Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.E: Вправи

  1. CCBY
  2. Last updated
    Oct 27, 2022
  3. Save as PDF

Вправа2.E.1

Для наступних пар матриць визначте, чиA+B визначена сума. Якщо так, знайдіть суму.

  1. A=[1001],B=[0110]
  2. A=[212110],B=[−103014]
  3. A=[10−2342],B=[27−1034]
Вправа2.E.2

Для кожноїA матриці знайдіть матрицю−A таку, щоA+(−A)=0.

  1. A=[1221]
  2. A=[−2302]
  3. A=[0121−13420]
Вправа2.E.3

У контексті Пропозиції 2.1.1 опишіть−A та0.

Відповідь

Щоб отримати,−A, просто замініть кожен записA з його адитивною зворотною. Матриця 0 - це та, яка має всі нулі в ній.

2.1.2: Скалярне множення матриць

Вправа2.E.4

Для кожноїA матриці знайдіть твір(−2)A,0A, і3A.

  1. A=[1221]
  2. A=[−2302]
  3. A=[0121−13420]
Вправа2.E.5

Використовуючи лише властивості, наведені в Proposition 2.1.1 та Proposition 2.1.2, show−A є унікальним.

Відповідь

Припустимо,B теж працює. Тоді−A=−A+(A+B)=(−A+A)+B=0+B=B

Вправа2.E.6

Використовуючи лише властивості, наведені в Proposition 2.1.1 та Proposition 2.1.2, show0 є унікальним.

Відповідь

Припустимо,0′ теж працює. Тоді0′=0′+0=0.

Вправа2.E.7

Використовуючи лише властивості, наведені в Proposition 2.1.1 та0 Proposition 2.1.2 показати0A=0. Тут зліва скаляр,0 а праворуч - нульова матриця відповідного розміру.0

Відповідь

0A=(0+0)A=0A+0A.Тепер додаємо−(0A) в обидві сторони. Потім0=0A.

Вправа2.E.8

Використовуючи лише властивості, наведені в Proposition 2.1.1 та Proposition 2.1.2, а також попередні завдання показують(−1)A=−A.

Відповідь

A+(−1)A=(1+(−1))A=0A=0.Тому з унікальності зворотної добавки, доведеної в вищезгаданій Задачі2.E.7, випливає, що−A=(−1)A.

2.2

Вправа2.E.9

Розглянемо матриціA=[123217],B=[3−12−321],C=[1231],D=[−122−3],E=[23].

Знайдіть наступне, якщо це можливо. Якщо немає можливості пояснити чому.

  1. −3A
  2. 3B−A
  3. AC
  4. CB
  5. AE
  6. EA
Відповідь
  1. [−3−6−9−6−3−21]
  2. [8−53−115−4]
  3. Неможливо
  4. [−3346−17]
  5. Неможливо
  6. Неможливо
Вправа2.E.10

Розглянемо матриціA=[12321−1],B=[2−52−321],C=[1250],D=[−114−3],E=[13]

Знайдіть наступне, якщо це можливо. Якщо немає можливості пояснити чому.

  1. −3A
  2. 3B−A
  3. AC
  4. CA
  5. AE
  6. EA
  7. BE
  8. DE
Відповідь
  1. [−3−6−9−6−33]
  2. Неможливо.
  3. [112136−42]
  4. Неможливо.
  5. [79−2]
  6. Неможливо.
  7. Неможливо.
  8. [2−5]
Вправа2.E.11

ДозволятиA=[11−2−112],B=[1−1−221−2], іC=[11−3−120−3−10]. знайти наступне, якщо це можливо.

  1. AB
  2. BA
  3. AC
  4. CA
  5. CB
  6. BC
Відповідь
  1. [30−4−41651−6]
  2. [1−2−2−3]
  3. Неможливо
  4. [−4−6−5−3−1−2]
  5. [81−376−6]
Вправа2.E.12

НехайA=[−1−133]. Знайти всі2×2 матриці,B такі, щоAB=0.

Відповідь

[−1−133][xyzw]=[−x−z−w−y3x+3z3w+3y]=[0000]Рішення полягає вw=−y,x=−z тому, що матриці мають вигляд[xy−x−y].

