2.E: Вправи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 63179

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Для наступних пар матриць визначте, чи\(A + B\) визначена сума. Якщо так, знайдіть суму.

\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right ], B = \left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right ], B = \left [ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 4 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -2 & 3 \\ 4 & 2 \end{array} \right ], B = \left [ \begin{array}{rrr} 2 & 7 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Для кожної\(A\) матриці знайдіть матрицю\(-A\) таку, що\(A + (-A) = 0\).

\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rr} -2 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

У контексті Пропозиції 2.1.1 опишіть\(-A\) та\(0.\)

Відповідь: Щоб отримати,\(-A,\) просто замініть кожен запис\(A\) з його адитивною зворотною. Матриця 0 - це та, яка має всі нулі в ній.

2.1.2: Скалярне множення матриць

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Для кожної\(A\) матриці знайдіть твір\((-2)A, 0A,\) і\(3A\).

\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rr} -2 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Використовуючи лише властивості, наведені в Proposition 2.1.1 та Proposition 2.1.2, show\(-A\) є унікальним.

Відповідь: Припустимо,\(B\) теж працює. Тоді\[-A=-A+\left( A+B\right) =\left( -A+A\right) +B=0+B=B\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Використовуючи лише властивості, наведені в Proposition 2.1.1 та Proposition 2.1.2, show\(0\) є унікальним.

Відповідь: Припустимо,\(0^{\prime }\) теж працює. Тоді\(0^{\prime }=0^{\prime }+0=0.\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Використовуючи лише властивості, наведені в Proposition 2.1.1 та\(0\) Proposition 2.1.2 показати\(0A=0.\) Тут зліва скаляр,\(0\) а праворуч - нульова матриця відповідного розміру.\(0\)

Відповідь: \(0A=\left( 0+0\right) A=0A+0A.\)Тепер додаємо\(-\left( 0A\right)\) в обидві сторони. Потім\(0=0A\).

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Використовуючи лише властивості, наведені в Proposition 2.1.1 та Proposition 2.1.2, а також попередні завдання показують\(\left( -1\right) A=-A.\)

Відповідь: \(A+\left( -1\right) A=\left( 1+\left( -1\right) \right) A=0A=0.\)Тому з унікальності зворотної добавки, доведеної в вищезгаданій Задачі\(\PageIndex{7}\), випливає, що\(-A=\left( -1\right) A\).

2.2

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Розглянемо матриці\(A =\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 7 \end{array} \right ], B=\left [ \begin{array}{rrr} 3 & -1 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right ], C =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right ], \\ D=\left [ \begin{array}{rr} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{array} \right ], E=\left [ \begin{array}{r} 2 \\ 3 \end{array} \right ]\).

Знайдіть наступне, якщо це можливо. Якщо немає можливості пояснити чому.

\(-3A\)
\(3B-A\)
\(AC\)
\(CB\)
\(AE\)
\(EA\)

Відповідь

\(\left [ \begin{array}{rrr} -3 & -6 & -9 \\ -6 & -3 & -21 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} 8 & -5 & 3 \\ -11 & 5 & -4 \end{array} \right ]\)
Неможливо
\(\left [ \begin{array}{rrr} -3 & 3 & 4 \\ 6 & -1 & 7 \end{array} \right ]\)
Неможливо
Неможливо

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Розглянемо матриці\(A =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right ], B=\left [ \begin{array}{rrr} 2 & -5 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right ] , C =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 5 & 0 \end{array} \right ], \\ D=\left [ \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 4 & -3 \end{array} \right ], E=\left [ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \end{array} \right ]\)

Знайдіть наступне, якщо це можливо. Якщо немає можливості пояснити чому.

\(-3A\)
\(3B-A\)
\(AC\)
\(CA\)
\(AE\)
\(EA\)
\(BE\)
\(DE\)

Відповідь

\(\left [ \begin{array}{rr} -3 & -6 \\ -9 & -6 \\ -3 & 3 \end{array} \right ]\)
Неможливо.
\(\left [ \begin{array}{rr} 11 & 2 \\ 13 & 6 \\ -4 & 2 \end{array} \right ]\)
Неможливо.
\(\left [ \begin{array}{r} 7 \\ 9 \\ -2 \end{array} \right ]\)
Неможливо.
Неможливо.
\(\left [ \begin{array}{r} 2 \\ -5 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Дозволяти\(A=\left [ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -2 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right ]\),\(B=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{array} \right ] ,\) і\(C=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & 0 \end{array} \right ] .\) знайти наступне, якщо це можливо.

