Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.4: Лівий нульовий пробіл

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62824

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Якщо хтось розуміє концепцію нульового простору, лівий нульовий простір надзвичайно легко зрозуміти.

    Визначення: Лівий нульовий пробіл

    Лівий нульовий простір матриці - це нульовий простір її транспонування, тобто

    \[\mathcal{N}(A^T) = \{ \textbf{y} \in \mathbb{R}^{m} | A^{T} \textbf{y} = 0\} \nonumber\]

    Слово «лівий» в цьому контексті походить від того,\(A^{T} \textbf{y} = 0\) що еквівалентно тому,\(\textbf{y}^{T} A = 0\) де\(\textbf{y}\) «діє» на А зліва.

    Приклад

    Як\(A_{red}\) і ключ до ідентифікації нульового простору A, ми побачимо, що\(A^{T}_{red}\) це ключ до нульового простору\(A^T\). Якщо

    \[A = \begin{pmatrix} {1}&{1}\\ {1}&{2}\\ {1}&{3} \end{pmatrix} \nonumber\]

    потім

    \[A^{T} = \begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}\\ {1}&{2}&{3} \end{pmatrix} \nonumber\]

    і так

    \[A^{T}_{red} = \begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}\\ {0}&{1}&{2} \end{pmatrix} \nonumber\]

    Ми вирішуємо,\(A^{T}_{red} = 0\) визнаючи, що\(y_{1}\) і\(y_{2}\) є поворотними змінними, поки\(y_{3}\) є вільним. Рішення\(A^{T}_{red} \textbf{y} = 0\) для стрижня з точки зору вільного, який ми знаходимо,\(y_{2} = -(2y_{3})\) а\(y_{1} = y_{3}\) отже

    \[\mathcal{N}(A^{T}) = \begin{equation} \left \{ y_{3} \begin{pmatrix} {1}\\ {-2}\\ {1} \end{pmatrix} | y_{3} \in \mathbb{R} \right \} \end{equation} \nonumber\]

    Пошук основи для лівого нульового простору

    Процедура нічим не відрізняється від тієї, яка використовується для обчислення нульового простору самого A. Фактично

    Визначення: Основа для лівого нульового простору

    Припустимо,\(A^{T}\) що n-by-m з півот-індексами\(\{c_{j} | j = \{1, \cdots, r\}\}\) та вільними індексами\(\{c_{j} | j = \{r+1, \cdots, n\}\}\). Основа для\(\mathcal{N}(A^T)\) може бути побудована з\(m-r\) векторів,\(\{z^{1}, z^{2}, \cdots, z^{m-r}\}\) де\(z^{k}\) і тільки\(z^k\), має ненульове значення у своїй\(c_{r+k}\) складовій.