8: Ділильні многочлени
Тепер ми починаємо наше обговорення конкретних класів прикладів функцій. Перший клас функцій, які ми обговорюємо, - це поліноми та раціональні функції. Згадаймо спочатку визначення поліномів і раціональних функцій.
Мономіал - це число, змінна або добуток чисел і змінних. Многочлен - це сума (або різниця) мономов.
Приклади мономов і многочленів.
Рішення
Нижче наведено приклади мономов:
5,\quad x,\quad 7x^2 y,\quad -12 x^3y^2 z^4, \quad\sqrt{2}\cdot a^3 n^2 x y \nonumber
Нижче наведено приклади многочленів:
x^2+3x-7,\quad 4x^2y^3+2x+z^3+4mn^2,\quad -5x^3-x^2-4x-9, \quad 5x^2y^4 \nonumber
Зокрема, кожен моном також є поліномом.
Нас цікавлять в основному многочлени в одній зміннійx, і розглядаємо їх як функції. Наприклад,f(x)=x^2+3x-7 є така функція.
Многочлен - це функціяf форми
f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots +a_2 x^2+ a_1 x + a_0 \nonumber
для деяких дійсних (або комплексних) чиселa_0, a_1,\dots, a_n. Домен многочленаf - це всі дійсні числа (див. Наше стандартне визначення конвенції).
Цифриa_0, a_1,\dots, a_n називаються коефіцієнтами. Для кожногоk числоa_k - коефіцієнтx^k. Числоa_n називається провідним коефіцієнтом іn є ступенем многочлена.
Нулі многочлена зазвичай називають коренями. Томуx є корінь многочленаf саме колиf(x)=0.
Раціональна функція - це дріб двохf(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} многочленів, деg(x) іh(x) обидва поліноми. Доменf - це всі дійсні числа, для яких знаменник неh(x) дорівнює нулю:
D_f\,\,=\,\,\{\,\, x \,\,| \,\, h(x)\neq 0 \,\, \} \nonumber
Нижче наведено приклади раціональних функцій:
f(x)=\dfrac{-3x^2+7x-5}{2x^3+4x^2+3x+1}, \quad f(x)=\dfrac{1}{x}, \quad f(x)=-x^2+3x+5 \nonumber
- 8.1: Довгий поділ
- Ми зараз покажемо, як розділити два многочлени. Метод схожий з довгим діленням натуральних чисел.