\(AB\)
\(BA\)
\(AC\)
\(CA\)
\(CB\)
\(BC\)

Відповідь

\(\left [ \begin{array}{rrr} 3 & 0 & -4 \\ -4 & 1 & 6 \\ 5 & 1 & -6 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -2 & -3 \end{array} \right ]\)
Неможливо
\(\left [ \begin{array}{rr} -4 & -6 \\ -5 & -3 \\ -1 & -2 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} 8 & 1 & -3 \\ 7 & 6 & -6 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Нехай\(A=\left [ \begin{array}{rr} -1 & -1 \\ 3 & 3 \end{array} \right ]\). Знайти всі\(2\times 2\) матриці,\(B\) такі, що\(AB=0.\)

Відповідь: \[\begin{aligned} \left [ \begin{array}{rr} -1 & -1 \\ 3 & 3 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \right ] &=\left [ \begin{array}{cc} -x-z & -w-y \\ 3x+3z & 3w+3y \end{array} \right ] \\ &=\left [ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right ]\end{aligned}\]Рішення полягає в\(w=-y,x=-z\) тому, що матриці мають вигляд\(\left [ \begin{array}{rr} x & y \\ -x & -y \end{array} \right ].\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Нехай\(X=\left [ \begin{array}{rrr} -1 & -1 & 1 \end{array} \right ]\) і\(Y=\left [ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \end{array} \right ] .\) знайти\(X^{T}Y\) і\(XY^{T}\) якщо можливо.

Відповідь: \(X^{T}Y = \left [ \begin{array}{rrr} 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right ] , XY^{T} = 1\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Нехай\(A=\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] ,B=\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & k \end{array} \right ] .\) Чи можна вибрати\(k\) таке, що\(AB=BA?\) Якщо так, то що повинно\(k\) рівнятися?

Відповідь: \[\begin{aligned} \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & k \end{array} \right ] &= \left [ \begin{array}{cc} 7 & 2k+2 \\ 15 & 4k+6 \end{array} \right ] \\ \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & k \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] &= \left [ \begin{array}{cc} 7 & 10 \\ 3k+3 & 4k+6 \end{array} \right ]\end{aligned}\]Таким чином, ви повинні мати\(\begin{array}{c} 3k+3=15 \\ 2k+2=10 \end{array}\), Рішення є:\(\left[ k=4\right]\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Нехай\(A=\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] ,B=\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & k \end{array} \right ] .\) Чи можна вибрати\(k\) таке, що\(AB=BA?\) Якщо так, то що повинно\(k\) рівнятися?

Відповідь: \[\begin{aligned} \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & k \end{array} \right ] &= \left [ \begin{array}{cc} 3 & 2k+2 \\ 7 & 4k+6 \end{array} \right ] \\ \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & k \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right ] &= \left [ \begin{array}{cc} 7 & 10 \\ 3k+1 & 4k+2 \end{array} \right ]\end{aligned}\]Втім,\(7\neq 3\) і так немає ніякого можливого вибору\(k\), який змусить ці матриці комутувати.

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Знайти\(2\times 2\) матриці\(A\),\(B,\) і\(C\) такі, що\(A\neq 0,C\neq B,\) але\(AC=AB.\)

Відповідь: Нехай\(A=\left[\begin{array}{cc}1&-1 \\ -1&1\end{array}\right],\: B=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right],\: C=\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]\). \[\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right] \end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Наведемо приклад матриць (будь-якого розміру),\(A,B,C\) таких що\(B\neq C\),\(A\neq 0,\) і ще\(AB=AC.\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Знайти\(2 \times 2\) матриці\(A\) і\(B\) такі що\(A \neq 0\) і\(B \neq 0\) але\(AB = 0\).

Відповідь: Нехай\(A=\left[\begin{array}{cc}1&-1 \\ -1&1\end{array}\right],\: B=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\). \[\left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Наведемо приклад матриць (будь-якого розміру),\(A,B\) таких що\(A \neq 0\) і\(B \neq 0\) але\(AB=0.\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Знайти\(2 \times 2\) матриці\(A\) і\(B\) такі, що\(A \neq 0\) і\(B \neq 0\) с\(AB \neq BA\).

