3.5: Простір рядків

Простір рядків

Оскільки$A^{T}$ стовпці просто рядки$A$ ми$Ra(A^{T})$ називаємо простір рядків$A^{T}$. Точніше

Визначення: Простір рядків

Простір рядків m-by-n матриці A - це просто проміжок її рядків, т. Е.

$$Ra(A^{T}) \equiv \{A^{T} \textbf{y} | \textbf{y} \in \mathbb{R}^{m}\} \nonumber$$

Це підпростір$\mathbb{R}^n$

Розберемо матрицю:

$$A = \begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber$$

Простір рядків цієї матриці:

$$\mathscr{Ra}(A^{T}) = \left \{ y_{1} \begin{pmatrix} {0}\\{1}\\{0}\\{0} \end{pmatrix}+y_{2} \begin{pmatrix} {-1}\\{0}\\{1}\\{0} \end{pmatrix}+y_{3} \begin{pmatrix} {0}\\{0}\\{0}\\{1} \end{pmatrix} | y \in \mathbb{R}^{3} \right \} \nonumber$$

Оскільки ці три ряди лінійно незалежні, ми не можемо йти далі. Тоді ми «визнаємо»$\mathcal{Ra}(A^{T})$ як тривимірний підпростір$\mathbb{R}^{4}$

Метод знаходження основи рядкового простору

Щодо основи для$\mathscr{Ra}(A^T)$ ми нагадаємо, що рядки$A_{red}$, зменшеної форми матриці$A$, є лише лінійними$A$ комбінаціями рядків$A$ і, отже,

$$\mathscr{Ra}(A^T) = \mathscr{Ra}(A_{red}) \nonumber$$

Це призводить відразу до:

Визначення: Основа для простору рядків

Припустимо$A$, це m-by-n. Поворотні ряди$A_{red}$ складають основу для$\mathscr{Ra}⁢(A^{T})$.

Що стосується нашого прикладу,

$$\left \{ \begin{pmatrix} {0}\\{1}\\{0}\\{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {-1}\\{0}\\{1}\\{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {0}\\{0}\\{0}\\{1} \end{pmatrix} \right \} \nonumber$$

складається з основи для$\mathscr{Ra}⁢(A^{T})$.