3.5: Правило Крамера
- T/F: Правило Крамера - ще один метод обчислення визначника матриці.
- T/F: Правило Крамера часто використовується, оскільки воно є більш ефективним, ніж гаусова елімінація.
- Математики використовують яке слово для опису зв'язків між, здавалося б, не пов'язаними ідеями?
У попередніх розділах ми дізналися про детермінант, але ми не дали дійсно вагомої причини, чому ми хотіли б його обчислити. 1У цьому розділі показано одне застосування детермінанти: розв'язування систем лінійних рівнянь. Введемо цю ідею з точки зору теореми, потім будемо практикувати.
Правило Крамера
AДозволяти бутиn×n матриця зdet(A)≠0 і нехай→b буде векторn×1 стовпця. Тоді лінійна система
A→x=→b
має рішення
xi=det(Ai(→b))det(A),
деAi(→b) - матриця, утворена заміноюith стовпця зA з→b.
Давайте зробимо приклад.
Використовуйте правило Крамера, щоб вирішити лінійну системуA→x=→b, де
A=[15−31422−10]and→b=[−36−117].
Рішення
Спочатку ми обчислюємо детермінант,A щоб побачити, чи можемо ми застосувати правило Крамера.
det(A)=|15−31422−10|=49.
Так якdet(A)≠0, ми можемо застосувати Правило Крамера. Слідуючи теоремі3.5.1, обчислюємоdet(A1(→b)),det(A2(→b)) іdet(A3(→b)).
det(A1(→b))=|−365−3−11427−10|=49.
(Ми використовували жирний шрифт, щоб показати, де→b замінено перший стовпецьA.)
det(A2(→b))=|1−36−31−112270|=−245.
det(A3(→b))=|15−3614−112−17|=49.
Тому ми можемо обчислити→x:
x1=det(A1(→b))det(A)=4949=1x2=det(A2(→b))det(A)=−24549=−5x3=det(A3(→b))det(A)=19649=4
Тому
→x=[x1x2x3]=[1−54].
Давайте зробимо ще один приклад.
Використовуйте правило Крамера, щоб вирішити лінійну системуA→x=→b, де
A=[1234]and→b=[−11].
Рішення
ВизначникA є−2, тому ми можемо застосувати Правило Крамера.
det(A1(→b))=|−1214|=−6det(A2(→b))=|1−131|=4.
Тому
x1=det(A1(→b))det(A)=−6−2=3x2=det(A2(→b))det(A)=4−2=−2
і
→x=[x1x2]=[3−2].
Ми дізналися в розділі 3.4, що при розгляді лінійної системиA→x=→b деA квадрат, якщоdet(A)≠0 потімA є оборотним іA→x=→b має рівно одне рішення. Ми також заявили в Key Idea 2.7.1det(A)=0, що якщо, то неA є зворотним і тому або неA→x=→b має рішення або нескінченних рішень. Наш метод з'ясування, який із цих випадків застосовувався, полягав у формуванні розширеної матриці[A→b], введенні її у форму скороченого рядка ешелону, а потім інтерпретувати результати.
Правило Крамера вказує, щоdet(A)≠0 (тому ми гарантуємо рішення). Колиdet(A)=0 ми не в змозі розрізнити, чи існує нескінченне розв'язання для даного вектора→b. Правило Крамера застосовується лише до випадку, коли існує рівно одне рішення.
Закінчуємо цей розділ практичним розглядом. Ми вже згадували раніше, що пошук детермінант є обчислювально-інтенсивною операцією. Для вирішення лінійної системи з 3 рівняннями і 3 невідомими нам потрібно обчислити 4 детермінанти. Подумайте: з 10 рівняннями і 10 невідомими, нам потрібно буде обчислити 11 дійсно жорстких детермінант10×10 матриць! Це багато роботи!
Підсумок цього полягає в тому, що Правило Крамера робить поганий вибір у вирішенні числових лінійних систем. Це просто не робиться на практиці, важко перемогти гаусову елімінацію. 2
Так навіщо його включати? Тому що його правда дивовижна. Детермінант - це дуже дивна операція; вона виробляє число дуже дивним чином. Читачеві має здатися неймовірним, що маніпулюючи детермінантами певним чином, ми можемо вирішувати лінійні системи.
У наступному розділі ми побачимо інше використання визначника. Тим часом спробуйте розвинути глибше розуміння математики: дивні, складні речі, які здаються абсолютно не пов'язаними, часто заплутано пов'язані між собою. Математики бачать ці зв'язки і описують їх як «красиві».
Виноски
[1] Найближче ми підійшли до мотивації, це те, що якщоdet(A)=0, то ми знаємо, щоA це не обертається. Але здається, що можуть бути простіші способи перевірки.
[2] Версія правила Крамера часто викладається на курсах вступних диференціальних рівнянь, оскільки вона може бути використана для пошуку розв'язків певних лінійних диференціальних рівнянь. У цій ситуації записи матриць є функціями, а не числами, а значить обчислювати детермінанти простіше, ніж використовувати гаусову елімінацію. Знову ж таки, хоча, коли матриці стають великими, вдаються до інших методів вирішення.