Вправа2.E.13

НехайX=[−1−11] іY=[012]. знайтиXTY іXYT якщо можливо.

Відповідь

XTY=[0−1−20−1−2012],XYT=1

Вправа2.E.14

НехайA=[1234],B=[123k]. Чи можна вибратиk таке, щоAB=BA? Якщо так, то що повинноk рівнятися?

Відповідь

[1234][123k]=[72k+2154k+6][123k][1234]=[7103k+34k+6]Таким чином, ви повинні мати3k+3=152k+2=10, Рішення є:[k=4]

Вправа2.E.15

НехайA=[1234],B=[121k]. Чи можна вибратиk таке, щоAB=BA? Якщо так, то що повинноk рівнятися?

Відповідь

[1234][121k]=[32k+274k+6][121k][1234]=[7103k+14k+2]Втім,7≠3 і так немає ніякого можливого виборуk, який змусить ці матриці комутувати.

Вправа2.E.16

Знайти2×2 матриціA,B, іC такі, щоA≠0,C≠B, алеAC=AB.

Відповідь

НехайA=[1−1−11],B=[1111],C=[2222]. [1−1−11][1111]=[0000][1−1−11][2222]=[0000]

Вправа2.E.17

Наведемо приклад матриць (будь-якого розміру),A,B,C таких щоB≠C,A≠0, і щеAB=AC.

Вправа2.E.18

Знайти2×2 матриціA іB такі щоA≠0 іB≠0 алеAB=0.

Відповідь

НехайA=[1−1−11],B=[1111]. [1−1−11][1111]=[0000]

Вправа2.E.19

Наведемо приклад матриць (будь-якого розміру),A,B таких щоA≠0 іB≠0 алеAB=0.

Вправа2.E.20

Знайти2×2 матриціA іB такі, щоA≠0 іB≠0 сAB≠BA.

Відповідь

НехайA=[0110],B=[1234]. [0110][1234]=[3412][1234][0110]=[2143]

Вправа2.E.21

Запишіть системуx1−x2+2x32x3+x13x33x4+3x2+x1 в тому виглядіA[x1x2x3x4], деA знаходиться відповідна матриця.

Відповідь

A=[1−120102000301303]

Вправа2.E.22

Запишіть системуx1+3x2+2x32x3+x16x3x4+3x2+x1 в тому виглядіA[x1x2x3x4], деA знаходиться відповідна матриця.

Відповідь

A=[1320102000601301]

Вправа2.E.23

Запишіть системуx1+x2+x32x3+x1+x2x3−x13x4+x1 в тому виглядіA[x1x2x3x4], деA знаходиться відповідна матриця.

Відповідь

A=[11101120−10101003]

Вправа2.E.24

МатрицяA називається ідемпотентним, якщоA2=A. ДозволятиA=[202112−10−1] і показати, щоA є ідемпотентним.

2.3

Вправа2.E.25

Для кожної пари матриць знайдіть(1,2) -entry і(2,3) -запис добуткуAB.

  1. A=[12−1340251],B=[46−2721−100]
  2. A=[131024105],B=[230−4161022]

2.4

Вправа2.E.26

ПрипустимоA іB квадратні матриці однакового розміру. Які з перерахованих нижче обов'язково вірні?

  1. (A−B)2=A2−2AB+B2
  2. (AB)2=A2B2
  3. (A+B)2=A2+2AB+B2
  4. (A+B)2=A2+AB+BA+B2
  5. A2B2=A(AB)B
  6. (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
  7. (A+B)(A−B)=A2−B2
Відповідь
  1. Не обов'язково вірно.
  2. Не обов'язково вірно.
  3. Не обов'язково вірно.
  4. Обов'язково вірно.
  5. Обов'язково вірно.
  6. Не обов'язково вірно.
  7. Не обов'язково вірно.

2.5

Вправа2.E.27

Розглянемо матриціA=[12321−1],B=[2−52−321],C=[1250],D=[−114−3],E=[13]

Знайдіть наступне, якщо це можливо. Якщо немає можливості пояснити чому.

