2.2: Множення матриць

Наступна важлива операція матриці, яку ми вивчимо, - множення матриць. Операція множення матриць є однією з найважливіших і корисних операцій матриці. У цьому розділі ми також продемонструємо, як множення матриць відноситься до лінійних систем рівнянь.

По-перше, ми надаємо формальне визначення векторів рядків і стовпців.

Визначення\(\PageIndex{1}\): Row and Column Vectors

Матриці розміру\(n\times 1\) або\(1\times n\) називаються векторами. Якщо\(X\) така матриця, то пишемо\(x_{i}\) для позначення запису\(X\) в\(i^{th}\) рядку матриці стовпця, або\(i^{th}\) стовпця матриці рядків.

\(n\times 1\)Матриця\[X=\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber \] називається вектором стовпця. \(1\times n\)Матриця\[X = \left[ \begin{array}{ccc} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{array} \right]\nonumber \] називається рядковим вектором.

Ми можемо просто використовувати термін вектор у цьому тексті, щоб посилатися на вектор стовпця або рядка. Якщо ми це зробимо, контекст дасть зрозуміти, про що ми маємо на увазі.

У цьому розділі ми знову будемо використовувати поняття лінійної комбінації векторів, як у Визначенні 9.2.2. У цьому контексті лінійна комбінація являє собою суму, що складається з векторів, помножених на скаляри. Наприклад,\[\left[ \begin{array}{r} 50 \\ 122 \end{array} \right] = 7\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 4 \end{array} \right] +8\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 5 \end{array} \right] +9\left[ \begin{array}{r} 3 \\ 6 \end{array} \right]\nonumber \] являє собою лінійну комбінацію трьох векторів.

Виявляється, ми можемо висловити будь-яку систему лінійних рівнянь як лінійну комбінацію векторів. Насправді вектори, які ми будемо використовувати, - це всього лише стовпці відповідної доповненої матриці!

Визначення\(\PageIndex{2}\): The Vector Form of a System of Linear Equations

Припустимо, що у нас є система рівнянь,\[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber \] заданих We може виразити цю систему у векторній формі, яка виглядає наступним чином:\[x_1 \left[ \begin{array}{c} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right] + x_2 \left[ \begin{array}{c} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right] + \cdots + x_n \left[ \begin{array}{c} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right]\nonumber \]

Зверніть увагу, що кожен використовуваний тут вектор є одним стовпцем з відповідної розширеної матриці. Існує один вектор для кожної змінної в системі разом з константним вектором.

Першою важливою формою множення матриці є множення матриці на вектор. Розглянемо продукт, наданий\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 7 \\ 8 \\ 9 \end{array} \right]\nonumber \] ми скоро побачимо, що це дорівнює\[7\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array} \right] +8\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right] +9\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 50 \\ 122 \end{array} \right]\nonumber \]

У загальних рисах,\[\begin{aligned} \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] &= \ x_{1}\left[ \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \end{array} \right] +x_{2}\left[ \begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \end{array} \right] +x_{3}\left[ \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{array} \right] \\ &=\left[ \begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3} \end{array} \right] \end{aligned}\] Таким чином, ви берете\(x_{1}\) раз перший стовпець, додайте до\(x_{2}\) разів другий стовпець, і, нарешті,\(x_{3}\) раз третій стовпець. Наведена вище сума являє собою лінійну комбінацію стовпців матриці. Коли ви множите матрицю зліва на вектор праворуч, числа, що складають вектор, є лише скалярами, які будуть використовуватися в лінійній комбінації стовпців, як показано вище.

Ось формальне визначення того, як помножити\(m\times n\) матрицю на вектор\(n\times 1\) стовпця.

