2.8: Елементарні матриці

Тепер звернемо увагу на особливий тип матриці під назвою елементарна матриця. Елементарна матриця - це завжди квадратна матриця. Згадайте операції з рядками, наведені у Визначенні 1.3.2. Будь-яка елементарна матриця, яку ми часто позначаємо$E$, виходить від застосування однієї рядкової операції до ідентичної матриці однакового розміру.

Наприклад, матриця $$E = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$ - це елементарна матриця, отримана при перемиканні двох рядків. Матриця $$E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ - це елементарна матриця, отримана при множенні другого рядка матриці$3 \times 3$ ідентичності на$3$. Матриця $$E = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ - це елементарна матриця, отримана при додаванні$-3$ разів першого рядка до третього рядка.

Ви можете побудувати елементарну матрицю з будь-якої операції рядка, але пам'ятайте, що ви можете застосувати лише одну операцію.

Розглянемо наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{1}$: Elementary Matrices and Row Operations

$E$Дозволяти бути$n \times n$ матрицею. Тоді$E$ є елементарною матрицею, якщо вона є результатом застосування однієї операції рядка до матриці$n \times n$ ідентичності$I_n$.

Ті, які передбачають перемикання рядків матриці ідентичності, називаються матрицями перестановки.

Тому$E$ побудована вище шляхом перемикання двох рядків$I_2$ називається матрицею перестановки.

Елементарні матриці можуть бути використані замість рядкових операцій і тому дуже корисні. Виявляється, множення (з лівого боку) на елементарну матрицю$E$ матиме такий же ефект, як і операція рядка, яка використовується для отримання$E$.

Наступна теорема є важливим результатом, який ми будемо використовувати в цьому тексті.

Теорема$\PageIndex{1}$: Multiplication by an Elementary Matrix and Row Operations

Для виконання будь-якої з трьох рядкових операцій над матрицею$A$ досить взяти добуток$EA$, де$E$ - елементарна матриця, отримана за допомогою потрібної операції рядка на ідентифікаційній матриці.

Тому замість виконання рядкових операцій над матрицею$A$ ми можемо зменшити рядків через множення матриці з відповідною елементарною матрицею. Ми детально розглянемо цю теорему для кожної з трьох рядкових операцій, наведених у Визначенні 1.3.2.

Спочатку розглянемо наступну лему.

Лемма$\PageIndex{1}$: Action of Permutation Matrix

Дозвольте$P^{ij}$ позначити елементарну матрицю, яка передбачає перемикання$i^{th}$ і$j^{th}$ рядків. Потім$P^{ij}$ йде матриця $$P^{ij}A=B\nonumber$$ перестановки і звідки$B$ виходить$A$ шляхом перемикання$i^{th}$ і$j^{th}$ рядків.

Ми розглянемо цю ідею докладніше в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{1}$: Switching Rows with an Elementary Matrix

Нехай $$P^{12} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ g & d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber$$

Знайти$B$ де$B = P^{12}A$.

Рішення

Можна помітити, що матриця$P^{12}$ виходить перемиканням першого і другого рядків матриці$3 \times 3$ ідентичності$I$.

Використовуючи нашу звичайну процедуру, обчислити виріб$P^{12}A = B$. Результат видається

$$B =\left[ \begin{array}{cc} g & d \\ a & b \\ e & f \end{array} \right] \nonumber$$

Зверніть увагу, що матриця$B$ отримується при перемиканні$2$ рядків$1$ і з$A$. Тому, множивши$A$ на$P^{12}$, для$I$ отримання застосовується операція рядка, яка була$P^{12}$ застосована$A$ до отримання$B$.

Теорема$\PageIndex{1}$ застосовується до всіх трьох рядкових операцій, і тепер ми розглянемо операцію рядка множення рядка на скаляр. Розглянемо наступну лему.

Лемма$\PageIndex{2}$: Multiplication by a Scalar and Elementary Matrices

Нехай$E\left( k,i\right)$ позначимо елементарну матрицю, відповідну операції рядка, в якій$i^{th}$ рядок множиться на ненульовий скаляр,$k.$ Тоді

$$E\left( k,i\right) A=B \nonumber$$

де$B$ виходить від$A$ множення$i^{th}$ рядка$A$ на$k$.

Ми розглянемо цю лему далі в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{2}$: Multiplication of a Row by 5 Using Elementary Matrix

Нехай

$$E \left(5, 2\right) = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber$$

Знайдіть матрицю$B$, де$B = E \left(5, 2\right)A$

Рішення

Ви можете бачити,$E \left(5, 2\right)$ що виходить множенням другого рядка матриці ідентичності на$5$.

Використовуючи нашу звичайну процедуру множення матриць, ми можемо обчислити твір$E \left(5, 2\right)A$. Отримана матриця задається

$$B =\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 5c & 5d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber$$

Зверніть увагу,$B$ що виходить множенням другого рядка$A$ на скаляр$5$.

Існує одна остання операція рядка, яку слід розглянути. Наступна лема обговорює остаточну операцію додавання кратного рядка до іншого рядка.

