3.5: Правило Крамера

Last updated
Save as PDF

Page ID: 63372

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

T/F: Правило Крамера - ще один метод обчислення визначника матриці.
T/F: Правило Крамера часто використовується, оскільки воно є більш ефективним, ніж гаусова елімінація.
Математики використовують яке слово для опису зв'язків між, здавалося б, не пов'язаними ідеями?

У попередніх розділах ми дізналися про детермінант, але ми не дали дійсно вагомої причини, чому ми хотіли б його обчислити. \(^{1}\)У цьому розділі показано одне застосування детермінанти: розв'язування систем лінійних рівнянь. Введемо цю ідею з точки зору теореми, потім будемо практикувати.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Правило Крамера

\(A\)Дозволяти бути\(n\times n\) матриця з\(\text{det}(A)\neq 0\) і нехай\(\vec{b}\) буде вектор\(n\times 1\) стовпця. Тоді лінійна система

\[A\vec{x}=\vec{b} \nonumber \]

має рішення

\[x_{i}=\frac{\text{det}\left(A_{i}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}, \nonumber \]

де\(A_{i}(\vec{b})\) - матриця, утворена заміною\(i^{\text{th}}\) стовпця з\(A\) з\(\vec{b}\).

Давайте зробимо приклад.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Використовуйте правило Крамера, щоб вирішити лінійну систему\(A\vec{x}=\vec{b}\), де

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{5}&{-3}\\{1}&{4}&{2}\\{2}&{-1}&{0}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{-36}\\{-11}\\{7}\end{array}\right]. \nonumber \]

Рішення

Спочатку ми обчислюємо детермінант,\(A\) щоб побачити, чи можемо ми застосувати правило Крамера.

\[\text{det}(A)=\left|\begin{array}{ccc}{1}&{5}&{-3}\\{1}&{4}&{2}\\{2}&{-1}&{0}\end{array}\right|=49. \nonumber \]

Так як\(\text{det}(A)\neq 0\), ми можемо застосувати Правило Крамера. Слідуючи теоремі\(\PageIndex{1}\), обчислюємо\(\text{det}\left(A_{1}(\vec{b})\right)\),\(\text{det}\left(A_{2}(\vec{b})\right)\) і\(\text{det}\left(A_{3}(\vec{b})\right)\).

\[\text{det}\left(A_{1}(\vec{b})\right)=\left|\begin{array}{ccc}{\bf{-36}}&{5}&{-3}\\{\bf{-11}}&{4}&{2}\\{\bf{7}}&{-1}&{0}\end{array}\right|=49. \nonumber \]

(Ми використовували жирний шрифт, щоб показати, де\(\vec{b}\) замінено перший стовпець\(A\).)

\[\text{det}\left(A_{2}(\vec{b})\right)=\left|\begin{array}{ccc}{1}&{\bf{-36}}&{-3}\\{1}&{\bf{-11}}&{2}\\{2}&{\bf{7}}&{0}\end{array}\right|=-245. \nonumber \]

\[\text{det}\left(A_{3}(\vec{b})\right)=\left|\begin{array}{ccc}{1}&{5}&{\bf{-36}}\\{1}&{4}&{\bf{-11}}\\{2}&{-1}&{\bf{7}}\end{array}\right|=49. \nonumber \]

Тому ми можемо обчислити\(\vec{x}\):

\[\begin{align}\begin{aligned} x_{1}&=\frac{\text{det}\left(A_{1}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}=\frac{49}{49}=1 \\ x_{2}&=\frac{\text{det}\left(A_{2}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}=\frac{-245}{49}=-5 \\ x_{3}&=\frac{\text{det}\left(A_{3}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}=\frac{196}{49}=4\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Тому

\[\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x_{1}}\\{x_{2}}\\{x_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{1}\\{-5}\\{4}\end{array}\right]. \nonumber \]