  1. −3AT
  2. 3B−AT
  3. ETB
  4. EET
  5. BTB
  6. CAT
  7. DTBE
Відповідь
  1. [−3−9−3−6−63]
  2. [5−185−1144]
  3. [−715]
  4. [1339]
  5. [13−161−1629−81−85]
  6. [57−15155]
  7. Неможливо.
Вправа2.E.28

AДозволяти бутиn×n матрицею. ПоказуватиA дорівнює сумі симетричної та симетричної матриці з нахилом.

Підказка

Покажіть, що12(AT+A) є симетричним, а потім розгляньте використання цього як однієї з матриць.

Вправа2.E.29

Показати, що основна діагональ кожної симетричної матриці перекосу складається лише з нулів. Нагадаємо, що основна діагональ складається з кожного запису матриці, яка має виглядaii.

Відповідь

ЯкщоA симетричний тоA=−AT. випливає, щоaii=−aii і так коженaii=0.

Вправа2.E.30

Доведіть 3 з Лемма 2.5.1. Тобто, показати, що дляm×n матриціAB,m×n матриці та скалярівr,s, наступні тримають:(rA+sB)T=rAT+sBT

2.6

Вправа2.E.31

Доведіть,A щоImA=A деm×n матриця.

Відповідь

(ImA)ij≡∑jδikAkj=Aij

Вправа2.E.32

ПрипустимоA,AB=AC і є оборотноюn×n матрицею. Чи випливає, щоB=C? Поясніть, чому чи чому ні.

Відповідь

ТакB=C. ПомножтеAB=AC зліва наA−1.

Вправа2.E.33

ПрипустимоA,AB=AC і є незворотноюn×n матрицею. Це випливає з цьогоB=C? Поясніть, чому чи чому ні.

Вправа2.E.34

Наведемо приклад матриціA такий, щоA2=I і щеA≠I іA≠−I.

Відповідь

A=[1000−10001]

2.7

Вправа2.E.35

ДозвольтеA=[21−13] знайтиA−1, якщо це можливо. ЯкщоA−1 не існує, поясніть чому.

Відповідь

[21−13]−1=[37−171727]

Вправа2.E.36

ДозвольтеA=[0153] знайтиA−1, якщо це можливо. ЯкщоA−1 не існує, поясніть чому.

Відповідь

[0153]−1=[−351510]

Вправа2.E.37

Додайте текст вправ тут.НехайA=[2130] Знайти,A−1 якщо це можливо. ЯкщоA−1 не існує, поясніть чому.

Відповідь

[2130]−1=[0131−23]

Вправа2.E.38

ДозвольтеA=[2142] знайтиA−1, якщо це можливо. ЯкщоA−1 не існує, поясніть чому.

Відповідь

[2142]−1не існує. З цієї матриці є[11200]

Вправа2.E.39

AДозволяти бути2×2 оборотна матриця, зA=[abcd]. Знайти формулу дляA−1 в термініa,b,c,d.

Відповідь

[abcd]−1=[dad−bc−bad−bc−cad−bcaad−bc]

Вправа2.E.40

ДозвольтеA=[123214102] знайтиA−1, якщо це можливо. ЯкщоA−1 не існує, поясніть чому.

Відповідь

[123214102]−1=[−24−501−21−23]

Вправа2.E.41

ДозвольтеA=[103234102] знайтиA−1, якщо це можливо. ЯкщоA−1 не існує, поясніть чому.

Відповідь

[103234102]−1=[−203013−2310−1]

Вправа2.E.42

ДозвольтеA=[1232144510] знайтиA−1, якщо це можливо. ЯкщоA−1 не існує, поясніть чому.

Відповідь

Зменшена рядно-ешелонна форма є[10530123000]. Зворотного немає.

Вправа2.E.43

ДозвольтеA=[1202112021−321212] знайтиA−1, якщо це можливо. ЯкщоA−1 не існує, поясніть чому.

Відповідь

[1202112021−321212]−1=[−1121212312−12−52−1001−2−341494]

Вправа2.E.44

Використовуючи обернену матрицю, знайдіть рішення систем:

  1. [2411][xy]=[12]
  2. [2411][xy]=[20]

Тепер наведемо рішення з точки зоруa іb до[2411][xy]=[ab]

Вправа2.E.45

Використовуючи обернену матрицю, знайдіть рішення систем:

  1. [103234102][xyz]=[101]
  2. [103234102][xyz]=[3−1−2]

Тепер наведемо рішення в планіa,b, іc до наступного:[103234102][xyz]=[abc]

Відповідь
  1. [xyz]=[1−230]
  2. [xyz]=[−1215]
  3. [xyz]=[3c−2a13b−23ca−c]
Вправа2.E.46

Показати, що якщоA єn×n оборотною матрицею іX єn×1 матрицею така, щоAX=B дляBn×1 матриці, тоX=A−1B.