Лемма$\PageIndex{3}$: Adding Multiples of Rows and Elementary Matrices

Нехай$E\left( k \times i+j\right)$ позначимо елементарну матрицю$I$, отриману від додавання$k$ разів$i^{th}$ рядка до$j^{th}$. Тоді

$$E\left( k \times i+j\right) A=B\nonumber$$

де$B$ виходить$A$, додаючи$k$ раз$i^{th}$ ряд до$j^{th}$ ряду$A.$

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{3}$: Adding Two Times the First Row to the Last

Нехай

$$E\left( 2 \times 1+3\right) = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber$$

Знайти$B$ де$B = E\left( 2 \times 1+3\right)A$.

Рішення

Ви можете бачити, що матриця$E\left( 2 \times 1+3\right)$ була отримана шляхом додавання$2$ разів першого рядка$I$ до третього рядка$I$.

Використовуючи нашу звичайну процедуру, ми можемо обчислити продукт$E\left( 2 \times 1+3\right)A$. Отримана$B$ матриця задається $$B = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ 2a+e & 2b+f \end{array} \right] \nonumber$$

Ви можете бачити,$B$ що матриця отримана шляхом додавання$2$ разів першого рядка$A$ до третього рядка.

Припустимо, ми застосували операцію рядка до матриці$A$. Розглянемо операцію рядка, необхідну$A$ для повернення до початкового вигляду, щоб скасувати операцію рядка. Виявляється, це дія, як ми знаходимо зворотну елементарної матриці$E$.

Розглянемо наступну теорему.

Теорема$\PageIndex{2}$: Elementary Matrices and Inverses

Кожна елементарна матриця є оборотною, а її зворотна також є елементарною матрицею.

Фактично, зворотна елементарна матриця будується шляхом виконання операції зворотного рядка на$I$. $E^{-1}$буде отримано, виконуючи операцію рядка, до якої буде$E$ перенесено$I$.

• Якщо$E$ виходить шляхом перемикання рядів$i$ і$j$, то$E^{-1}$ виходить також шляхом перемикання рядів$i$ і$j$.
• Якщо$E$ виходить множенням рядка$i$ на скаляр$k$, то$E^{-1}$ виходить множенням рядка$i$ на скаляр$\frac{1}{k}$.
• Якщо$E$ виходить шляхом додавання$k$ разів рядок$i$ до рядка$j$, то$E^{-1}$ виходить шляхом віднімання$k$ разів рядка$i$ з ряду$j$.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{4}$: Inverse of an Elementary Matrix

Нехай $$E = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$

Знайти$E^{-1}$.

Рішення

Розглянемо елементарну матрицю,$E$ задану

$$E = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$

Тут$E$ отримується з матриці$2 \times 2$ ідентичності множенням другого рядка на$2$. Для того щоб$E$ віднести назад до тотожності, нам потрібно помножити другий ряд$E$ на$\frac{1}{2}$. Отже,

$E^{-1}$дається $$E^{-1} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \nonumber$$

Ми можемо це перевірити$EE^{-1}=I$. Візьміть продукт$EE^{-1}$, даний

$$EE^{-1} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber$$

Це дорівнює$I$ тому ми знаємо, що у нас є обчислення$E^{-1}$ належним чином.

Припустимо,$A$ що$m \times n$ матриця - це рядок, зведений до його зменшеної рядково-ешелонової форми. Відстежуючи кожну виконану операцію рядка, це скорочення рядка може бути завершено шляхом множення на елементарні матриці.

Розглянемо наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{2}$: The Form $B=UA$

$A$Дозволяти бути$m \times n$ матриця і нехай$B$ бути зменшений рядок ешелон форма$A$. Тоді ми можемо записати$B = UA$, де$U$ є добуток всіх елементарних матриць, що представляють рядкові операції, зроблені$A$ для отримання$B$.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{5}$: The Form $B=UA$

Нехай$A = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right]$. Знайдіть$B$, скорочений ряд-ешелон форму$A$ і запишіть його в бланк$B=UA$.

Рішення

Щоб знайти$B$, ряд зменшити$A$. Для кожного кроку запишемо відповідну елементарну матрицю. Спочатку перемикають ряди$1$ і$2$.

$$\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Отримана матриця еквівалентна знаходженню добутку$P^{12} =\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$ і$A$.

Далі додайте$(-2)$ раз рядок$1$ до рядка$3$.

$$\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Це еквівалентно множенню на матрицю$E(-2 \times 1 + 3) = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right]$. Зверніть увагу, що отримана матриця$B$, необхідна зменшена рядо-ешелонова форма$A$.

Потім ми можемо написати

$$\begin{aligned} B &= E(-2 \times 1 + 2) \left( P^{12} A \right) \\ &= \left( E(-2 \times 1 + 2) P^{12} \right) A \\ &= U A\end{aligned}$$

Залишилося знайти матрицю$U$.

$$\begin{aligned} U &= E(-2 \times 1 + 2) P^{12} \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right]\end{aligned}$$

Ми можемо перевірити, що$B = UA$ тримає цю матрицю$U$: $$\begin{aligned} UA &= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \\ &= B \end{aligned}$$

Хоча процес, використаний у наведеному вище прикладі, є надійним і простим, коли використовуються лише кілька рядкових операцій, він стає громіздким у випадку, коли багато операцій рядків потрібно$A$ виконати$B$. Наступна теорема надає альтернативний спосіб пошуку матриці$U$.

