2.2: Множення матриць

Наступна важлива операція матриці, яку ми вивчимо, - множення матриць. Операція множення матриць є однією з найважливіших і корисних операцій матриці. У цьому розділі ми також продемонструємо, як множення матриць відноситься до лінійних систем рівнянь.

По-перше, ми надаємо формальне визначення векторів рядків і стовпців.

Визначення$\PageIndex{1}$: Row and Column Vectors

Матриці розміру$n\times 1$ або$1\times n$ називаються векторами. Якщо$X$ така матриця, то пишемо$x_{i}$ для позначення запису$X$ в$i^{th}$ рядку матриці стовпця, або$i^{th}$ стовпця матриці рядків.

$n\times 1$Матриця $$X=\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber$$ називається вектором стовпця. $1\times n$Матриця $$X = \left[ \begin{array}{ccc} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{array} \right]\nonumber$$ називається рядковим вектором.

Ми можемо просто використовувати термін вектор у цьому тексті, щоб посилатися на вектор стовпця або рядка. Якщо ми це зробимо, контекст дасть зрозуміти, про що ми маємо на увазі.

У цьому розділі ми знову будемо використовувати поняття лінійної комбінації векторів, як у Визначенні 9.2.2. У цьому контексті лінійна комбінація являє собою суму, що складається з векторів, помножених на скаляри. Наприклад, $$\left[ \begin{array}{r} 50 \\ 122 \end{array} \right] = 7\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 4 \end{array} \right] +8\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 5 \end{array} \right] +9\left[ \begin{array}{r} 3 \\ 6 \end{array} \right]\nonumber$$ являє собою лінійну комбінацію трьох векторів.

Виявляється, ми можемо висловити будь-яку систему лінійних рівнянь як лінійну комбінацію векторів. Насправді вектори, які ми будемо використовувати, - це всього лише стовпці відповідної доповненої матриці!

Визначення$\PageIndex{2}$: The Vector Form of a System of Linear Equations

Припустимо, що у нас є система рівнянь, $$\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber$$ заданих We може виразити цю систему у векторній формі, яка виглядає наступним чином: $$x_1 \left[ \begin{array}{c} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right] + x_2 \left[ \begin{array}{c} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right] + \cdots + x_n \left[ \begin{array}{c} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right]\nonumber$$

Зверніть увагу, що кожен використовуваний тут вектор є одним стовпцем з відповідної розширеної матриці. Існує один вектор для кожної змінної в системі разом з константним вектором.

Першою важливою формою множення матриці є множення матриці на вектор. Розглянемо продукт, наданий $$\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 7 \\ 8 \\ 9 \end{array} \right]\nonumber$$ ми скоро побачимо, що це дорівнює $$7\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array} \right] +8\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right] +9\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 50 \\ 122 \end{array} \right]\nonumber$$

У загальних рисах, $$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] &= \ x_{1}\left[ \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \end{array} \right] +x_{2}\left[ \begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \end{array} \right] +x_{3}\left[ \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{array} \right] \\ &=\left[ \begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3} \end{array} \right] \end{aligned}$$ Таким чином, ви берете$x_{1}$ раз перший стовпець, додайте до$x_{2}$ разів другий стовпець, і, нарешті,$x_{3}$ раз третій стовпець. Наведена вище сума являє собою лінійну комбінацію стовпців матриці. Коли ви множите матрицю зліва на вектор праворуч, числа, що складають вектор, є лише скалярами, які будуть використовуватися в лінійній комбінації стовпців, як показано вище.

Ось формальне визначення того, як помножити$m\times n$ матрицю на вектор$n\times 1$ стовпця.