Відповідь: Нехай\(A=\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right],\: B=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\). \[\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}3&4\\1&2\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}2&1\\4&3\end{array}\right]\end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Запишіть систему\[\begin{array}{c} x_{1}-x_{2}+2x_{3} \\ 2x_{3}+x_{1} \\ 3x_{3} \\ 3x_{4}+3x_{2}+x_{1} \end{array}\nonumber \] в тому вигляді\(A\left [ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \right ]\), де\(A\) знаходиться відповідна матриця.

Відповідь: \(A=\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 3 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Запишіть систему\[\begin{array}{c} x_{1}+3x_{2}+2x_{3} \\ 2x_{3}+x_{1} \\ 6x_{3} \\ x_{4}+3x_{2}+x_{1} \end{array}\nonumber \] в тому вигляді\(A\left [ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \right ]\), де\(A\) знаходиться відповідна матриця.

Відповідь: \(A=\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 1 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Запишіть систему\[\begin{array}{c} x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 2x_{3}+x_{1}+x_{2} \\ x_{3}-x_{1} \\ 3x_{4}+x_{1} \end{array}\nonumber \] в тому вигляді\(A\left [ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \right ]\), де\(A\) знаходиться відповідна матриця.

Відповідь: \(A=\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{24}\)

Матриця\(A\) називається ідемпотентним, якщо\(A^{2}=A.\) Дозволяти\[A= \left [ \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right ]\nonumber \] і показати, що\(A\) є ідемпотентним.

2.3

Вправа\(\PageIndex{25}\)

Для кожної пари матриць знайдіть\((1,2)\) -entry і\((2,3)\) -запис добутку\(AB\).

\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \end{array} \right ], B = \left [ \begin{array}{rrr} 4 & 6 & -2 \\ 7 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right ]\)
\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 5 \end{array} \right ], B = \left [ \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 0 \\ -4 & 16 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{array} \right ]\)

2.4

Вправа\(\PageIndex{26}\)

Припустимо\(A\) і\(B\) квадратні матриці однакового розміру. Які з перерахованих нижче обов'язково вірні?

\(\left( A-B\right) ^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}\)
\(\left( AB\right) ^{2}=A^{2}B^{2}\)
\(\left( A+B\right) ^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\)
\(\left( A+B\right) ^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}\)
\(A^{2}B^{2}=A\left( AB\right) B\)
\(\left( A+B\right) ^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}\)
\(\left( A+B\right) \left( A-B\right) =A^{2}-B^{2}\)

Відповідь

Не обов'язково вірно.
Не обов'язково вірно.
Не обов'язково вірно.
Обов'язково вірно.
Обов'язково вірно.
Не обов'язково вірно.
Не обов'язково вірно.

2.5

Вправа\(\PageIndex{27}\)

Розглянемо матриці\(A =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right ], B=\left [ \begin{array}{rrr} 2 & -5 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right ], C =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 5 & 0 \end{array} \right ], \\ D=\left [ \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 4 & -3 \end{array} \right ], E=\left [ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \end{array} \right ]\)

Знайдіть наступне, якщо це можливо. Якщо немає можливості пояснити чому.

\(-3A{^T}\)
\(3B - A^{T}\)
\(E^{T}B\)
\(EE^{T}\)
\(B^{T}B\)
\(CA^{T}\)
\(D^{T}BE\)

Відповідь

\(\left [ \begin{array}{rrr} -3 & -9 & -3 \\ -6 & -6 & 3 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} 5 & -18 & 5 \\ -11 & 4 & 4 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} -7 & 1 & 5 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} 13 & -16 & 1\\ -16 & 29 & -8 \\ 1 & -8 & 5 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{rrr} 5 & 7 & -1 \\ 5 & 15 & 5 \end{array} \right ]\)
Неможливо.

Вправа\(\PageIndex{28}\)

\(A\)Дозволяти бути\(n\times n\) матрицею. Показувати\(A\) дорівнює сумі симетричної та симетричної матриці з нахилом.

Підказка: Покажіть, що\(\frac{1}{2}\left( A^{T}+A\right)\) є симетричним, а потім розгляньте використання цього як однієї з матриць.

