3.2: Нульовий пробіл

Визначення: Нульовий пробіл

Нульовий простір$n$ матриці$m$ -by-$A$ це сукупність тих векторів$\mathbb{R}^{n}$, які$A$ відображаються нульовому вектору в$\mathbb{R}^m$. Точніше,

$$\mathcal{N}(A) = \{x \in \mathbb{R}^n | Ax = 0\} \nonumber$$

Приклад нульового простору

Як приклад розглянемо матрицю$A$

$$A = \begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber$$

Досить легко помітити, що нульовий простір цієї матриці:

$$\mathcal{N}(A) = \{t \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix} | t \in \mathbb{R}\} \nonumber$$

Це рядок в$\mathbb{R}^{4}$

Нульовий простір відповідає на питання про унікальність розв'язків$S \textbf{x} = \textbf{f}$. Бо, якщо$S \textbf{x} = \textbf{f}$ і$S \textbf{y} = \textbf{f}$ то$S(\textbf{x}-\textbf{y}) = S\textbf{x}-S\textbf{y} = \textbf{f}-\textbf{f} = 0$ і так$(\textbf{x}-\textbf{y}) \in \mathcal{N}(S)$. Отже, рішення$S \textbf{x} = \textbf{f}$ буде унікальним, якщо, і тільки якщо,$\mathcal{N} ⁢S = \{0\}$

Методика знаходження основи

Давайте тепер виставимо основу для нульового простору довільної матриці А. Зауважимо, що розв'язати$A \textbf{⁢x} = 0$ - це розв'язати$A_{red} ⁢\textbf{x} = 0$. Щодо останнього, ми припускаємо, що

$$\{c_{j} | j = \{1, \cdots, r\}\} \nonumber$$

є індекси поворотних колон і що

$$\{c_{j} | j = \{r+1, \cdots, n\}\} \nonumber$$

є індекси неповоротних стовпців. Відповідно визначаємо змінні r pivot

$$\{x_{c_{j}} | j = \{1, \cdots, r\}\} \nonumber$$

і$n-r$ вільні змінні

$$\{x_{c_{j}} | j = \{r+1, \cdots, n\}\} \nonumber$$

Один вирішує$A_{red} \textbf{x} = 0$ шляхом вираження кожної з змінних зведеного в терміні непівотних, або вільних, змінних. У наведеному вище прикладі$x_{1}, x_{2}$, і$x_{4}$ є pivot while$x_{3}$ є вільним. Розв'язуючи для стрижня з точки зору вільного, знаходимо$x_{4} = 0, x_{3} = x_{1}, x_{2} = 0$, або, написаний у вигляді вектора,

$$\textbf{x} = x_{3} \begin{pmatrix} {1}\\{0}\\{1}\\{0} \end{pmatrix} \nonumber$$

$x_{3}$де безкоштовно. Як$x_{3}$ діапазони над усіма дійсними числами х вище простежує рядок в$\mathbb{R}_{4}$. Цей рядок є саме нульовим простором$A$. Абстрактуючи ці розрахунки, ми приходимо до:

Визначення: Основа для нульового простору

Припустимо, що$A$ це m-by-n з поворотними індексами$\{c_{j} | j = \{1, \cdots, r\}\}$ та вільними індексами$\{c_{j} | j = \{r+1, \cdots, n\}\}$. Базисом для$\mathcal{N}(A)$ можуть бути побудовані$n-r$ вектори$z^{k}$,$\{z^{1}, z^{2}, \cdots,z^{n-r}\}$ де, і тільки$z^k$ має ненульове значення у своїй$c_{r+k}$ складовій.

Спостереження MATLAB

Як завжди, MATLAB має спосіб зробити наше життя простішим. Якщо ви визначили матрицю A і хочете знайти основу для її нульового простору, просто викликайте функцію null (A). Одна невелика примітка про цю функцію: якщо додати додатковий прапор, 'r', як у null (A, 'r'), то основа відображається «раціонально» на відміну від чисто математично. Сторінки довідки MATLAB визначають різницю між двома режимами як раціональний режим, корисний педагогічно, та математичним режимом більшої цінності (gasp!) математично.

Заключні думки про нульові простори

Існує набагато більше, щоб знайти нульові пробіли; достатньо, насправді, щоб гарантувати інший модуль. Одним з важливих аспектів і використання нульових просторів є їх здатність інформувати нас про унікальність розв'язків. Якщо ми використовуємо простір стовпців, щоб визначити існування рішення$\textbf{x}$ рівняння$A \textbf{⁢x} = b$. Як тільки ми знаємо, що рішення існує, це цілком розумне питання, щоб хотіти знати, чи є це рішення єдиним рішенням цієї проблеми. Жорстке і швидке правило полягає в тому, що рішення$\textbf{x}$ є унікальним тоді і лише тоді, коли$A$ порожній простір порожній. Один із способів подумати про це - вважати, що якщо$A \textbf{x} = 0$ не має унікального рішення, то, за лінійністю, ні$A \textbf{x} = b$. І навпаки, якщо$(Az = 0) \wedge (z \ne 0) \wedge (A \textbf{y} = b)$ тоді$A(z+\textbf{y}) = b$ так само.