Відповідь

Помножте обидві сторониAX=B зліва наA−1.

Вправа2.E.47

Доведіть, що якщоA−1 існує, аAX=0 потімX=0.

Відповідь

Помножте з обох сторін зліва наA−1. Таким чином0=A−10=A−1(AX)=(A−1A)X=IX=X

Вправа2.E.48: Inverse Product

Показати, що якщоA−1 існує дляn×n матриці, то вона унікальна. Тобто, якщоBA=I іAB=I, тодіB=A−1.

Відповідь

A−1=A−1I=A−1(AB)=(A−1A)B=IB=B.

Вправа2.E.49

Показати, що якщоA є оборотноюn×n матрицею, то такAT і(AT)−1=(A−1)T.

Відповідь

Вам потрібно показати, що(A−1)T діє як зворотнеAT тому, що з унікальності в вищезгаданій задачі, це буде означати, що це зворотна. З властивостей транспонування,AT(A−1)T=(A−1A)T=IT=I(A−1)TAT=(AA−1)T=IT=I звідси(A−1)T=(AT)−1 і ця остання матриця існує.

Вправа2.E.50

Показати(AB)−1=B−1A−1, перевіривши цеAB(B−1A−1)=I іB−1A−1(AB)=I підказка: Використовувати проблему2.E.48.

Відповідь

(AB)B−1A−1=A(BB−1)A−1=AA−1=IB−1A−1(AB)=B−1(A−1A)B=B−1IB=B−1B=I

Вправа2.E.51

Покажіть це,(ABC)−1=C−1B−1A−1 перевіривши це(ABC)(C−1B−1A−1)=I і(C−1B−1A−1)(ABC)=I підказка: Використовувати проблему2.E.48.

Відповідь

Доказ цієї вправи випливає з попереднього.

Вправа2.E.52

ЯкщоA обертається, показуйте(A2)−1=(A−1)2. Підказка: Використовувати проблему2.E.48.

Відповідь

A2(A−1)2=AAA−1A−1=AIA−1=AA−1=I(A−1)2A2=A−1A−1AA=A−1IA=A−1A=I

Вправа2.E.53

ЯкщоA обертається, показуйте(A−1)−1=A. Підказка: Використовувати проблему2.E.48.

Відповідь

A−1A=AA−1=Iі так унікальністю,(A−1)−1=A.

2.8

Вправа2.E.54

НехайA=[2312]. Припустимо, до рядку застосовано операцію,A і результат єB=[1223]. Знайдіть елементарну матрицюE, яка представляє цю операцію рядка.

Вправа2.E.55

НехайA=[4021]. Припустимо, до рядку застосовано операцію,A і результат єB=[8021]. Знайдіть елементарну матрицюE, яка представляє цю операцію рядка.

Вправа2.E.56

НехайA=[1−305]. Припустимо, до рядку застосовано операцію,A і результат єB=[1−32−1]. Знайдіть елементарну матрицюE, яка представляє цю операцію рядка.

Вправа2.E.57

НехайA=[1210512−14]. Припустимо, до рядку застосовано операцію,A і результат єB=[1212−14051].

  1. Знайдіть елементарну матрицюE таку, щоEA=B.
  2. Знайдіть зворотнеE, такийE−1, щоE−1B=A.
Вправа2.E.58

НехайA=[1210512−14]. Припустимо, до рядку застосовано операцію,A і результат єB=[12101022−14].

  1. Знайдіть елементарну матрицюE таку, щоEA=B.
  2. Знайдіть зворотнеE, такийE−1, щоE−1B=A.
Вправа2.E.59

НехайA=[1210512−14]. Припустимо, до рядку застосовано операцію,A і результат єB=[1210511−122].

