3.1: Простір стовпців

Почнемо з простої геометричної інтерпретації матрично-векторного множення. А саме множення вектора n$x$ на -1 матрицю m-by-n$A$ дає лінійну комбінацію стовпців А. точніше, якщо$a_{j}$ позначає j-й стовпець A, то

$$Ax = \begin{pmatrix} {a_{1}}&{a_{2}}&{\cdots}&{a_{n}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}}\\ {\cdots}\\ {x_{n}} \end{pmatrix} \nonumber$$

$$= x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{n}a_{n} \nonumber$$

Картина, яку я хочу розмістити в очах вашого розуму, полягає в тому, що AxAx лежить у підпросторі, охопленому стовпцями$A$. Цей підпростір зустрічається настільки часто, що ми вважаємо корисним розрізняти його за допомогою визначення.

Простір стовпців

Простір стовпців матриці m-by-n$S$ - це просто проміжок її стовпців, тобто$Ra(S) \equiv \{Sx | x \in \mathbb{R}^{n}\}$ підпростір$\mathcal{R}^{m}$ розшифровується як діапазон у цьому контексті.У цьому контексті позначення$R_{a}$ позначає діапазон.

Приклад

Розберемо матрицю:

$$A = \begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber$$

Простір стовпців цієї матриці:

$$Ra(A) = \{x_{1} \begin{pmatrix} {0}\\ {-1}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{2} \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{3} \begin{pmatrix} {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{4} \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} | x \in \mathbb{R}^{4}\} \nonumber$$

Оскільки третій стовпець просто кратний першому, ми можемо написати:

$$Ra(A) = \{x_{1} \begin{pmatrix} {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{2} \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{3} \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} | x \in \mathbb{R}^{3}\} \nonumber$$

Оскільки три стовпці, що залишилися, лінійно незалежні, ми не можемо йти далі. У цьому випадку$Ra(⁢A)$ включає в себе всі$\mathbb{R}^{3}$

Методика пошуку основи

Для визначення основи для$Ra(⁢A)$ (де$A$ довільна матриця) ми повинні знайти спосіб відкинути залежні від неї стовпці. У наведеному вище прикладі було легко побачити, що стовпці 1 і 3 були колінеарними. Ми шукаємо, звичайно, більш систематичний засіб розкриття цих, а можливо, інших менш очевидних залежностей. Такі залежності легше розрізнити з рядка зменшеної форми. При скороченні вищевказаної проблеми ми дуже легко підходимо до матриці

$$A_{red} = \begin{pmatrix} {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber$$

Після того, як ми це зробили, ми можемо визнати, що поворотний стовпець є лінійно незалежними стовпцями$A_{red}$. Зараз запитує, як це може допомогти нам розрізнити незалежні стовпці A. for, хоча рядки$A_{red}$ є лінійними комбінаціями рядків$A$ зверніть увагу на індекси зведені стовпці. У нашому прикладі стовпці$\{1, 2, 4\}$ є поворотними стовпчиками$A_{red}$ і, отже, першого, другого і четвертого стовпців$A$ тобто,

$$\{\begin{pmatrix} {0}\\ {-1}\\ {0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix}\} \nonumber$$

складають основу для$Ra(A)$:

Визначення: Основа для простору стовпців

Припустимо$A$, це m-by-n. Якщо стовпці$\{c_{j} | j = 1, \cdots, r\}$ є шарнірними колонами,$A_{red}$ то$\{c_{j} | j = 1, \cdots, r\}$ стовпці$A$ складають основу для$Ra(A)$