Теорема$\PageIndex{3}$: Finding the Matrix $U$

$A$Дозволяти бути$m \times n$ матрицею і нехай$B$ буде його зменшена рядка-ешелон форма. Тоді$B = UA$ де$U$ знаходиться оборотна$m \times m$ матриця, знайдена шляхом формування матриці$\left[ A | I_m \right]$ і рядка, що зменшується до$\left[ B | U \right]$.

Давайте повернемося до наведеного вище прикладу за допомогою процесу, викладеного в теоремі$\PageIndex{3}$.

Приклад$\PageIndex{6}$: The Form $B=UA$, Revisited

Нехай$A = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$. Використовуючи процес, викладений в теоремі$\PageIndex{3}$, знайдіть$U$ такий, що$B=UA$.

Рішення

Спочатку налаштовуємо матрицю$\left[ A | I_m \right]$. $$\left[ \begin{array}{rr|rrr} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\nonumber$$ Тепер, рядок зменшити цю матрицю до тих пір, поки ліва сторона не дорівнює зменшеному рядку-ешелону форми$A$.

$$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{rr|rrr} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] &\rightarrow \left[ \begin{array}{rr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ &\rightarrow \left[ \begin{array}{rr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right]\end{aligned}$$

Ліва частина цієї матриці є$B$, а права -$U$. Порівнюючи це з матрицею,$U$ знайденою вище в прикладі$\PageIndex{5}$, ви можете побачити, що одна і та ж матриця виходить незалежно від того, який процес використовується.

Нагадаємо з Алгоритму 2.7.1, що$n \times n$ матриця$A$ є інвертованою тоді і тільки тоді, коли$A$ може бути перенесена до матриці$n \times n$ ідентичності за допомогою звичайних рядкових операцій. Це призводить до важливого наслідку, пов'язаного з вищезазначеним обговоренням.

Припустимо,$A$ це$n \times n$ оборотна матриця. Потім встановіть матрицю,$\left[ A | I_n \right]$ як це зроблено вище, і рядок зменшуйте, поки вона не має форми$\left[ B | U \right]$. У цьому випадку$B = I_n$ тому, що$A$ є оборотним.

$$\begin{aligned} B &= UA \\ I_n &=UA \\ U^{-1} &= A \end{aligned}$$

Тепер припустимо, що$U = E_1 E_2 \cdots E_k$ де кожен$E_i$ є елементарною матрицею, що представляє рядок операції використовується$A$ для перенесення$I$. Потім,

$$U^{-1} = \left( E_1 E_2 \cdots E_k \right) ^{-1} = E_k^{-1} \cdots E_2^{-1} E_1{-1}\nonumber$$

Пам'ятайте, що якщо$E_i$ є елементарною матрицею, так теж є$E_i^{-1}$. Звідси випливає, що

$$\begin{aligned} A&= U^{-1} \\ &= E_k^{-1} \cdots E_2^{-1} E_1{-1}\end{aligned}$$

і$A$ може бути записаний як добуток елементарних матриць.

Теорема$\PageIndex{4}$: Product of Elementary Matrices

$A$Дозволяти бути$n \times n$ матрицею. Тоді$A$ є оборотним тоді і тільки тоді, коли його можна записати як добуток елементарних матриць.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{7}$: Product of Elementary Matrices

Нехай$A = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right]$. Запишіть$A$ як добуток елементарних матриць.

Рішення

Ми будемо використовувати процес, викладені в теоремі,$\PageIndex{3}$ для запису$A$ як добуток елементарних матриць. Ми налаштуємо матрицю$\left[ A | I \right]$ і скорочення рядків, записуючи кожну операцію рядка як елементарну матрицю.

Перший:

$$\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber$$

представлена елементарною матрицею$E_1= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$.

По-друге:

$$\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber$$

представлена елементарною матрицею$E_2 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$.

Нарешті:

$$\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0& 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 &-1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber$$

представлена елементарною матрицею$E_3= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right]$.

Зверніть увагу, що зменшена рядно-ешелонова форма$A$ є$I$. Звідси$I = UA$ де$U$ знаходиться добуток вищевказаних елементарних матриць. Звідси випливає, що$A = U^{-1}$. Оскільки ми хочемо писати$A$ як добуток елементарних матриць, ми хочемо висловити$U^{-1}$ як добуток елементарних матриць. $$\begin{aligned} U^{-1} &= \left( E_3 E_2 E_1 \right)^{-1}\\ &= E_1^{-1} E_2^{-1} E_3^{-1} \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right] \\ &= A\end{aligned}$$

Це дає$A$ записані як добуток елементарних матриць. За теоремою$\PageIndex{4}$ випливає, що$A$ є оборотним.