Вправа\(\PageIndex{29}\)

Показати, що основна діагональ кожної симетричної матриці перекосу складається лише з нулів. Нагадаємо, що основна діагональ складається з кожного запису матриці, яка має вигляд\(a_{ii}\).

Відповідь: Якщо\(A\) симетричний то\(A=-A^{T}.\) випливає, що\(a_{ii}=-a_{ii}\) і так кожен\(a_{ii}=0\).

Вправа\(\PageIndex{30}\)

Доведіть 3 з Лемма 2.5.1. Тобто, показати, що для\(m \times n\) матриці\(A\)\(B\),\(m \times n\) матриці та скалярів\(r, s\), наступні тримають:\[\left( rA + sB \right) ^T = rA^{T} + sB^{T}\nonumber \]

2.6

Вправа\(\PageIndex{31}\)

Доведіть,\(A\) що\(I_{m}A=A\) де\(m\times n\) матриця.

Відповідь: \(\left( I_{m}A\right) _{ij}\equiv \sum_{j}\delta _{ik}A_{kj}=A_{ij}\)

Вправа\(\PageIndex{32}\)

Припустимо\(A\),\(AB=AC\) і є оборотною\(n\times n\) матрицею. Чи випливає, що\(B=C?\) Поясніть, чому чи чому ні.

Відповідь: Так\(B=C\). Помножте\(AB = AC\) зліва на\(A^{-1}\).

Вправа\(\PageIndex{33}\)

Припустимо\(A\),\(AB=AC\) і є незворотною\(n\times n\) матрицею. Це випливає з цього\(B=C\)? Поясніть, чому чи чому ні.

Вправа\(\PageIndex{34}\)

Наведемо приклад матриці\(A\) такий, що\(A^{2}=I\) і ще\(A\neq I\) і\(A\neq -I.\)

Відповідь: \(A = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\)

2.7

Вправа\(\PageIndex{35}\)

Дозвольте\[A=\left [ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{array} \right ]\nonumber \] знайти\(A^{-1}\), якщо це можливо. Якщо\(A^{-1}\) не існує, поясніть чому.

Відповідь: \(\left [ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{rr} \frac{3}{7} & -\frac{1}{7} \\ \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{36}\)

Дозвольте\[A=\left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 5 & 3 \end{array} \right ]\nonumber \] знайти\(A^{-1}\), якщо це можливо. Якщо\(A^{-1}\) не існує, поясніть чому.

Відповідь: \(\left [ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 5 & 3 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{cc} -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ 1 & 0 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{37}\)

Додайте текст вправ тут.Нехай\[A=\left [ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Знайти,\(A^{-1}\) якщо це можливо. Якщо\(A^{-1}\) не існує, поясніть чому.

Відповідь: \(\left [ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{cc} 0 & \frac{1}{3} \\ 1 & -\frac{2}{3} \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{38}\)

Дозвольте\[A=\left [ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array} \right ]\nonumber \] знайти\(A^{-1}\), якщо це можливо. Якщо\(A^{-1}\) не існує, поясніть чому.

Відповідь: \(\left [ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array} \right ]^{-1}\)не існує. З цієї матриці є\(\left [ \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{39}\)

\(A\)Дозволяти бути\(2\times 2\) оборотна матриця, з\(A=\left [ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right ] .\) Знайти формулу для\(A^{-1}\) в терміні\(a,b,c,d\).

Відповідь: \(\left [ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{cc} \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc} \\ -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{40}\)

Дозвольте\[A=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ]\nonumber \] знайти\(A^{-1}\), якщо це можливо. Якщо\(A^{-1}\) не існує, поясніть чому.

Відповідь: \(\left [ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{rrr} -2 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{41}\)

Дозвольте\[A=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ]\nonumber \] знайти\(A^{-1}\), якщо це можливо. Якщо\(A^{-1}\) не існує, поясніть чому.

Відповідь: \(\left [ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{rrr} -2 & 0 & 3 \\ 0 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{42}\)

Дозвольте\[A=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 4 & 5 & 10 \end{array} \right ]\nonumber \] знайти\(A^{-1}\), якщо це можливо. Якщо\(A^{-1}\) не існує, поясніть чому.

Відповідь: Зменшена рядно-ешелонна форма є\(\left [ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\). Зворотного немає.

