8: Ділильні многочлени
Тепер ми починаємо наше обговорення конкретних класів прикладів функцій. Перший клас функцій, які ми обговорюємо, - це поліноми та раціональні функції. Згадаймо спочатку визначення поліномів і раціональних функцій.
Мономіал - це число, змінна або добуток чисел і змінних. Многочлен - це сума (або різниця) мономов.
Приклади мономов і многочленів.
Рішення
Нижче наведено приклади мономов:
5,x,7x2y,−12x3y2z4,√2⋅a3n2xy
Нижче наведено приклади многочленів:
x2+3x−7,4x2y3+2x+z3+4mn2,−5x3−x2−4x−9,5x2y4
Зокрема, кожен моном також є поліномом.
Нас цікавлять в основному многочлени в одній зміннійx, і розглядаємо їх як функції. Наприклад,f(x)=x2+3x−7 є така функція.
Многочлен - це функціяf форми
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x+a0
для деяких дійсних (або комплексних) чиселa0,a1,…,an. Домен многочленаf - це всі дійсні числа (див. Наше стандартне визначення конвенції).
Цифриa0,a1,…,an називаються коефіцієнтами. Для кожногоk числоak - коефіцієнтxk. Числоan називається провідним коефіцієнтом іn є ступенем многочлена.
Нулі многочлена зазвичай називають коренями. Томуx є корінь многочленаf саме колиf(x)=0.
Раціональна функція - це дріб двохf(x)=g(x)h(x) многочленів, деg(x) іh(x) обидва поліноми. Доменf - це всі дійсні числа, для яких знаменник неh(x) дорівнює нулю:
Df={x|h(x)≠0}
Нижче наведено приклади раціональних функцій:
f(x)=−3x2+7x−52x3+4x2+3x+1,f(x)=1x,f(x)=−x2+3x+5
- 8.1: Довгий поділ
- Ми зараз покажемо, як розділити два многочлени. Метод схожий з довгим діленням натуральних чисел.