  1. Знайдіть елементарну матрицюE таку, щоEA=B.
  2. Знайдіть зворотнеE, такийE−1, щоE−1B=A.
Вправа2.E.60

НехайA=[1210512−14]. Припустимо, до рядку застосовано операцію,A і результат єB=[1212452−14].

  1. Знайдіть елементарну матрицюE таку, щоEA=B.
  2. Знайдіть зворотнеE, такийE−1, щоE−1B=A.

2.10

Вправа2.E.61

ЗнайдітьLU факторизацію[120213123].

Відповідь

[120213123]=[100210101][1200−33003]

Вправа2.E.62

ЗнайдітьLU факторизацію[123213215013].

Відповідь

[123213215013]=[1001105−101][123201−1−100−24−17]

Вправа2.E.63

ЗнайтиLU факторизацію матриці[1−2−50−251133−6−151].

Відповідь

[1−2−50−251133−6−151]=[100−210301][1−2−5001130001]

Вправа2.E.64

ЗнайтиLU факторизацію матриці[1−1−3−1−12432−3−7−3].

Відповідь

[1−1−3−1−12432−3−7−3]=[100−1102−11][1−1−3−101120001]

Вправа2.E.65

ЗнайтиLU факторизацію матриці  [1−3−4−3−31010101−62−5].

Відповідь

[1−3−4−3−31010101−62−5]=[100−3101−31][1−3−4−301−210001]

Вправа2.E.66

ЗнайтиLU факторизацію матриці[131−13108−125−3−3].

Відповідь

[131−13108−125−3−3]=[1003102−11][131−101520001]

Вправа2.E.67

ЗнайтиLU факторизацію матриці[3−219−86−62232−7].

Відповідь

[3−219−86−62232−7]=[10003100−21101−2−21][3−210−23001000]

Вправа2.E.68

ЗнайтиLU факторизацію матриці[−3−1399−12319−161240−26].

Вправа2.E.69

ЗнайтиLU факторизацію матриці[−1−3−113039041216].

Відповідь

[−1−3−113039041216]=[1000−1100−3010−40−41][−1−3−100−100−3000]

Вправа2.E.70

ЗнайдітьLU факторизацію матриці коефіцієнтів методом Дуліттла і використовуйте її для розв'язання системи рівнянь. x+2y=52x+3y=6

Відповідь

LUФакторизація матриці коефіцієнтів - це[1223]=[1021][120−1] перше розв'язання[1021][uv]=[56], яке дає[uv]=[5−4]. Потім вирішити,[120−1][xy]=[5−4] що говорить, щоy=4 іx=−3.

Вправа2.E.71

ЗнайдітьLU факторизацію матриці коефіцієнтів методом Дуліттла і використовуйте її для розв'язання системи рівнянь. x+2y+z=1y+3z=22x+3y=6

Відповідь

LUФакторизація матриці коефіцієнтів - це[121013230]=[1000102−11][121013001] перше розв'язання[1000102−11][uvw]=[126], яке даєu=1,v=2,w=6. наступне рішення[121013001][xyz]=[126] Це даєz=6,y=−16,x=27.

Вправа2.E.72

ЗнайдітьLU факторизацію матриці коефіцієнтів методом Дуліттла і використовуйте її для розв'язання системи рівнянь. x+2y+3z=52x+3y+z=6x−y+z=2

Вправа2.E.73

ЗнайдітьLU факторизацію матриці коефіцієнтів методом Дуліттла і використовуйте її для розв'язання системи рівнянь. x+2y+3z=52x+3y+z=63x+5y+4z=11

Відповідь

LUФакторизація матриці коефіцієнтів є[123231354]=[100210311][1230−1−5000] Перше[100210311][uvw]=[5611] рішення Рішення:[uvw]=[5−40]. Наступне[1230−1−5000][xyz]=[5−40] рішення Рішення:[xyz]=[7t−34−5tt],t∈R.

Вправа2.E.74

Чи існує лише однаLU факторизація для даної матриці? Підказка:[0101]=[1011][0100]. Розглянемо рівняння Шукайте всіLU можливі множники.

Відповідь

Іноді існує більше однієїLU факторизації, як це відбувається в цьому прикладі. Задане рівняння чітко даєLU факторизацію. Однак виявляється, що наступне рівняння дає ще однуLU факторизацію. [0101]=[1001][0101]