Визначення\(\PageIndex{3}\): Multiplication of Vector by Matrix

\(A=\left[ a_{ij} \right]\)Дозволяти\(m\times n\) матриця і\(X\) нехай\(n\times 1\) матриця, задана\[A=\left[ A_{1} \cdots A_{n}\right], X = \left[ \begin{array}{r} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber \]

Тоді добуток\(AX\) є вектором\(m\times 1\) стовпця, який дорівнює наступній лінійній комбінації стовпців\(A\):\[x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+\cdots +x_{n}A_{n} = \sum_{j=1}^{n}x_{j}A_{j}\nonumber \]

Якщо ми пишемо стовпці з точки зору їх записів, вони мають форму\[A_{j} = \left[ \begin{array}{c} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right]\nonumber \] Тоді, ми можемо написати продукт\(AX\) як\(A\)\[AX = x_{1}\left[ \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right] + x_{2}\left[ \begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right] +\cdots + x_{n}\left[ \begin{array}{c} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right]\nonumber \]

Зауважте, що множення\(m \times n\) матриці та\(n \times 1\) вектора створює\(m \times 1\) вектор.

Ось приклад.

Приклад\(\PageIndex{1}\): A Vector Multiplied by a Matrix

Обчислити продукт\(AX\) для\[A = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 4 & 1 \end{array} \right], X = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Рішення

Ми будемо використовувати \(\PageIndex{3}\)Definition для обчислення продукту. Тому обчислюємо виріб\(AX\) наступним чином. \[\begin{aligned} & 1\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right] + 2\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] + 0\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right] + 1 \left[ \begin{array}{r} 3 \\ -2\\ 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 3 \\ -2\\ 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{r} 8 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right]\end{aligned}\]

Використовуючи вищевказану операцію, ми також можемо записати систему лінійних рівнянь у матричній формі. У такому вигляді ми виражаємо систему у вигляді матриці, помноженої на вектор. Розглянемо наступне визначення.

Визначення\(\PageIndex{4}\): The Matrix Form of a System of Linear Equations

Припустимо, у нас є система рівнянь, задана\[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+ \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber \] Тоді ми можемо висловити цю систему в матричній формі наступним чином. \[\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{m} \end{array} \right]\nonumber \]

Вираз також\(AX=B\) відомий як матрична форма відповідної системи лінійних рівнянь. Матриця\(A\) - це просто матриця коефіцієнтів системи, вектор\(X\) - це вектор стовпця, побудований зі змінних системи, і, нарешті, вектор\(B\) - це вектор стовпця, побудований з констант системи. Важливо відзначити, що будь-яка система лінійних рівнянь може бути записана саме в такому вигляді.

Зверніть увагу, що якщо ми запишемо однорідну систему рівнянь у матричній формі, вона матиме вигляд\(AX=0\), для нульового вектора\(0\).

З цього визначення видно, що вектор\[X = \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber \] задовольнить рівняння\(AX=B\) лише тоді, коли записи\(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) вектора\(X\) є розв'язками вихідної системи.

Тепер, коли ми розглянули, як помножити матрицю на вектор, ми хочемо розглянути випадок, коли ми множимо дві матриці більш загальних розмірів, хоча ці розміри все ж повинні бути відповідними, як ми побачимо. Наприклад, у прикладі\(\PageIndex{1}\) ми помножили\(3 \times 4\) матрицю на\(4 \times 1\) вектор. Ми хочемо дослідити, як помножити інші розміри матриць.

Ми ще не дали жодних умов щодо того, коли можливе множення матриці! Для матриць\(A\) і\(B\), щоб сформувати добуток\(AB\), кількість стовпців\(A\) має дорівнювати кількості рядків\(B.\) Розглянемо твір,\(AB\) де\(A\) має розмір\(m\times n\) і\(B\) має розмір\(n \times p\). Потім добуток за розміром матриць задається на\[(m\times\overset{\text{these must match!}}{\widehat{n)\;(n}\times p})=m\times p\nonumber \]

Зверніть увагу, що дві зовнішні цифри дають розмір виробу. Одним з найважливіших правил щодо множення матриць є наступне. Якщо два середніх числа не збігаються, ви не можете помножити матриці!

Коли кількість стовпців\(A\) дорівнює кількості рядків\(B\) двох матриць, як кажуть, відповідають і добуток\(AB\) виходить наступним чином.

