2.8: Елементарні матриці
- Page ID
- 63171
Тепер звернемо увагу на особливий тип матриці під назвою елементарна матриця. Елементарна матриця - це завжди квадратна матриця. Згадайте операції з рядками, наведені у Визначенні 1.3.2. Будь-яка елементарна матриця, яку ми часто позначаємо\(E\), виходить від застосування однієї рядкової операції до ідентичної матриці однакового розміру.
Наприклад, матриця\[E = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] - це елементарна матриця, отримана при перемиканні двох рядків. Матриця\[E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] - це елементарна матриця, отримана при множенні другого рядка матриці\(3 \times 3\) ідентичності на\(3\). Матриця\[E = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] - це елементарна матриця, отримана при додаванні\(-3\) разів першого рядка до третього рядка.
Ви можете побудувати елементарну матрицю з будь-якої операції рядка, але пам'ятайте, що ви можете застосувати лише одну операцію.
Розглянемо наступне визначення.
\(E\)Дозволяти бути\(n \times n\) матрицею. Тоді\(E\) є елементарною матрицею, якщо вона є результатом застосування однієї операції рядка до матриці\(n \times n\) ідентичності\(I_n\).
Ті, які передбачають перемикання рядків матриці ідентичності, називаються матрицями перестановки.
Тому\(E\) побудована вище шляхом перемикання двох рядків\(I_2\) називається матрицею перестановки.
Елементарні матриці можуть бути використані замість рядкових операцій і тому дуже корисні. Виявляється, множення (з лівого боку) на елементарну матрицю\(E\) матиме такий же ефект, як і операція рядка, яка використовується для отримання\(E\).
Наступна теорема є важливим результатом, який ми будемо використовувати в цьому тексті.
Для виконання будь-якої з трьох рядкових операцій над матрицею\(A\) досить взяти добуток\(EA\), де\(E\) - елементарна матриця, отримана за допомогою потрібної операції рядка на ідентифікаційній матриці.
Тому замість виконання рядкових операцій над матрицею\(A\) ми можемо зменшити рядків через множення матриці з відповідною елементарною матрицею. Ми детально розглянемо цю теорему для кожної з трьох рядкових операцій, наведених у Визначенні 1.3.2.
Спочатку розглянемо наступну лему.
Дозвольте\(P^{ij}\) позначити елементарну матрицю, яка передбачає перемикання\(i^{th}\) і\(j^{th}\) рядків. Потім\(P^{ij}\) йде матриця\[P^{ij}A=B\nonumber \] перестановки і звідки\(B\) виходить\(A\) шляхом перемикання\(i^{th}\) і\(j^{th}\) рядків.
Ми розглянемо цю ідею докладніше в наступному прикладі.
Нехай\[P^{12} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ g & d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber \]
Знайти\(B\) де\(B = P^{12}A\).
Рішення
Можна помітити, що матриця\(P^{12}\) виходить перемиканням першого і другого рядків матриці\(3 \times 3\) ідентичності\(I\).
Використовуючи нашу звичайну процедуру, обчислити виріб\(P^{12}A = B\). Результат видається
\[B =\left[ \begin{array}{cc} g & d \\ a & b \\ e & f \end{array} \right] \nonumber\]
Зверніть увагу, що матриця\(B\) отримується при перемиканні\(2\) рядків\(1\) і з\(A\). Тому, множивши\(A\) на\(P^{12}\), для\(I\) отримання застосовується операція рядка, яка була\(P^{12}\) застосована\(A\) до отримання\(B\).
Теорема\(\PageIndex{1}\) застосовується до всіх трьох рядкових операцій, і тепер ми розглянемо операцію рядка множення рядка на скаляр. Розглянемо наступну лему.
Нехай\(E\left( k,i\right)\) позначимо елементарну матрицю, відповідну операції рядка, в якій\(i^{th}\) рядок множиться на ненульовий скаляр,\(k.\) Тоді
\[E\left( k,i\right) A=B \nonumber\]
де\(B\) виходить від\(A\) множення\(i^{th}\) рядка\(A\) на\(k\).
Ми розглянемо цю лему далі в наступному прикладі.
Нехай
\[E \left(5, 2\right) = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber\]
Знайдіть матрицю\(B\), де\(B = E \left(5, 2\right)A\)
Рішення
Ви можете бачити,\(E \left(5, 2\right)\) що виходить множенням другого рядка матриці ідентичності на\(5\).
Використовуючи нашу звичайну процедуру множення матриць, ми можемо обчислити твір\(E \left(5, 2\right)A\). Отримана матриця задається
\[B =\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 5c & 5d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber\]
Зверніть увагу,\(B\) що виходить множенням другого рядка\(A\) на скаляр\(5\).
Існує одна остання операція рядка, яку слід розглянути. Наступна лема обговорює остаточну операцію додавання кратного рядка до іншого рядка.
