3.4: Лівий нульовий пробіл

Якщо хтось розуміє концепцію нульового простору, лівий нульовий простір надзвичайно легко зрозуміти.

Визначення: Лівий нульовий пробіл

Лівий нульовий простір матриці - це нульовий простір її транспонування, тобто

$$\mathcal{N}(A^T) = \{ \textbf{y} \in \mathbb{R}^{m} | A^{T} \textbf{y} = 0\} \nonumber$$

Слово «лівий» в цьому контексті походить від того,$A^{T} \textbf{y} = 0$ що еквівалентно тому,$\textbf{y}^{T} A = 0$ де$\textbf{y}$ «діє» на А зліва.

Приклад

Як$A_{red}$ і ключ до ідентифікації нульового простору A, ми побачимо, що$A^{T}_{red}$ це ключ до нульового простору$A^T$. Якщо

$$A = \begin{pmatrix} {1}&{1}\\ {1}&{2}\\ {1}&{3} \end{pmatrix} \nonumber$$

потім

$$A^{T} = \begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}\\ {1}&{2}&{3} \end{pmatrix} \nonumber$$

і так

$$A^{T}_{red} = \begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}\\ {0}&{1}&{2} \end{pmatrix} \nonumber$$

Ми вирішуємо,$A^{T}_{red} = 0$ визнаючи, що$y_{1}$ і$y_{2}$ є поворотними змінними, поки$y_{3}$ є вільним. Рішення$A^{T}_{red} \textbf{y} = 0$ для стрижня з точки зору вільного, який ми знаходимо,$y_{2} = -(2y_{3})$ а$y_{1} = y_{3}$ отже

$$\mathcal{N}(A^{T}) = \begin{equation} \left \{ y_{3} \begin{pmatrix} {1}\\ {-2}\\ {1} \end{pmatrix} | y_{3} \in \mathbb{R} \right \} \end{equation} \nonumber$$

Пошук основи для лівого нульового простору

Процедура нічим не відрізняється від тієї, яка використовується для обчислення нульового простору самого A. Фактично

Визначення: Основа для лівого нульового простору

Припустимо,$A^{T}$ що n-by-m з півот-індексами$\{c_{j} | j = \{1, \cdots, r\}\}$ та вільними індексами$\{c_{j} | j = \{r+1, \cdots, n\}\}$. Основа для$\mathcal{N}(A^T)$ може бути побудована з$m-r$ векторів,$\{z^{1}, z^{2}, \cdots, z^{m-r}\}$ де$z^{k}$ і тільки$z^k$, має ненульове значення у своїй$c_{r+k}$ складовій.