Визначення\(\PageIndex{5}\): Multiplication of Two Matrices

\(A\)Дозволяти\(m\times n\) матриця і\(B\) нехай\(n\times p\) матриця форми\(B_{1},...,B_{p}\),\[B=\left[ B_{1} \cdots B_{p}\right]\nonumber \] де є\(n\times 1\) стовпці\(B\). Далі\(m\times p\) матриця\(AB\) визначається наступним чином:\[AB = A \left[ B_{1} \cdots B_{p}\right] = \left[ (A B)_{1} \cdots (AB)_{p}\right]\nonumber \] де\((AB)_{k}\)\(m\times 1\) матриця або вектор-стовпчик, який дає\(k^{th}\) стовпець\(AB\).

Розглянемо наступний приклад.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Multiplying Two Matrices

Знайдіть\(AB\), якщо можливо. \[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Рішення

Перше, що потрібно перевірити при розрахунку товару - чи можливо множення. Перша матриця має розмір,\(2\times 3\) а друга - розмір\(3\times 3\). Внутрішні числа рівні, тому\(A\) і\(B\) є відповідними матрицями. Відповідно до наведеного вище обговорення\(AB\) буде\(2\times 3\) матриця. Визначення\(\PageIndex{5}\) дає нам спосіб обчислити кожен стовпець\(AB\), наступним чином.

\[\left[ \overset{ \text{First column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right] }},\overset{\text{Second column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] }},\overset{\text{Third column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] }}\right]\nonumber \]Ви знаєте, як помножити матрицю на вектор, використовуючи Definition\(\PageIndex{3}\) для кожного з трьох стовпців. Таким чином\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right] = \ \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 9 & 3 \\ -2 & 7 & 3 \end{array} \right]\nonumber \]

Оскільки вектори просто\(n \times 1\) або\(1 \times m\) матриці, ми також можемо помножити вектор на інший вектор.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Vector Times Vector Multiplication

Помножте, якщо можливо\(\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] .\)

Рішення

У цьому випадку ми множимо матрицю розміру\(3 \times 1\) на матрицю розміру\(1 \times 4.\). Внутрішні числа збігаються таким чином, добуток визначається. Зверніть увагу, що виріб буде мати матрицю розміру\(3 \times 4\). Використовуючи Definition\(\PageIndex{5}\), ми можемо обчислити цей продукт наступним чином\(\: \)\[\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \overset{ \text{First column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \end{array} \right] }},\overset{\text{Second column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \end{array} \right] }},\overset{\text{Third column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \end{array} \right] }}, \overset {\text{Fourth column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 \end{array} \right]}} \right]\nonumber \]

Ви можете використовувати Definition,\(\PageIndex{3}\) щоб перевірити, чи є цей продукт\[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{4}\): A Multiplication Which is Not Defined

Знайдіть\(BA\), якщо можливо. \[B = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Рішення

Спочатку перевірте, чи можливо це. Цей продукт має вигляд\(\left( 3\times 3\right) \left( 2\times 3\right) .\) Внутрішні числа не збігаються, тому ви не можете зробити це множення.

У цьому випадку ми говоримо, що множення не визначено. Зверніть увагу, що це ті самі матриці, які ми використовували в прикладі\(\PageIndex{2}\). У цьому прикладі ми спробували обчислити\(BA\) замість\(AB\). Це демонструє ще одну властивість множення матриці. Хоча продукт\(AB\) може бути визначений, ми не можемо припустити, що продукт\(BA\) буде можливим. Тому важливо завжди перевіряти, чи визначено виріб перед проведенням будь-яких розрахунків.

Раніше ми визначали нульову\(0\) матрицю як матрицю (відповідного розміру), яка містить нулі у всіх записах. Розглянемо наступний приклад для множення на нульову матрицю.

Приклад\(\PageIndex{5}\): Multiplication by the Zero Matrix

Обчислити добуток\(A0\) для матриці\[A= \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]\nonumber \] та\(2 \times 2\) нульової матриці, заданої\[0= \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]

Рішення

У цьому продукті ми обчислюємо\[\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]

Отже,\(A0=0\).

Зверніть увагу, що ми могли б також\(A\) помножити на\(2 \times 1\) нульовий вектор, заданий\(\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right]\). Результатом буде\(2 \times 1\) нульовий вектор. Тому завжди так\(A0=0\), для відповідного розміру нульової матриці або вектора.