Вправа\(\PageIndex{43}\)

Дозвольте\[A=\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array} \right ]\nonumber \] знайти\(A^{-1}\), якщо це можливо. Якщо\(A^{-1}\) не існує, поясніть чому.

Відповідь: \(\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array} \right ]^{-1}= \left [ \begin{array}{rrrr} -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{9}{4} \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{44}\)

Використовуючи обернену матрицю, знайдіть рішення систем:

\[\left [ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right ]\nonumber \]
\[\left [ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{r} 2 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \]

Тепер наведемо рішення з точки зору\(a\) і\(b\) до\[\left [ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right ] = \left [ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right ]\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{45}\)

Використовуючи обернену матрицю, знайдіть рішення систем:

\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ]\nonumber \]
\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ -2 \end{array} \right ]\nonumber \]

Тепер наведемо рішення в плані\(a,b,\) і\(c\) до наступного:\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right ]\nonumber \]

Відповідь

\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 1 \\ -\frac{2}{3} \\ 0 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} -12 \\ 1 \\ 5 \end{array} \right ]\)
\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 3c-2a \\ \frac{1}{3}b-\frac{2}{3}c \\ a-c \end{array} \right ]\)

Вправа\(\PageIndex{46}\)

Показати, що якщо\(A\) є\(n\times n\) оборотною матрицею і\(X\) є\(n\times 1\) матрицею така, що\(AX=B\) для\(B\)\(n\times 1\) матриці, то\(X=A^{-1}B\).

Відповідь: Помножте обидві сторони\(AX=B\) зліва на\(A^{-1}\).

Вправа\(\PageIndex{47}\)

Доведіть, що якщо\(A^{-1}\) існує, а\(AX=0\) потім\(X=0\).

Відповідь: Помножте з обох сторін зліва на\(A^{-1}.\) Таким чином\[0=A^{-1}0=A^{-1}\left( AX\right) =\left( A^{-1}A\right) X=IX = X\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{48}\): Inverse Product

Показати, що якщо\(A^{-1}\) існує для\(n\times n\) матриці, то вона унікальна. Тобто, якщо\(BA=I\) і\(AB=I,\) тоді\(B=A^{-1}.\)

Відповідь: \(A^{-1}=A^{-1}I=A^{-1}\left( AB\right) =\left( A^{-1}A\right) B=IB=B.\)

Вправа\(\PageIndex{49}\)

Показати, що якщо\(A\) є оборотною\(n\times n\) матрицею, то так\(A^{T}\) і\(\left( A^{T}\right) ^{-1}=\left( A^{-1}\right) ^{T}.\)

Відповідь: Вам потрібно показати, що\(\left( A^{-1}\right) ^{T}\) діє як зворотне\(A^{T}\) тому, що з унікальності в вищезгаданій задачі, це буде означати, що це зворотна. З властивостей транспонування,\[\begin{aligned} A^{T}\left( A^{-1}\right) ^{T} &=\left( A^{-1}A\right) ^{T}=I^{T}=I \\ \left( A^{-1}\right) ^{T}A^{T} &=\left( AA^{-1}\right) ^{T}=I^{T}=I\end{aligned}\] звідси\(\left( A^{-1}\right) ^{T}=\left( A^{T}\right) ^{-1}\) і ця остання матриця існує.

Вправа\(\PageIndex{50}\)

Показати\(\left( AB\right) ^{-1}=B^{-1}A^{-1}\), перевіривши це\[AB\left( B^{-1}A^{-1}\right) =I\nonumber \] і\[B^{-1}A^{-1}\left( AB\right) =I\nonumber \] підказка: Використовувати проблему\(\PageIndex{48}\).

Відповідь: \(\left( AB\right) B^{-1}A^{-1}=A\left( BB^{-1}\right) A^{-1}=AA^{-1}=I\)\(B^{-1}A^{-1}\left( AB\right) =B^{-1}\left( A^{-1}A\right) B=B^{-1}IB=B^{-1}B=I\)

Вправа\(\PageIndex{51}\)

Покажіть це,\(\left( ABC\right) ^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}\) перевіривши це\[\left( ABC\right) \left( C^{-1}B^{-1}A^{-1}\right) =I\nonumber \] і\[\left( C^{-1}B^{-1}A^{-1}\right)\left( ABC\right) =I\nonumber \] підказка: Використовувати проблему\(\PageIndex{48}\).

