6: Ортогональність

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 5.3: Подібність
- 6.1: Точкові продукти та ортогональність

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\usepackage{macros} \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&}$

Згадаймо в останній раз структуру цієї книги:

Розв'яжіть матричне рівняння $Ax=b$ .
Розв'яжіть матричне рівняння $\lambda$ , $Ax=\lambda x\text{,}$ де є числом.
Приблизно вирішуємо матричне рівняння $Ax=b$ .

Тепер ми підійшли до третьої частини.

Примітка $\PageIndex{1}$

Приблизно вирішуємо матричне рівняння $Ax=b.$

Пошук наближених розв'язків рівнянь зазвичай вимагає обчислення найближчого вектора на підпросторі до заданого вектора. Це стає проблемою ортогональності: потрібно знати, які вектори перпендикулярні підпростору.

$clipboard_e4c312e06d8c1c7b40ae1ce8dfa3f77e5.png$

Малюнок $\PageIndex{1}$

Спочатку ми визначимо ортогональність і навчимося знаходити ортогональні доповнення підпросторів у Розділі 6.1 та Розділі 6.2. Ядром цієї глави є Розділ 6.3, в якому ми обговорюємо ортогональну проекцію вектора на підпростір; це метод обчислення найближчого вектора на підпросторі до заданого вектора. Ці розрахунки стають простішими при наявності ортогонального набору, як ми побачимо в розділі 6.4. У розділі 6.5 ми представимо метод найменших квадратів орієнтовного розв'язування систем рівнянь, а також наведемо додатки до моделювання даних.

Приклад $\PageIndex{1}$

У моделюванні даних часто запитують: «на якій лінії повинні лежати мої дані?» Це можна вирішити за допомогою простого застосування методу найменших квадратів.

$clipboard_e9c04a2611d7045928bccedd7ad9c0a17.png$

Малюнок $\PageIndex{2}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Гаусс винайшов метод найменших квадратів, щоб знайти найкраще пристосований еліпс: він правильно передбачив (еліптичну) орбіту астероїда Церера, коли він проходив позаду сонця в 1801 році.

$clipboard_e8ec747dcd6cf56fd41cfcac28daede0f.png$

Малюнок $\PageIndex{3}$

6.1: Точкові продукти та ортогональність
У цьому розділі потрібно буде знайти найближчу точку на підпросторі до заданої точки. Найближча точка має властивість, що різниця між двома точками ортогональна, або перпендикулярна, до підпростору. З цієї причини нам потрібно розробити поняття ортогональності, довжини та відстані.
6.2: Ортогональні доповнення
Важливо буде обчислити множину всіх векторів, які є ортогональними до заданого набору векторів. Виявляється, що вектор ортогональний набору векторів тоді і тільки тоді, коли він ортогональний до прольоту цих векторів, який є підпростором, тому ми обмежуємося випадком підпросторів.
6.3: Ортогональна проекція
Нехай W є підпростором Rn і нехай x - вектор в Rn. У цьому розділі ми навчимося обчислювати найближчий вектор xW до x у W. Вектор xW називається ортогональною проекцією x на W. Це саме те, що ми будемо використовувати для майже вирішення матричних рівнянь.
6.4: Ортогональні набори
6.5: Метод найменших квадратів

Примітка6.1\PageIndex{1}

Приклад6.1\PageIndex{1}

Приклад6.2\PageIndex{2}

Примітка $\PageIndex{1}$

Приклад $\PageIndex{1}$

Приклад $\PageIndex{2}$