2: Прості числа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64590

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Прості числа, будівельні блоки цілих чисел, широко вивчалися протягом століть. Можливість представити ціле число однозначно як добуток простих чисел є основною причиною всієї теорії чисел і за цікавими результатами в цій теорії. На основі властивостей простих чисел сформульовано багато цікавих теорем, додатків і домислів. У цьому розділі ми представляємо методи визначення того, чи є число простим або складеним за допомогою давньогрецького методу, придуманого Ератосфаном. Ми також показуємо, що простих чисел нескінченно багато. Потім ми продовжуємо показати, що кожне ціле число може бути записано однозначно як добуток простих чисел. Також введено поняття діофантових рівнянь, де цілочисельні розв'язки з заданих рівнянь визначаються за допомогою найбільшого спільного дільника. Потім ми згадуємо теорему про просте число, не даючи доказів, звичайно, на додаток до інших домислів та основних результатів, пов'язаних з простими числами.

2.1: Сито Ератосфена
Сито Ератосфена - стародавній метод знаходження простих чисел до заданого цілого числа. Цей метод був винайдений давньогрецьким математиком Ератосфаном. Існує кілька інших методів, що використовуються для визначення того, чи є число простим або складеним.
2.2: Нескінченність простих чисел
Зараз ми покажемо, що простих чисел нескінченно багато. Існує кілька способів довести цей результат. Альтернативний доказ представленого тут наведено як вправу. Доказ, який ми надамо, був представлений Евклідом у своїй книзі «Елементи».
2.3: Фундаментальна теорема арифметики
Фундаментальна теорема арифметики є одним з найважливіших результатів у цій главі. Він просто говорить, що кожне натуральне число може бути записано однозначно як добуток простих чисел. Унікальна факторизація потрібна для встановлення більшої частини того, що настане пізніше. Є системи, де унікальна факторизація не вдається провести. Багато з цих прикладів походять з алгебраїчної теорії чисел. Ми можемо насправді перерахувати простий приклад, де унікальна факторизація не вдається.
2.4: Найменш поширене кратне
Ми можемо використовувати просту факторизацію, щоб знайти найменший спільний кратний двох натуральних чисел.
2.5: Лінійні діофантові рівняння
У цьому розділі ми обговорюємо рівняння в двох змінних, які називаються діофантовими рівняннями. Такі рівняння потребують цілочисельних розв'язків. Мета цього розділу - представити множину точок, що визначають рішення такого роду рівнянь. Геометрично кажучи, діофантове рівняння являє собою рівняння прямої. Нам потрібно знайти точки, координати яких цілі числа і через які проходить пряма.
2.6: Функція [x]. символи «O», «o» і «»
Ми починаємо цей розділ з введення важливої теоретичної функції чисел. Ми приступимо до визначення деяких зручних символів, які будуть використовуватися в зв'язку з ростом і поведінкою деяких функцій, які будуть визначені в наступних розділах.
2.7: Теореми та здогадки, що стосуються простих чисел
Ми довели, що простих чисел нескінченно багато. Ми також довели, що між простими числами існують довільні великі зазори. Питання, яке виникає природно тут, полягає в наступному: Чи можемо ми оцінити, скільки простих чисел менше заданого числа? Теорема, яка відповідає на це питання, є теоремою простих чисел.

Автори та атрибуція

Template:ContribRaji