Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.1: Простір стовпців

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62831

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Почнемо з простої геометричної інтерпретації матрично-векторного множення. А саме множення вектора n\(x\) на -1 матрицю m-by-n\(A\) дає лінійну комбінацію стовпців А. точніше, якщо\(a_{j}\) позначає j-й стовпець A, то

    \[Ax = \begin{pmatrix} {a_{1}}&{a_{2}}&{\cdots}&{a_{n}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}}\\ {\cdots}\\ {x_{n}} \end{pmatrix} \nonumber\]

    \[= x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{n}a_{n} \nonumber\]

    Картина, яку я хочу розмістити в очах вашого розуму, полягає в тому, що AxAx лежить у підпросторі, охопленому стовпцями\(A\). Цей підпростір зустрічається настільки часто, що ми вважаємо корисним розрізняти його за допомогою визначення.

    Простір стовпців

    Простір стовпців матриці m-by-n\(S\) - це просто проміжок її стовпців, тобто\(Ra(S) \equiv \{Sx | x \in \mathbb{R}^{n}\}\) підпростір\(\mathcal{R}^{m}\) розшифровується як діапазон у цьому контексті.У цьому контексті позначення\(R_{a}\) позначає діапазон.

    Приклад

    Розберемо матрицю:

    \[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

    Простір стовпців цієї матриці:

    \[Ra(A) = \{x_{1} \begin{pmatrix} {0}\\ {-1}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{2} \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{3} \begin{pmatrix} {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{4} \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} | x \in \mathbb{R}^{4}\} \nonumber\]

    Оскільки третій стовпець просто кратний першому, ми можемо написати:

    \[Ra(A) = \{x_{1} \begin{pmatrix} {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{2} \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{3} \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} | x \in \mathbb{R}^{3}\} \nonumber\]

    Оскільки три стовпці, що залишилися, лінійно незалежні, ми не можемо йти далі. У цьому випадку\(Ra(⁢A)\) включає в себе всі\(\mathbb{R}^{3}\)

    Методика пошуку основи

    Для визначення основи для\(Ra(⁢A)\) (де\(A\) довільна матриця) ми повинні знайти спосіб відкинути залежні від неї стовпці. У наведеному вище прикладі було легко побачити, що стовпці 1 і 3 були колінеарними. Ми шукаємо, звичайно, більш систематичний засіб розкриття цих, а можливо, інших менш очевидних залежностей. Такі залежності легше розрізнити з рядка зменшеної форми. При скороченні вищевказаної проблеми ми дуже легко підходимо до матриці

    \[A_{red} = \begin{pmatrix} {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

    Після того, як ми це зробили, ми можемо визнати, що поворотний стовпець є лінійно незалежними стовпцями\(A_{red}\). Зараз запитує, як це може допомогти нам розрізнити незалежні стовпці A. for, хоча рядки\(A_{red}\) є лінійними комбінаціями рядків\(A\) зверніть увагу на індекси зведені стовпці. У нашому прикладі стовпці\(\{1, 2, 4\}\) є поворотними стовпчиками\(A_{red}\) і, отже, першого, другого і четвертого стовпців\(A\) тобто,

    \[\{\begin{pmatrix} {0}\\ {-1}\\ {0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix}\} \nonumber\]

    складають основу для\(Ra(A)\):

    Визначення: Основа для простору стовпців

    Припустимо\(A\), це m-by-n. Якщо стовпці\(\{c_{j} | j = 1, \cdots, r\}\) є шарнірними колонами,\(A_{red}\) то\(\{c_{j} | j = 1, \cdots, r\}\) стовпці\(A\) складають основу для\(Ra(A)\)