t}\neq 0$ так$A\left( t\right) ^{-1}$ існує.

Матриця кофактора є $$C\left( t\right) =\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right]\nonumber$$ і тому зворотна $$\frac{1}{e^{t}}\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right] ^{T}= \left[ \begin{array}{ccc} e^{-t} & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t \end{array} \right]\nonumber$$

Правило Крамера

Інший контекст, в якому важлива формула,$\PageIndex{1}$ наведена в теоремі, - Правило Крамера. Нагадаємо, що ми можемо уявити систему лінійних рівнянь у вигляді$AX=B$, де розв'язки цієї системи задаються$X$. Правило Крамера дає формулу для розв'язків$X$ в окремому випадку, яка$A$ являє собою квадратну оборотну матрицю. Зверніть увагу, що це правило не застосовується, якщо у вас є система рівнянь, в якій існує інша кількість рівнянь, ніж змінні (іншими словами, коли$A$ не квадрат), або коли не$A$ є оборотним.

Припустимо, у нас є система рівнянь$AX=B$, заданих, і ми хочемо знайти рішення,$X$ які задовольняють цій системі. Потім нагадайте, що якщо$A^{-1}$ існує, $$\begin{aligned} AX&=B \\ A^{-1}\left(AX\right)&=A^{-1}B \\ \left(A^{-1}A\right)X&=A^{-1}B \\ IX&=A^{-1}B\\ X &= A^{-1}B\end{aligned}$$ Отже, рішення$X$ системи даються$X=A^{-1}B$. Оскільки ми припускаємо, що$A^{-1}$ існує, ми можемо використовувати формулу для$A^{-1}$ наведеної вище. Підставляючи цю формулу в рівняння для$X$, у нас є $$X=A^{-1}B=\frac{1}{\det \left( A\right) }{adj}\left( A\right)B\nonumber$$ $x_i$$b_j$ Дозволяти бути$i^{th}$ запис$X$ і бути$j^{th}$ запис$B$. Тоді це рівняння стає $$x_i = \sum_{j=1}^{n}\left[ a_{ij}\right]^{-1}b_{j}=\sum_{j=1}^{n}\frac{1} {\det \left( A\right) } {adj}\left( A\right) _{ij}b_{j}\nonumber$$ там, де${adj}\left(A\right)_{ij}$ є$ij^{th}$ запис${adj}\left(A\right)$.

За формулою розширення детермінанта вздовж стовпця, $$x_{i}=\frac{1}{\det \left( A\right) }\det \left[ \begin{array}{ccccc} \ast & \cdots & b_{1} & \cdots & \ast \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \ast & \cdots & b_{n} & \cdots & \ast \end{array} \right]\nonumber$$ де тут$i^{th}$ стовпець$A$ замінюється вектором стовпця$\left[ b_{1}\cdots \cdot ,b_{n}\right] ^{T}$. Визначник цієї модифікованої матриці береться і ділиться на$\det \left( A\right)$. Ця формула відома як правило Крамера.

Ми формально визначаємо цей метод зараз.

Порядок дій$\PageIndex{1}$: Using Cramer’s Rule

Припустимо,$A$ що це$n\times n$ оборотна матриця, і ми хочемо вирішити систему$AX=B$ для$X =\left[ x_{1},\cdots ,x_{n}\right] ^{T}.$ Тоді правило Крамера говорить, $$x_{i}= \frac{\det \left(A_{i}\right)}{\det \left(A\right)}\nonumber$$ де$A_{i}$ знаходиться матриця, отримана заміною$i^{th}$ стовпця $A$з матрицею стовпців $$B = \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right]\nonumber$$

Проілюструємо цю процедуру в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{4}$: Using Cramer's Rule

Знайти,$x,y,z$ якщо $$\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]\nonumber$$

Рішення

Ми будемо використовувати метод, описаний в $\PageIndex{1}$Procedure, щоб знайти значення$x,y,z$, для яких дає рішення цієї системи. Нехай $$B = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]\nonumber$$

Для того щоб знайти$x$, обчислюємо, $$x = \frac{\det \left(A_{1}\right)}{\det \left(A\right)}\nonumber$$ де$A_1$ знаходиться матриця, отримана від заміни першого стовпця$A$ на$B$.

Отже$A_1$, дається $$A_1 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$

Тому, $$x= \frac{\det \left(A_{1}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=\frac{1}{2}\nonumber$$

Аналогічно знайти$y$ будуємо,$A_2$ замінивши другий стовпець$A$ з$B$. Отже$A_2$, дається $$A_2 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$

Тому, $$y=\frac{\det \left(A_{2}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=-\frac{1}{7}\nonumber$$

Аналогічно$A_3$ будується шляхом заміни третьої колонки на$A$ с$B$. Потім$A_3$, дається $$A_3 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{array} \right]\nonumber$$

Тому$z$ розраховується наступним чином.

$$z= \frac{\det \left(A_{3}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=\frac{11}{14}\nonumber$$

Правило Крамера дає вам ще один інструмент, який слід враховувати при вирішенні системи лінійних рівнянь.

Ми також можемо використовувати Правило Крамера для систем нелінійних рівнянь. Розглянемо наступну систему, де матриця$A$ має функції, а не числа для записів.