Визначення$\PageIndex{3}$: Multiplication of Vector by Matrix

$A=\left[ a_{ij} \right]$Дозволяти$m\times n$ матриця і$X$ нехай$n\times 1$ матриця, задана $$A=\left[ A_{1} \cdots A_{n}\right], X = \left[ \begin{array}{r} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber$$

Тоді добуток$AX$ є вектором$m\times 1$ стовпця, який дорівнює наступній лінійній комбінації стовпців$A$: $$x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+\cdots +x_{n}A_{n} = \sum_{j=1}^{n}x_{j}A_{j}\nonumber$$

Якщо ми пишемо стовпці з точки зору їх записів, вони мають форму $$A_{j} = \left[ \begin{array}{c} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right]\nonumber$$ Тоді, ми можемо написати продукт$AX$ як$A$ $$AX = x_{1}\left[ \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right] + x_{2}\left[ \begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right] +\cdots + x_{n}\left[ \begin{array}{c} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right]\nonumber$$

Зауважте, що множення$m \times n$ матриці та$n \times 1$ вектора створює$m \times 1$ вектор.

Ось приклад.

Приклад$\PageIndex{1}$: A Vector Multiplied by a Matrix

Обчислити продукт$AX$ для $$A = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 4 & 1 \end{array} \right], X = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber$$

Рішення

Ми будемо використовувати $\PageIndex{3}$Definition для обчислення продукту. Тому обчислюємо виріб$AX$ наступним чином. $$\begin{aligned} & 1\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right] + 2\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] + 0\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right] + 1 \left[ \begin{array}{r} 3 \\ -2\\ 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 3 \\ -2\\ 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{r} 8 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right]\end{aligned}$$

Використовуючи вищевказану операцію, ми також можемо записати систему лінійних рівнянь у матричній формі. У такому вигляді ми виражаємо систему у вигляді матриці, помноженої на вектор. Розглянемо наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{4}$: The Matrix Form of a System of Linear Equations

Припустимо, у нас є система рівнянь, задана $$\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+ \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber$$ Тоді ми можемо висловити цю систему в матричній формі наступним чином. $$\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{m} \end{array} \right]\nonumber$$

Вираз також$AX=B$ відомий як матрична форма відповідної системи лінійних рівнянь. Матриця$A$ - це просто матриця коефіцієнтів системи, вектор$X$ - це вектор стовпця, побудований зі змінних системи, і, нарешті, вектор$B$ - це вектор стовпця, побудований з констант системи. Важливо відзначити, що будь-яка система лінійних рівнянь може бути записана саме в такому вигляді.

Зверніть увагу, що якщо ми запишемо однорідну систему рівнянь у матричній формі, вона матиме вигляд$AX=0$, для нульового вектора$0$.

З цього визначення видно, що вектор $$X = \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber$$ задовольнить рівняння$AX=B$ лише тоді, коли записи$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ вектора$X$ є розв'язками вихідної системи.

Тепер, коли ми розглянули, як помножити матрицю на вектор, ми хочемо розглянути випадок, коли ми множимо дві матриці більш загальних розмірів, хоча ці розміри все ж повинні бути відповідними, як ми побачимо. Наприклад, у прикладі$\PageIndex{1}$ ми помножили$3 \times 4$ матрицю на$4 \times 1$ вектор. Ми хочемо дослідити, як помножити інші розміри матриць.

Ми ще не дали жодних умов щодо того, коли можливе множення матриці! Для матриць$A$ і$B$, щоб сформувати добуток$AB$, кількість стовпців$A$ має дорівнювати кількості рядків$B.$ Розглянемо твір,$AB$ де$A$ має розмір$m\times n$ і$B$ має розмір$n \times p$. Потім добуток за розміром матриць задається на $$(m\times\overset{\text{these must match!}}{\widehat{n)\;(n}\times p})=m\times p\nonumber$$

Зверніть увагу, що дві зовнішні цифри дають розмір виробу. Одним з найважливіших правил щодо множення матриць є наступне. Якщо два середніх числа не збігаються, ви не можете помножити матриці!

Коли кількість стовпців$A$ дорівнює кількості рядків$B$ двох матриць, як кажуть, відповідають і добуток$AB$ виходить наступним чином.

