Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8: Ділильні многочлени

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59981

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Тепер ми починаємо наше обговорення конкретних класів прикладів функцій. Перший клас функцій, які ми обговорюємо, - це поліноми та раціональні функції. Згадаймо спочатку визначення поліномів і раціональних функцій.

    Визначення: Мономіальний і многочлен

    Мономіал - це число, змінна або добуток чисел і змінних. Многочлен - це сума (або різниця) мономов.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Приклади мономов і многочленів.

    Рішення

    Нижче наведено приклади мономов:

    \[5,\quad x,\quad 7x^2 y,\quad -12 x^3y^2 z^4, \quad\sqrt{2}\cdot a^3 n^2 x y \nonumber \]

    Нижче наведено приклади многочленів:

    \[x^2+3x-7,\quad 4x^2y^3+2x+z^3+4mn^2,\quad -5x^3-x^2-4x-9, \quad 5x^2y^4 \nonumber \]

    Зокрема, кожен моном також є поліномом.

    Нас цікавлять в основному многочлени в одній змінній\(x\), і розглядаємо їх як функції. Наприклад,\(f(x)=x^2+3x-7\) є така функція.

    Визначення: Функція полінома

    Многочлен - це функція\(f\) форми

    \[f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots +a_2 x^2+ a_1 x + a_0 \nonumber \]

    для деяких дійсних (або комплексних) чисел\(a_0, a_1,\dots, a_n\). Домен многочлена\(f\) - це всі дійсні числа (див. Наше стандартне визначення конвенції).

    Цифри\(a_0, a_1,\dots, a_n\) називаються коефіцієнтами. Для кожного\(k\) число\(a_k\) - коефіцієнт\(x^k\). Число\(a_n\) називається провідним коефіцієнтом і\(n\) є ступенем многочлена.

    Нулі многочлена зазвичай називають коренями. Тому\(x\) є корінь многочлена\(f\) саме коли\(f(x)=0\).

    Визначення: Раціональна функція

    Раціональна функція - це дріб двох\(f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\) многочленів, де\(g(x)\) і\(h(x)\) обидва поліноми. Домен\(f\) - це всі дійсні числа, для яких знаменник не\(h(x)\) дорівнює нулю:

    \[D_f\,\,=\,\,\{\,\, x \,\,| \,\, h(x)\neq 0 \,\, \} \nonumber \]

    Нижче наведено приклади раціональних функцій:

    \[f(x)=\dfrac{-3x^2+7x-5}{2x^3+4x^2+3x+1}, \quad f(x)=\dfrac{1}{x}, \quad f(x)=-x^2+3x+5 \nonumber \]