Давайте зробимо ще один приклад.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Використовуйте правило Крамера, щоб вирішити лінійну систему\(A\vec{x}=\vec{b}\), де

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{-1}\\{1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Рішення

Визначник\(A\) є\(-2\), тому ми можемо застосувати Правило Крамера.

\[\begin{align}\begin{aligned}\text{det}\left(A_{1}(\vec{b})\right)&=\left|\begin{array}{cc}{-1}&{2}\\{1}&{4}\end{array}\right| =-6 \\ \text{det}\left(A_{2}(\vec{b})\right)&=\left|\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{3}&{1}\end{array}\right|=4.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Тому

\[\begin{align}\begin{aligned}x_{1}&=\frac{\text{det}\left(A_{1}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}=\frac{-6}{-2}=3 \\ x_{2}&=\frac{\text{det}\left(A_{2}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}=\frac{4}{-2}=-2\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

\[\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x_{1}}\\{x_{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{3}\\{-2}\end{array}\right]. \nonumber \]

Ми дізналися в розділі 3.4, що при розгляді лінійної системи\(A\vec{x}=\vec{b}\) де\(A\) квадрат, якщо\(\text{det}(A)\neq 0\) потім\(A\) є оборотним і\(A\vec{x}=\vec{b}\) має рівно одне рішення. Ми також заявили в Key Idea 2.7.1\(\text{det}(A) = 0\), що якщо, то не\(A\) є зворотним і тому або не\(A\vec{x}=\vec{b}\) має рішення або нескінченних рішень. Наш метод з'ясування, який із цих випадків застосовувався, полягав у формуванні розширеної матриці\([A\:\vec{b}]\), введенні її у форму скороченого рядка ешелону, а потім інтерпретувати результати.

Правило Крамера вказує, що\(\text{det}(A)\neq 0\) (тому ми гарантуємо рішення). Коли\(\text{det}(A)=0\) ми не в змозі розрізнити, чи існує нескінченне розв'язання для даного вектора\(\vec{b}\). Правило Крамера застосовується лише до випадку, коли існує рівно одне рішення.

Закінчуємо цей розділ практичним розглядом. Ми вже згадували раніше, що пошук детермінант є обчислювально-інтенсивною операцією. Для вирішення лінійної системи з 3 рівняннями і 3 невідомими нам потрібно обчислити 4 детермінанти. Подумайте: з 10 рівняннями і 10 невідомими, нам потрібно буде обчислити 11 дійсно жорстких детермінант\(10\times 10\) матриць! Це багато роботи!

Підсумок цього полягає в тому, що Правило Крамера робить поганий вибір у вирішенні числових лінійних систем. Це просто не робиться на практиці, важко перемогти гаусову елімінацію. \(^{2}\)

Так навіщо його включати? Тому що його правда дивовижна. Детермінант - це дуже дивна операція; вона виробляє число дуже дивним чином. Читачеві має здатися неймовірним, що маніпулюючи детермінантами певним чином, ми можемо вирішувати лінійні системи.

У наступному розділі ми побачимо інше використання визначника. Тим часом спробуйте розвинути глибше розуміння математики: дивні, складні речі, які здаються абсолютно не пов'язаними, часто заплутано пов'язані між собою. Математики бачать ці зв'язки і описують їх як «красиві».

Виноски

[1] Найближче ми підійшли до мотивації, це те, що якщо\(\text{det}(A) =0\), то ми знаємо, що\(A\) це не обертається. Але здається, що можуть бути простіші способи перевірки.

[2] Версія правила Крамера часто викладається на курсах вступних диференціальних рівнянь, оскільки вона може бути використана для пошуку розв'язків певних лінійних диференціальних рівнянь. У цій ситуації записи матриць є функціями, а не числами, а значить обчислювати детермінанти простіше, ніж використовувати гаусову елімінацію. Знову ж таки, хоча, коли матриці стають великими, вдаються до інших методів вирішення.