Відповідь: Доказ цієї вправи випливає з попереднього.

Вправа\(\PageIndex{52}\)

Якщо\(A\) обертається, показуйте\(\left( A^{2}\right) ^{-1}=\left( A^{-1}\right) ^{2}.\) Підказка: Використовувати проблему\(\PageIndex{48}\).

Відповідь: \(A^{2}\left( A^{-1}\right) ^{2}=AAA^{-1}A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I\)\(\left( A^{-1}\right) ^{2}A^{2}=A^{-1}A^{-1}AA=A^{-1}IA=A^{-1}A=I\)

Вправа\(\PageIndex{53}\)

Якщо\(A\) обертається, показуйте\(\left( A^{-1}\right) ^{-1}=A.\) Підказка: Використовувати проблему\(\PageIndex{48}\).

Відповідь: \(A^{-1}A=AA^{-1}=I\)і так унікальністю,\(\left( A^{-1}\right) ^{-1}=A\).

2.8

Вправа\(\PageIndex{54}\)

Нехай\(A = \left [ \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right ]\). Припустимо, до рядку застосовано операцію,\(A\) і результат є\(B = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right ]\). Знайдіть елементарну матрицю\(E\), яка представляє цю операцію рядка.

Вправа\(\PageIndex{55}\)

Нехай\(A = \left [ \begin{array}{rr} 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right ]\). Припустимо, до рядку застосовано операцію,\(A\) і результат є\(B = \left [ \begin{array}{rr} 8 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right ]\). Знайдіть елементарну матрицю\(E\), яка представляє цю операцію рядка.

Вправа\(\PageIndex{56}\)

Нехай\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & -3 \\ 0 & 5 \end{array}\right ]\). Припустимо, до рядку застосовано операцію,\(A\) і результат є\(B = \left [ \begin{array}{rr} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{array}\right ]\). Знайдіть елементарну матрицю\(E\), яка представляє цю операцію рядка.

Вправа\(\PageIndex{57}\)

Нехай\(A = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \end{array}\right ]\). Припустимо, до рядку застосовано операцію,\(A\) і результат є\(B = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{array}\right ]\).

Знайдіть елементарну матрицю\(E\) таку, що\(EA = B\).
Знайдіть зворотне\(E\), такий\(E^{-1}\), що\(E^{-1}B = A\).

Вправа\(\PageIndex{58}\)

Знайдіть елементарну матрицю\(E\) таку, що\(EA = B\).
Знайдіть зворотне\(E\), такий\(E^{-1}\), що\(E^{-1}B = A\).

Вправа\(\PageIndex{59}\)

Знайдіть елементарну матрицю\(E\) таку, що\(EA = B\).
Знайдіть зворотне\(E\), такий\(E^{-1}\), що\(E^{-1}B = A\).

Вправа\(\PageIndex{60}\)

Знайдіть елементарну матрицю\(E\) таку, що\(EA = B\).
Знайдіть зворотне\(E\), такий\(E^{-1}\), що\(E^{-1}B = A\).

2.10

Вправа\(\PageIndex{61}\)

Знайдіть\(LU\) факторизацію\(\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right ] .\)

Відповідь: \[\left [ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right ]\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{62}\)

Знайдіть\(LU\) факторизацію\(\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right ] .\)

Відповідь: \[\left [ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 5 & -10 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -24 & -17 \end{array} \right ]\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{63}\)

Знайти\(LU\) факторизацію матриці\(\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & -5 & 0 \\ -2 & 5 & 11 & 3 \\ 3 & -6 & -15 & 1 \end{array} \right ] .\)

Відповідь: \[\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & -5 & 0 \\ -2 & 5 & 11 & 3 \\ 3 & -6 & -15 & 1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{64}\)

Знайти\(LU\) факторизацію матриці\(\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & 3 \\ 2 & -3 & -7 & -3 \end{array} \right ] .\)

Відповідь: \[\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & 3 \\ 2 & -3 & -7 & -3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{65}\)

Знайти\(LU\) факторизацію матриці\( \ \ \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -3 & -4 & -3 \\ -3 & 10 & 10 & 10 \\ 1 & -6 & 2 & -5 \end{array} \right ] .\)

Відповідь: \[\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -3 & -4 & -3 \\ -3 & 10 & 10 & 10 \\ 1 & -6 & 2 & -5 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & -3 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{66}\)