Нехай\(E\left( k \times i+j\right)\) позначимо елементарну матрицю\(I\), отриману від додавання\(k\) разів\(i^{th}\) рядка до\(j^{th}\). Тоді
\[E\left( k \times i+j\right) A=B\nonumber \]
де\(B\) виходить\(A\), додаючи\(k\) раз\(i^{th}\) ряд до\(j^{th}\) ряду\(A.\)
Розглянемо наступний приклад.
Нехай
\[E\left( 2 \times 1+3\right) = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber\]
Знайти\(B\) де\(B = E\left( 2 \times 1+3\right)A\).
Рішення
Ви можете бачити, що матриця\(E\left( 2 \times 1+3\right)\) була отримана шляхом додавання\(2\) разів першого рядка\(I\) до третього рядка\(I\).
Використовуючи нашу звичайну процедуру, ми можемо обчислити продукт\(E\left( 2 \times 1+3\right)A\). Отримана\(B\) матриця задається\[B = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ 2a+e & 2b+f \end{array} \right] \nonumber\]
Ви можете бачити,\(B\) що матриця отримана шляхом додавання\(2\) разів першого рядка\(A\) до третього рядка.
Припустимо, ми застосували операцію рядка до матриці\(A\). Розглянемо операцію рядка, необхідну\(A\) для повернення до початкового вигляду, щоб скасувати операцію рядка. Виявляється, це дія, як ми знаходимо зворотну елементарної матриці\(E\).
Розглянемо наступну теорему.
Кожна елементарна матриця є оборотною, а її зворотна також є елементарною матрицею.
Фактично, зворотна елементарна матриця будується шляхом виконання операції зворотного рядка на\(I\). \(E^{-1}\)буде отримано, виконуючи операцію рядка, до якої буде\(E\) перенесено\(I\).
- Якщо\(E\) виходить шляхом перемикання рядів\(i\) і\(j\), то\(E^{-1}\) виходить також шляхом перемикання рядів\(i\) і\(j\).
- Якщо\(E\) виходить множенням рядка\(i\) на скаляр\(k\), то\(E^{-1}\) виходить множенням рядка\(i\) на скаляр\(\frac{1}{k}\).
- Якщо\(E\) виходить шляхом додавання\(k\) разів рядок\(i\) до рядка\(j\), то\(E^{-1}\) виходить шляхом віднімання\(k\) разів рядка\(i\) з ряду\(j\).
Розглянемо наступний приклад.
Нехай\[E = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]
Знайти\(E^{-1}\).
Рішення
Розглянемо елементарну матрицю,\(E\) задану
\[E = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]
Тут\(E\) отримується з матриці\(2 \times 2\) ідентичності множенням другого рядка на\(2\). Для того щоб\(E\) віднести назад до тотожності, нам потрібно помножити другий ряд\(E\) на\(\frac{1}{2}\). Отже,
\(E^{-1}\)дається\[E^{-1} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \nonumber\]
Ми можемо це перевірити\(EE^{-1}=I\). Візьміть продукт\(EE^{-1}\), даний
\[EE^{-1} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber\]
Це дорівнює\(I\) тому ми знаємо, що у нас є обчислення\(E^{-1}\) належним чином.
Припустимо,\(A\) що\(m \times n\) матриця - це рядок, зведений до його зменшеної рядково-ешелонової форми. Відстежуючи кожну виконану операцію рядка, це скорочення рядка може бути завершено шляхом множення на елементарні матриці.
Розглянемо наступне визначення.
\(A\)Дозволяти бути\(m \times n\) матриця і нехай\(B\) бути зменшений рядок ешелон форма\(A\). Тоді ми можемо записати\(B = UA\), де\(U\) є добуток всіх елементарних матриць, що представляють рядкові операції, зроблені\(A\) для отримання\(B\).
Розглянемо наступний приклад.
Нехай\(A = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right]\). Знайдіть\(B\), скорочений ряд-ешелон форму\(A\) і запишіть його в бланк\(B=UA\).
Рішення
Щоб знайти\(B\), ряд зменшити\(A\). Для кожного кроку запишемо відповідну елементарну матрицю. Спочатку перемикають ряди\(1\) і\(2\).
\[\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Отримана матриця еквівалентна знаходженню добутку\(P^{12} =\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\) і\(A\).
Далі додайте\((-2)\) раз рядок\(1\) до рядка\(3\).
\[\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Це еквівалентно множенню на матрицю\(E(-2 \times 1 + 3) = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right]\). Зверніть увагу, що отримана матриця\(B\), необхідна зменшена рядо-ешелонова форма\(A\).
Потім ми можемо написати
\[\begin{aligned} B &= E(-2 \times 1 + 2) \left( P^{12} A \right) \\ &= \left( E(-2 \times 1 + 2) P^{12} \right) A \\ &= U A\end{aligned}\]
Залишилося знайти матрицю\(U\).
\[\begin{aligned} U &= E(-2 \times 1 + 2) P^{12} \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right]\end{aligned}\]
Ми можемо перевірити, що\(B = UA\) тримає цю матрицю\(U\):\[\begin{aligned} UA &= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \\ &= B \end{aligned}\]
Хоча процес, використаний у наведеному вище прикладі, є надійним і простим, коли використовуються лише кілька рядкових операцій, він стає громіздким у випадку, коли багато операцій рядків потрібно\(A\) виконати\(B\). Наступна теорема надає альтернативний спосіб пошуку матриці\(U\).