Визначення$\PageIndex{5}$: Multiplication of Two Matrices

$A$Дозволяти$m\times n$ матриця і$B$ нехай$n\times p$ матриця форми$B_{1},...,B_{p}$, $$B=\left[ B_{1} \cdots B_{p}\right]\nonumber$$ де є$n\times 1$ стовпці$B$. Далі$m\times p$ матриця$AB$ визначається наступним чином: $$AB = A \left[ B_{1} \cdots B_{p}\right] = \left[ (A B)_{1} \cdots (AB)_{p}\right]\nonumber$$ де$(AB)_{k}$$m\times 1$ матриця або вектор-стовпчик, який дає$k^{th}$ стовпець$AB$.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{2}$: Multiplying Two Matrices

Знайдіть$AB$, якщо можливо. $$A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$

Рішення

Перше, що потрібно перевірити при розрахунку товару - чи можливо множення. Перша матриця має розмір,$2\times 3$ а друга - розмір$3\times 3$. Внутрішні числа рівні, тому$A$ і$B$ є відповідними матрицями. Відповідно до наведеного вище обговорення$AB$ буде$2\times 3$ матриця. Визначення$\PageIndex{5}$ дає нам спосіб обчислити кожен стовпець$AB$, наступним чином.

$$\left[ \overset{ \text{First column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right] }},\overset{\text{Second column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] }},\overset{\text{Third column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] }}\right]\nonumber$$ Ви знаєте, як помножити матрицю на вектор, використовуючи Definition$\PageIndex{3}$ для кожного з трьох стовпців. Таким чином $$\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right] = \ \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 9 & 3 \\ -2 & 7 & 3 \end{array} \right]\nonumber$$

Оскільки вектори просто$n \times 1$ або$1 \times m$ матриці, ми також можемо помножити вектор на інший вектор.

Приклад$\PageIndex{3}$: Vector Times Vector Multiplication

Помножте, якщо можливо$\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] .$

Рішення

У цьому випадку ми множимо матрицю розміру$3 \times 1$ на матрицю розміру$1 \times 4.$. Внутрішні числа збігаються таким чином, добуток визначається. Зверніть увагу, що виріб буде мати матрицю розміру$3 \times 4$. Використовуючи Definition$\PageIndex{5}$, ми можемо обчислити цей продукт наступним чином$\:$ $$\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \overset{ \text{First column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \end{array} \right] }},\overset{\text{Second column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \end{array} \right] }},\overset{\text{Third column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \end{array} \right] }}, \overset {\text{Fourth column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 \end{array} \right]}} \right]\nonumber$$

Ви можете використовувати Definition,$\PageIndex{3}$ щоб перевірити, чи є цей продукт $$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{4}$: A Multiplication Which is Not Defined

Знайдіть$BA$, якщо можливо. $$B = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$

Рішення

Спочатку перевірте, чи можливо це. Цей продукт має вигляд$\left( 3\times 3\right) \left( 2\times 3\right) .$ Внутрішні числа не збігаються, тому ви не можете зробити це множення.

У цьому випадку ми говоримо, що множення не визначено. Зверніть увагу, що це ті самі матриці, які ми використовували в прикладі$\PageIndex{2}$. У цьому прикладі ми спробували обчислити$BA$ замість$AB$. Це демонструє ще одну властивість множення матриці. Хоча продукт$AB$ може бути визначений, ми не можемо припустити, що продукт$BA$ буде можливим. Тому важливо завжди перевіряти, чи визначено виріб перед проведенням будь-яких розрахунків.

Раніше ми визначали нульову$0$ матрицю як матрицю (відповідного розміру), яка містить нулі у всіх записах. Розглянемо наступний приклад для множення на нульову матрицю.

Приклад$\PageIndex{5}$: Multiplication by the Zero Matrix

Обчислити добуток$A0$ для матриці $$A= \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]\nonumber$$ та$2 \times 2$ нульової матриці, заданої $$0= \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Рішення

У цьому продукті ми обчислюємо $$\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Отже,$A0=0$.

Зверніть увагу, що ми могли б також$A$ помножити на$2 \times 1$ нульовий вектор, заданий$\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right]$. Результатом буде$2 \times 1$ нульовий вектор. Тому завжди так$A0=0$, для відповідного розміру нульової матриці або вектора.