2.1: Матрична арифметика

Результати

1. Виконати матричні операції додавання матриць, скалярного множення, транспозиції та множення матриць. Визначте, коли ці операції не визначені. Представляють ці операції в терміні записів матриці.
2. Доведіть алгебраїчні властивості для додавання матриць, скалярного множення, транспозиції та множення матриці. Застосовуйте ці властивості для маніпулювання алгебраїчним виразом із матрицями.
3. Обчислити зворотну матрицю за допомогою рядкових операцій, і довести тотожності за участю матричних інверсів.
4. Розв'яжіть лінійну систему за допомогою матричної алгебри.
5. Використовуйте множення на елементарну матрицю для застосування операцій з рядками.
6. Запишіть матрицю як добуток елементарних матриць.

Тепер ви розв'язали системи рівнянь, записуючи їх у вигляді розширеної матриці, а потім виконуючи операції рядків на цій доповненій матриці. Виявляється, матриці важливі не тільки для систем рівнянь, але і в багатьох додатках.

Нагадаємо, що матриця - це прямокутний масив чисел. Деякі з них іменуються матрицями. Наприклад, ось матриця.

$$\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 2 & 8 & 7 \\ 6 & -9 & 1 & 2 \end{array} \right] \label{matrix}$$

Нагадаємо, що розмір або розмірність матриці визначається як$m\times n$ де$m$ кількість рядків і$n$ кількість стовпців. Наведена вище матриця є$3\times 4$ матрицею, оскільки є три рядки і чотири стовпці. Ви можете згадати колони, як колони в грецькому храмі. Вони стоять вертикально, поки ряди лежать рівно, як ряди, зроблені трактором у зораному полі.

При визначенні розміру матриці ви завжди перераховуєте кількість рядків перед кількістю стовпців.Ви можете пам'ятати, що ви завжди перераховуєте рядки перед стовпцями за допомогою фрази Row man C atholic.

Розглянемо наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{1}$: Square Matrix

Матриця$A$, яка має розмір$n \times n$, називається квадратною матрицею. Іншими словами,$A$ це квадратна матриця, якщо вона має однакову кількість рядків і стовпців.

Існує деякі позначення, специфічні для матриць, які ми зараз вводимо. Позначаємо стовпці$A$ матриці$A_{j}$ наступним чином

$$A = \left[ \begin{array}{rrrr} A_{1} & A_{2} & \cdots & A_{n} \end{array} \right]\nonumber$$ Отже,$A_{j}$ це$j^{th}$ стовпець$A$, коли підраховується зліва направо.

Окремі елементи матриці називаються записами або складовими$A$. Елементи матриці ідентифікуються відповідно до їх положення. $\mathbf{\left( i, j \right)}$-entry матриці - це запис у$i^{th}$ рядку та$j^{th}$ стовпці. Наприклад, у матриці$\eqref{matrix}$ вище,$8$ знаходиться в положенні$\left(2,3 \right)$ (і називається$\left(2,3 \right)$ -entry), тому що вона знаходиться у другому рядку і третьому стовпці.

Для того щоб запам'ятати, про яку матрицю ми говоримо, позначимо запис в$i^{th}$ рядку і$j^{th}$ стовпець матриці$A$ по$a_{ij}$. Тоді ми можемо написати$A$ в плані його записів, як$A= \left[ a_{ij} \right]$. Використання цього позначення на матриці в$a_{23}=8, a_{32}=-9, a_{12}=2,$ і$\eqref{matrix}$ т.д.

Існують різні операції, які виконуються на матрицях відповідних розмірів. Матриці можна додавати і віднімати з інших матриць, множити на скаляр і множити на інші матриці. Ми ніколи не будемо ділити матрицю на іншу матрицю, але пізніше побачимо, як матричні зворотні грають подібну роль.

Роблячи арифметику з матрицями, ми часто визначаємо дію тим, що відбувається з точки зору записів (або компонентів) матриць. Перш ніж розглянути ці операції в глибину, розглянемо кілька загальних визначень.

Визначення$\PageIndex{2}$: The Zero Matrix

$m\times n$Нульова матриця - це$m\times n$ матриця, кожен запис якої дорівнює нулю. Він позначається$0.$

Одна можлива нульова матриця показана в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{1}$: The Zero Matrix

$2\times 3$Нульова матриця - це$0= \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$.

Зверніть увагу, що є$2\times 3$ нульова матриця,$3\times 4$ нульова матриця і т.д. насправді є нульова матриця для кожного розміру!

Визначення$\PageIndex{3}$: Equality of Matrices

$A$$B$Дозволяти і бути дві$m\times n$ матриці. Тоді$A=B$ означає, що для$A=[a_{ij}]$ і$B=[b_{ij}]$,$a_{ij}=b_{ij}$ для всіх$1\leq i\leq m$ і$1\leq j\leq n$.

Іншими словами, дві матриці рівні точно, коли вони однакового розміру і відповідні записи ідентичні. Таким чином $$\left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \neq \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$ , тому що вони бувають різних розмірів. Крім того, $$\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right] \neq \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array} \right]\nonumber$$ оскільки, хоча вони мають однаковий розмір, відповідні записи не ідентичні.

У наступному розділі ми досліджуємо додавання матриць.

Додавання матриць

При додаванні матриць всі матриці в сумі повинні мати однаковий розмір. Наприклад, $$\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$ і $$\left[ \begin{array}{rrr} -1 & 4 & 8\\ 2 & 8 & 5 \end{array} \right]\nonumber$$ не може бути додано, оскільки один має розмір,$3 \times 2$ а інший має розмір$2 \times 3$.