\(A\)Дозволяти бути\(m \times n\) матрицею і нехай\(B\) буде його зменшена рядка-ешелон форма. Тоді\(B = UA\) де\(U\) знаходиться оборотна\(m \times m\) матриця, знайдена шляхом формування матриці\(\left[ A | I_m \right]\) і рядка, що зменшується до\(\left[ B | U \right]\).
Давайте повернемося до наведеного вище прикладу за допомогою процесу, викладеного в теоремі\(\PageIndex{3}\).
Нехай\(A = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}\right]\). Використовуючи процес, викладений в теоремі\(\PageIndex{3}\), знайдіть\(U\) такий, що\(B=UA\).
Рішення
Спочатку налаштовуємо матрицю\(\left[ A | I_m \right]\). \[\left[ \begin{array}{rr|rrr} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\nonumber \]Тепер, рядок зменшити цю матрицю до тих пір, поки ліва сторона не дорівнює зменшеному рядку-ешелону форми\(A\).
\[\begin{aligned} \left[ \begin{array}{rr|rrr} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] &\rightarrow \left[ \begin{array}{rr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ &\rightarrow \left[ \begin{array}{rr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right]\end{aligned}\]
Ліва частина цієї матриці є\(B\), а права -\(U\). Порівнюючи це з матрицею,\(U\) знайденою вище в прикладі\(\PageIndex{5}\), ви можете побачити, що одна і та ж матриця виходить незалежно від того, який процес використовується.
Нагадаємо з Алгоритму 2.7.1, що\(n \times n\) матриця\(A\) є інвертованою тоді і тільки тоді, коли\(A\) може бути перенесена до матриці\(n \times n\) ідентичності за допомогою звичайних рядкових операцій. Це призводить до важливого наслідку, пов'язаного з вищезазначеним обговоренням.
Припустимо,\(A\) це\(n \times n\) оборотна матриця. Потім встановіть матрицю,\(\left[ A | I_n \right]\) як це зроблено вище, і рядок зменшуйте, поки вона не має форми\(\left[ B | U \right]\). У цьому випадку\(B = I_n\) тому, що\(A\) є оборотним.
\[\begin{aligned} B &= UA \\ I_n &=UA \\ U^{-1} &= A \end{aligned}\]
Тепер припустимо, що\(U = E_1 E_2 \cdots E_k\) де кожен\(E_i\) є елементарною матрицею, що представляє рядок операції використовується\(A\) для перенесення\(I\). Потім,
\[U^{-1} = \left( E_1 E_2 \cdots E_k \right) ^{-1} = E_k^{-1} \cdots E_2^{-1} E_1{-1}\nonumber \]
Пам'ятайте, що якщо\(E_i\) є елементарною матрицею, так теж є\(E_i^{-1}\). Звідси випливає, що
\[\begin{aligned} A&= U^{-1} \\ &= E_k^{-1} \cdots E_2^{-1} E_1{-1}\end{aligned}\]
і\(A\) може бути записаний як добуток елементарних матриць.
\(A\)Дозволяти бути\(n \times n\) матрицею. Тоді\(A\) є оборотним тоді і тільки тоді, коли його можна записати як добуток елементарних матриць.
Розглянемо наступний приклад.
Нехай\(A = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right]\). Запишіть\(A\) як добуток елементарних матриць.
Рішення
Ми будемо використовувати процес, викладені в теоремі,\(\PageIndex{3}\) для запису\(A\) як добуток елементарних матриць. Ми налаштуємо матрицю\(\left[ A | I \right]\) і скорочення рядків, записуючи кожну операцію рядка як елементарну матрицю.
Перший:
\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber\]
представлена елементарною матрицею\(E_1= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\).
По-друге:
\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber\]
представлена елементарною матрицею\(E_2 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\).
Нарешті:
\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0& 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 &-1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber\]
представлена елементарною матрицею\(E_3= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right]\).
Зверніть увагу, що зменшена рядно-ешелонова форма\(A\) є\(I\). Звідси\(I = UA\) де\(U\) знаходиться добуток вищевказаних елементарних матриць. Звідси випливає, що\(A = U^{-1}\). Оскільки ми хочемо писати\(A\) як добуток елементарних матриць, ми хочемо висловити\(U^{-1}\) як добуток елементарних матриць. \[\begin{aligned} U^{-1} &= \left( E_3 E_2 E_1 \right)^{-1}\\ &= E_1^{-1} E_2^{-1} E_3^{-1} \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right] \\ &= A\end{aligned}\]
Це дає\(A\) записані як добуток елементарних матриць. За теоремою\(\PageIndex{4}\) випливає, що\(A\) є оборотним.