Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5: Правило Крамера

Цілі навчання
  • T/F: Правило Крамера - ще один метод обчислення визначника матриці.
  • T/F: Правило Крамера часто використовується, оскільки воно є більш ефективним, ніж гаусова елімінація.
  • Математики використовують яке слово для опису зв'язків між, здавалося б, не пов'язаними ідеями?

У попередніх розділах ми дізналися про детермінант, але ми не дали дійсно вагомої причини, чому ми хотіли б його обчислити. 1У цьому розділі показано одне застосування детермінанти: розв'язування систем лінійних рівнянь. Введемо цю ідею з точки зору теореми, потім будемо практикувати.

Теорема3.5.1

Правило Крамера

AДозволяти бутиn×n матриця зdet(A)0 і нехайb буде векторn×1 стовпця. Тоді лінійна система

Ax=b

має рішення

xi=det(Ai(b))det(A),

деAi(b) - матриця, утворена заміноюith стовпця зA зb.

Давайте зробимо приклад.

Приклад3.5.1

Використовуйте правило Крамера, щоб вирішити лінійну системуAx=b, де

A=[153142210]andb=[36117].

Рішення

Спочатку ми обчислюємо детермінант,A щоб побачити, чи можемо ми застосувати правило Крамера.

det(A)=|153142210|=49.

Так якdet(A)0, ми можемо застосувати Правило Крамера. Слідуючи теоремі3.5.1, обчислюємоdet(A1(b)),det(A2(b)) іdet(A3(b)).

det(A1(b))=|36531142710|=49.

(Ми використовували жирний шрифт, щоб показати, деb замінено перший стовпецьA.)

det(A2(b))=|13631112270|=245.

det(A3(b))=|15361411217|=49.

Тому ми можемо обчислитиx:

x1=det(A1(b))det(A)=4949=1x2=det(A2(b))det(A)=24549=5x3=det(A3(b))det(A)=19649=4

Тому

x=[x1x2x3]=[154].

Давайте зробимо ще один приклад.

Приклад3.5.2

Використовуйте правило Крамера, щоб вирішити лінійну системуAx=b, де

A=[1234]andb=[11].

Рішення

ВизначникA є2, тому ми можемо застосувати Правило Крамера.

det(A1(b))=|1214|=6det(A2(b))=|1131|=4.

Тому

x1=det(A1(b))det(A)=62=3x2=det(A2(b))det(A)=42=2

і

x=[x1x2]=[32].

Ми дізналися в розділі 3.4, що при розгляді лінійної системиAx=b деA квадрат, якщоdet(A)0 потімA є оборотним іAx=b має рівно одне рішення. Ми також заявили в Key Idea 2.7.1det(A)=0, що якщо, то неA є зворотним і тому або неAx=b має рішення або нескінченних рішень. Наш метод з'ясування, який із цих випадків застосовувався, полягав у формуванні розширеної матриці[Ab], введенні її у форму скороченого рядка ешелону, а потім інтерпретувати результати.

Правило Крамера вказує, щоdet(A)0 (тому ми гарантуємо рішення). Колиdet(A)=0 ми не в змозі розрізнити, чи існує нескінченне розв'язання для даного вектораb. Правило Крамера застосовується лише до випадку, коли існує рівно одне рішення.

Закінчуємо цей розділ практичним розглядом. Ми вже згадували раніше, що пошук детермінант є обчислювально-інтенсивною операцією. Для вирішення лінійної системи з 3 рівняннями і 3 невідомими нам потрібно обчислити 4 детермінанти. Подумайте: з 10 рівняннями і 10 невідомими, нам потрібно буде обчислити 11 дійсно жорстких детермінант10×10 матриць! Це багато роботи!

Підсумок цього полягає в тому, що Правило Крамера робить поганий вибір у вирішенні числових лінійних систем. Це просто не робиться на практиці, важко перемогти гаусову елімінацію. 2

Так навіщо його включати? Тому що його правда дивовижна. Детермінант - це дуже дивна операція; вона виробляє число дуже дивним чином. Читачеві має здатися неймовірним, що маніпулюючи детермінантами певним чином, ми можемо вирішувати лінійні системи.

У наступному розділі ми побачимо інше використання визначника. Тим часом спробуйте розвинути глибше розуміння математики: дивні, складні речі, які здаються абсолютно не пов'язаними, часто заплутано пов'язані між собою. Математики бачать ці зв'язки і описують їх як «красиві».

Виноски

[1] Найближче ми підійшли до мотивації, це те, що якщоdet(A)=0, то ми знаємо, щоA це не обертається. Але здається, що можуть бути простіші способи перевірки.

[2] Версія правила Крамера часто викладається на курсах вступних диференціальних рівнянь, оскільки вона може бути використана для пошуку розв'язків певних лінійних диференціальних рівнянь. У цій ситуації записи матриць є функціями, а не числами, а значить обчислювати детермінанти простіше, ніж використовувати гаусову елімінацію. Знову ж таки, хоча, коли матриці стають великими, вдаються до інших методів вирішення.