Однак доповнення $$\left[ \begin{array}{rrr} 4 & 6 & 3\\ 5 & 0 & 4\\ 11 & -2 & 3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 5 & 0 \\ 4 & -4 & 14 \\ 1 & 2 & 6 \end{array} \right]\nonumber$$ можливо.

Формальне визначення виглядає наступним чином.

Визначення$\PageIndex{4}$: Addition of Matrices

$A=\left[ a_{ij}\right]$$B=\left[ b_{ij}\right]$Дозволяти і бути дві$m\times n$ матриці. Тоді$A+B=C$ де$C$$m \times n$ матриця,$C=\left[ c_{ij}\right]$ визначена $$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\nonumber$$

Це визначення говорить нам, що при додаванні матриць ми просто додаємо відповідні записи матриць. Це продемонстровано в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{2}$: Addition of Matrices of Same Size

Додайте наступні матриці, якщо це можливо. $$A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{rrr} 5 & 2 & 3 \\ -6 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$

Рішення

Зверніть увагу, що$B$ обидва$A$ і мають розмір$2 \times 3$. Так як$A$ і$B$ мають однаковий розмір, додавання можливе. $\PageIndex{4}$Використовуючи Definition, додавання виконується наступним чином. $$A + B = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rrr} 5 & 2 & 3 \\ -6 & 2 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1+5 & 2+2 & 3+3 \\ 1+ -6 & 0+2 & 4+1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 6 & 4 & 6 \\ -5 & 2 & 5 \end{array} \right]\nonumber$$

Додавання матриць підпорядковується дуже тим же властивостям, що і звичайне додавання з числами. Зверніть увагу, що коли ми пишемо наприклад,$A+B$ то ми припускаємо, що обидві матриці мають однаковий розмір, так що операція дійсно можлива.

Пропозиція$\PageIndex{1}$: Properties of Matrix Addition

$A,B$$C$Дозволяти і бути матрицями. Потім наступні властивості утримують.

• Комутативний закон додавання $$A+B=B+A \label{mat1}$$
• Асоціативний закон додавання $$\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right) \label{mat2}$$
• Існування адитивної ідентичності $$\begin{array}{c} \mbox{There exists a zero matrix 0 such that}\\ A+0=A \label{mat3} \end{array}$$
• Існування зворотної добавки $$\begin{array}{c} \mbox{There exists a matrix $-A$ such that} \\ A+\left( -A\right) =0 \label{mat4} \end{array}$$

Доказ

Розглянемо Комутативний закон додавання, наведений в$\eqref{mat1}$. Нехай$A,B,C,$ і$D$ бути матриці такі, що$A+B=C$ і$B+A=D.$ Ми хочемо, щоб показати, що$D=C$. Для цього ми будемо використовувати визначення додавання матриць, наведене в Definition$\PageIndex{4}$. Тепер, $$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}=d_{ij}\nonumber$$ Тому,$C=D$ тому що$ij^{th}$ записи однакові для всіх$i$ і$j$. Відзначимо, що висновок випливає з комутативного закону складання чисел, який говорить, що якщо$a$ і$b$ є двома числами, то$a+b = b+a$. Доказ інших результатів аналогічні, і залишаються як вправа.

Ми називаємо нульову матрицю в$\eqref{mat3}$ адитивної ідентичності. Аналогічно називаємо матрицю$-A$ в$\eqref{mat4}$ адитивному зворотному. $-A$визначається рівним$\left( -1\right) A = [-a_{ij}].$ Іншими словами, кожен запис$A$ множиться на$-1$.

У наступному розділі ми вивчимо скалярне множення більш глибоко, щоб зрозуміти, що мається на увазі під$\left( -1\right) A.$

Скалярне множення матриць

Нагадаємо, що слово скаляр ми використовуємо при зверненні до чисел. Тому скалярне множення матриці - це множення матриці на число. Щоб проілюструвати це поняття, розглянемо наступний приклад, в якому матриця множиться на скаляр$3$. $$3\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 2 & 8 & 7 \\ 6 & -9 & 1 & 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 6 & 9 & 12 \\ 15 & 6 & 24 & 21 \\ 18 & -27 & 3 & 6 \end{array} \right]\nonumber$$

Нова матриця отримується множенням кожного запису вихідної матриці на заданий скаляр.

Формальне визначення скалярного множення виглядає наступним чином.

Визначення$\PageIndex{5}$: Scalar Multiplication of Matrices

Якщо$A=\left[ a_{ij}\right]$ і$k$ є скаляром, то$kA=\left[ ka_{ij}\right] .$

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{3}$: Effect of Multiplication by a Scalar

Знайти результат множення наступної матриці$A$ на$7$. $$A=\left[ \begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 1 & -4 \end{array} \right]\nonumber$$

Рішення

За визначенням$\PageIndex{5}$, множимо кожен елемент$A$ на$7$. Тому, $$7A = 7\left[ \begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 1 & -4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 7(2) & 7(0) \\ 7(1) & 7(-4) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 14 & 0 \\ 7 & -28 \end{array} \right]\nonumber$$

Подібно до додавання матриць, існує кілька властивостей скалярного множення, які утримують.

Пропозиція$\PageIndex{2}$: Properties of Scalar Multiplication

$A, B$Дозволяти бути матриці, і$k, p$ бути скалярами. Потім наступні властивості утримують.

• Розподільний закон над складанням матриці $$k \left( A+B\right) =k A+ kB\nonumber$$
• Розподільний закон над скалярним складанням $$\left( k +p \right) A= k A+p A\nonumber$$
• Асоціативний закон для скалярного множення $$k \left( p A\right) = \left( k p \right) A\nonumber$$
• Правило множення на$1$ $$1A=A\nonumber$$

Доказ

Доказ цієї пропозиції схожий на доказ Пропозиції$\PageIndex{1}$ і залишається вправою читачеві.