Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5: Простір рядків

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62825

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Простір рядків

    Оскільки\(A^{T}\) стовпці просто рядки\(A\) ми\(Ra(A^{T})\) називаємо простір рядків\(A^{T}\). Точніше

    Визначення: Простір рядків

    Простір рядків m-by-n матриці A - це просто проміжок її рядків, т. Е.

    \[Ra(A^{T}) \equiv \{A^{T} \textbf{y} | \textbf{y} \in \mathbb{R}^{m}\} \nonumber\]

    Це підпростір\(\mathbb{R}^n\)

    Розберемо матрицю:

    \[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

    Простір рядків цієї матриці:

    \[\mathscr{Ra}(A^{T}) = \left \{ y_{1} \begin{pmatrix} {0}\\{1}\\{0}\\{0} \end{pmatrix}+y_{2} \begin{pmatrix} {-1}\\{0}\\{1}\\{0} \end{pmatrix}+y_{3} \begin{pmatrix} {0}\\{0}\\{0}\\{1} \end{pmatrix} | y \in \mathbb{R}^{3} \right \} \nonumber\]

    Оскільки ці три ряди лінійно незалежні, ми не можемо йти далі. Тоді ми «визнаємо»\(\mathcal{Ra}(A^{T})\) як тривимірний підпростір\(\mathbb{R}^{4}\)

    Метод знаходження основи рядкового простору

    Щодо основи для\(\mathscr{Ra}(A^T)\) ми нагадаємо, що рядки\(A_{red}\), зменшеної форми матриці\(A\), є лише лінійними\(A\) комбінаціями рядків\(A\) і, отже,

    \[\mathscr{Ra}(A^T) = \mathscr{Ra}(A_{red}) \nonumber\]

    Це призводить відразу до:

    Визначення: Основа для простору рядків

    Припустимо\(A\), це m-by-n. Поворотні ряди\(A_{red}\) складають основу для\(\mathscr{Ra}⁢(A^{T})\).

    Що стосується нашого прикладу,

    \[\left \{ \begin{pmatrix} {0}\\{1}\\{0}\\{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {-1}\\{0}\\{1}\\{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {0}\\{0}\\{0}\\{1} \end{pmatrix} \right \} \nonumber\]

    складається з основи для\(\mathscr{Ra}⁢(A^{T})\).