Знайти\(LU\) факторизацію матриці\(\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 1 & -1 \\ 3 & 10 & 8 & -1 \\ 2 & 5 & -3 & -3 \end{array} \right ] .\)

Відповідь: \[\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 1 & -1 \\ 3 & 10 & 8 & -1 \\ 2 & 5 & -3 & -3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{67}\)

Знайти\(LU\) факторизацію матриці\(\left [ \begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1 \\ 9 & -8 & 6 \\ -6 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -7 \end{array} \right ] .\)

Відповідь: \[\left [ \begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1 \\ 9 & -8 & 6 \\ -6 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -7 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{68}\)

Знайти\(LU\) факторизацію матриці\(\left [ \begin{array}{rrr} -3 & -1 & 3 \\ 9 & 9 & -12 \\ 3 & 19 & -16 \\ 12 & 40 & -26 \end{array} \right ] .\)

Вправа\(\PageIndex{69}\)

Знайти\(LU\) факторизацію матриці\(\left [ \begin{array}{rrr} -1 & -3 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 3 & 9 & 0 \\ 4 & 12 & 16 \end{array} \right ] .\)

Відповідь: \[\left [ \begin{array}{rrr} -1 & -3 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 3 & 9 & 0 \\ 4 & 12 & 16 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & -4 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} -1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{70}\)

Знайдіть\(LU\) факторизацію матриці коефіцієнтів методом Дуліттла і використовуйте її для розв'язання системи рівнянь. \[\begin{array}{c} x+2y=5 \\ 2x+3y=6 \end{array}\nonumber \]

Відповідь: \(LU\)Факторизація матриці коефіцієнтів - це\[\left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{array} \right ]\nonumber \] перше розв'язання\[\left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right ]\nonumber \], яке дає\(\left [ \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right ] =\)\(\left [ \begin{array}{r} 5 \\ -4 \end{array} \right ] .\) Потім вирішити,\[\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{r} 5 \\ -4 \end{array} \right ]\nonumber \] що говорить, що\(y=4\) і\(x=-3.\)

Вправа\(\PageIndex{71}\)

Знайдіть\(LU\) факторизацію матриці коефіцієнтів методом Дуліттла і використовуйте її для розв'язання системи рівнянь. \[\begin{array}{c} x+2y+z=1 \\ y+3z=2 \\ 2x+3y=6 \end{array}\nonumber \]

Відповідь: \(LU\)Факторизація матриці коефіцієнтів - це\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \] перше розв'язання\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right ]\nonumber \], яке дає\(u=1,v=2,w=6\). наступне рішення\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right ]\nonumber \] Це дає\(z=6,y=-16,x=27.\)

Вправа\(\PageIndex{72}\)

Знайдіть\(LU\) факторизацію матриці коефіцієнтів методом Дуліттла і використовуйте її для розв'язання системи рівнянь. \[\begin{array}{c} x+2y+3z=5 \\ 2x+3y+z=6 \\ x-y+z=2 \end{array}\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{73}\)

Знайдіть\(LU\) факторизацію матриці коефіцієнтів методом Дуліттла і використовуйте її для розв'язання системи рівнянь. \[\begin{array}{c} x+2y+3z=5 \\ 2x+3y+z=6 \\ 3x+5y+4z=11 \end{array}\nonumber \]

Відповідь: \(LU\)Факторизація матриці коефіцієнтів є\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Перше\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 11 \end{array} \right ]\nonumber \] рішення Рішення:\(\left [ \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right ] =\)\(\left [ \begin{array}{c} 5 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right ] .\) Наступне\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 5 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \] рішення Рішення:\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 7t-3 \\ 4-5t \\ t \end{array} \right ] ,t\in \mathbb{R}\).

Вправа\(\PageIndex{74}\)

Чи існує лише одна\(LU\) факторизація для даної матриці? Підказка:\[\left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right ] .\nonumber \] Розглянемо рівняння Шукайте всі\(LU\) можливі множники.

Відповідь: Іноді існує більше однієї\(LU\) факторизації, як це відбувається в цьому прикладі. Задане рівняння чітко дає\(LU\) факторизацію. Однак виявляється, що наступне рівняння дає ще одну\(LU\) факторизацію. \[\left [ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]