Використання правила Крамера

Приклад$\PageIndex{5}$: Use Cramer's Rule for Non-Constant Matrix

Вирішити для$z$ якщо $$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ t \\ {0.05in}t^{2} \end{array} \right]\nonumber$$

Рішення

Нас просять знайти значення$z$ в розчині. Вирішити будемо за допомогою правила Крамера. Таким чином $$z={.05in} \frac{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & e^{t}\cos t & t \\ 0 & -e^{t}\sin t & t^{2} \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right| }= t\left( \left( \cos t\right) t+\sin t\right) e^{-t}\nonumber$$

Інтерполяція поліномів

При вивченні набору даних, який пов'язує змінні$y$,$x$ і може бути так, що ми можемо використовувати поліном для «підгонки» до даних. Якщо такий многочлен може бути встановлений, він може бути використаний для оцінки значень$x$ і$y$ які не були надані.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{6}$: Polynomial Interpolation

Задані точки даних$(1,4), (2,9), (3,12)$, знайти інтерполяційний поліном$p(x)$ ступеня не більше,$2$ а потім оцінити значення, відповідне$x = \frac{1}{2}$.

Рішення

Ми хочемо знайти многочлен, заданий $$p(x) = r_0 + r_1x_1 + r_2x_2^2\nonumber$$ таким, що$p(1)=4, p(2)=9$ і$p(3)=12$. Щоб знайти цей многочлен, підставляємо відомі значення в for$x$ і вирішуємо for$r_0, r_1$, і$r_2$. $$\begin{aligned} p(1) &= r_0 + r_1 + r_2 = 4\\ p(2) &= r_0 + 2r_1 + 4r_2 = 9\\ p(3) &= r_0 + 3r_1 + 9r_2 = 12\end{aligned}$$

Написуючи доповнену матрицю, ми маємо $$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 9 \\ 1 & 3 & 9 & 12 \end{array} \right]\nonumber$$

Після операцій з рядками отримана матриця $$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right]\nonumber$$

Тому рішення системи є$r_0 = -3, r_1 = 8, r_2 = -1$ і необхідний інтерполяційний поліном є $$p(x) = -3 + 8x - x^2\nonumber$$

Щоб оцінити значення для$x = \frac{1}{2}$, обчислюємо$p(\frac{1}{2})$: $$\begin{aligned} p(\frac{1}{2}) &= -3 + 8(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2\\ &= -3 + 4 - \frac{1}{4} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}$$

Ця процедура може бути використана для будь-якої кількості точок даних, і будь-якого ступеня полінома. Кроки викладені нижче.

Порядок дій$\PageIndex{2}$: Finding an Interpolation Polynomial

Припустимо, що$x$$y$ наведені значення і відповідні значення, такі, що фактична взаємозв'язок між$x$ і$y$ невідома. Потім значення$y$ можуть бути оцінені за допомогою інтерполяційного полінома$p(x)$. Якщо вказано$x_1, ..., x_n$ та відповідне$y_1, ..., y_n$,$p(x)$ процедура пошуку наступна:

1. Бажаний многочлен$p(x)$ задається $$p(x) = r_0 + r_1 x + r_2 x^2 + ... + r_{n-1}x^{n-1}\nonumber$$
2. $p(x_i) = y_i$для всіх$i = 1, 2, ...,n$ так, щоб $$\begin{array}{c} r_0 + r_1x_1 + r_2 x_1^2 + ... + r_{n-1}x_1^{n-1} = y_1 \\ r_0 + r_1x_2 + r_2 x_2^2 + ... + r_{n-1}x_2^{n-1} = y_2 \\ \vdots \\ r_0 + r_1x_n + r_2 x_n^2 + ... + r_{n-1}x_n^{n-1} = y_n \end{array}\nonumber$$
3. Налаштуйте доповнену матрицю цієї системи рівнянь $$\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} & y_1 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} & y_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} & y_n \\ \end{array} \right]\nonumber$$
4. Рішення цієї системи призведе до отримання унікального рішення$r_0, r_1, \cdots, r_{n-1}$. Використовуйте ці значення для побудови$p(x)$ та оцінки значення$p(a)$ для будь-якого$x=a$.

Ця процедура мотивує наступну теорему.

Теорема$\PageIndex{2}$: Polynomial Interpolation

З огляду на$n$ дані точки$(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)$ з$x_i$ disfinctive, існує унікальний многочлен$p(x) = r_0 + r_1x + r_2x^2 + \cdots + r_{n-1}x^{n-1}$ такий, що$p(x_i) = y_i$ для$i=1,2,\cdots, n$. Отриманий$p(x)$ многочлен називається інтерполяційним поліномом для точок даних.

Завершуємо цей розділ ще одним прикладом.

Приклад$\PageIndex{7}$: Polynomial Interpolation

Розглянемо дані точки$(0,1), (1,2), (3,22), (5,66)$. Знайдіть інтерполяційний многочлен$p(x)$ ступеня не більше трьох, і оцініть значення$p(2)$.

Рішення

Бажаний многочлен$p(x)$ задається: $$p(x) = r_0 + r_1 x + r_2x^2 + r_3x^3\nonumber$$

Використовуючи задані точки, система рівнянь $$\begin{aligned} p(0) &= r_0 = 1 \\ p(1) &= r_0 + r_1 + r_2 + r_3 = 2 \\ p(3) &= r_0 + 3r_1 + 9r_2 + 27r_3 = 22 \\ p(5) &= r_0 + 5r_1 + 25r_2 + 125r_3 = 66\end{aligned}$$

Доповнена матриця задається: $$\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & 22 \\ 1 & 5 & 25 & 125 & 66 \end{array} \right]\nonumber$$

Отримана матриця $$\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Тому$r_0 = 1, r_1 = -2, r_2 = 3, r_3 = 0$ і$p(x) = 1 -2x + 3x^2$. Щоб оцінити величину$p(2)$, обчислюємо$p(2) = 1 -2(2) + 3(2^2) = 1 - 4 + 12 = 9$.