2.1: Анатомія многочлена

Поліноми - це клас функцій, які вивчаються в численні, оскільки вони передбачувані у своїй поведінці. Вони являють собою плавні, безперервні криві при графіку. Їх досить легко графувати, знаходити коріння та обчислювати виходи для входів реального числа. Поліноми продовжуватимуть мати відношення до всіх ваших курсів математики та науки, що йдуть вперед!

Почнемо з приставок наступними словами:

• Мономіал: Моно означає «єдиний» або «один».
• Біноміальний: Bi означає «два».
• Триноміал: Tri означає «три».
• Поліном: Poly означає «багато» або «мульти» або «один або кілька».

Визначення: Мономіальний

Мономіал - це одночленний вираз, в якому дійсні числа множать змінні з показниками цілого числа.

Наступні вирази є прикладами мономов:

$7x^3\;\;\;\;\;\; \dfrac{1}{2}xy\;\;\;\;\;\; 22\;\;\;\;\;\; pq^5\;\;\;\;\;\; \pi r^2\;\;\;\;\;\; −10a^4bc$

Цілі числа - це лічильні числа, починаючи з нуля:$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,...

Наступні вирази не є мономіалами, оскільки експоненти не є цілими числами.

$\begin{array} &&\textcolor{red}{\times}\;\;\;\;\; 2x^{−1} &\text{The exponent on \(x$є$–1$.}\\ &\ textcolor {червоний} {\ times}\;\;\;\;\;\; 4u^ {\ pi} v &\ text {експонента$u$ є$\pi$.}\\ textcolor {червоний} {\ times}\;\;\;\;\;\; 5\ sqrt {y} &\ text {експонентою$y$ є$\dfrac{1}{2}$.}\\ &\ textcolor. {червоний} {\ times}\;\;\;\;\;\;\ dfrac {3} {4t^2} &\ текст { Показник на$t$ є$–2$.} \ end {масив}\)

Визначення: Біноміальний

Біноміальне - це двочленний вираз, в якому два мономи додаються або віднімаються для утворення єдиного виразу з 2-х членів.

Наступні вирази є прикладами біноміалів:

$3x + 1\;\;\;\;\;\; x^4 − y^4\;\;\;\;\;\; 5y^5 − 5y \;\;\;\;\;\; \pi r^2 + 2 \pi r h$

Визначення: Триноміал

Триноміал - це тричленний вираз, в якому додаються або віднімаються три мономи.

Наступні вирази є прикладами триноміалів:

$x^3 + 4x^2 − 3 \;\;\;\;\;\; p^2q^2 − 5pq + 6 \;\;\;\;\;\; \dfrac{1}{4}n^2 − mn − \dfrac{3}{2}n \;\;\;\;\;\; 6t^{10} + 2 \pi t^2 + \pi$

Визначення: Поліном

Многочлен - це вираз, що складається з одного або декількох членів, і кожен член - мономіальний.

Мономи, біноми та тріноми - це спеціальні назви поліномів з термінами$1$$2$, або$3$ термінами. Ви можете назвати тріноміал поліном, і це нормально! Після того, як вираз виходить за межі 3 члени, многочлен не має особливої назви; це просто многочлен!

Визначення: Ступінь многочлена

Щоб знайти ступінь полінома, огляньте показники кожного члена. Кожен член многочлена має свою ступінь. Ступінь терміна знаходить шляхом підсумовування показників терміна. Термін з найвищою величиною експоненти стає ступенем многочлена.

Приклад Template:index

Знайдіть ступінь кожного многочлена.

1. $p^2q^2 − 5pq + 6$
2. $2y^5 − 4x^4y^3 + 10y^6 − y$

Рішення

а) Ступінь тріноміала визначається терміном вищого ступеня

$\underbrace{p^2q^2}_{\text{Term} 1} - \underbrace{5pq}_{\text{Term} 2} + \underbrace{6}_{\text{Term} 3}$

Термін 1	$p^2q^2$	Ступінь$= 2 + 2 = 4$$\textcolor{green}{\checkmark}$
Термін 2	$−5p^1q^1$	Ступінь$= 1 + 1 = 2$
Термін 3	$6p^0q^0$	Ступінь$= 0 + 0 = 0$

Відповідь Ступінь тріноміала є$4$.

б) Визначте ступінь кожного з$4$ термінів. Термін вищого ступеня - це ступінь многочлена.

$\underbrace{2y^5}_{\text{Term} 1} - \underbrace{4x^4y^3}_{\text{Term} 2} + \underbrace{10y^6}_{\text{Term} 3} - \underbrace{y}_{\text{Term} 4}$

Термін 1	$2y^5$	Ступінь$= 5$
Термін 2	$4x^4y^3$	Ступінь$= 4 + 3 = 7$$\textcolor{green}{\checkmark}$
Термін 3	$10y^6$	Ступінь$= 6$
Термін 4	$y$	Ступінь$=1$

Відповідь Ступінь тріноміала є$7$.

Пов'язана лексика

Терміни$p^2q^2$ і$−5pq$ є змінними термінами, а термін «$6$» називається постійним терміном. Тобто термін без змінних - це постійний термін. Кожен змінний член має числовий коефіцієнт, який називається коефіцієнтом терміна. Многочлен часто має терміни, зазначені в порядку спадання ступеня. Тому термін вищого ступеня часто викладається першим, і саме тому термін вищого ступеня називають провідним терміном многочлена. Коефіцієнт провідного члена називається провідним коефіцієнтом.

Наведена нижче таблиця узагальнює поліноміальну лексику і ключові поняття:

	многочлен	Порядок за спаданням	провідний коефіцієнт	Ступінь многочлена
Мономи	$-8x^2y$	$-8x^2y$	$-8$	$3$
	$15$	$15$	$15$	$0$
Біноміали	$−6n^2m^3 + 3n^7$	$3n^7 − 6n^2m^3$	$3$	$7$
	$\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}b$	$-\dfrac{1}{3}b + \dfrac{2}{3}$	$-\dfrac{1}{3}$	$1$
Тримали	$3-5c-c^2$	$-c^2-5c+3$	$-1$	$2$
	$2 \pi r^3h − r^2 + \pi r^3h^2$	$\pi r^3h^2 + 2 \pi r^3h − r^2$	$\pi$	$5$

Одиночний змінний многочлен та функція p (x)

Велика частина вашої роботи буде з поліноми однієї змінної. Далі наведено формальне визначення однієї змінної поліноміальної функції,$p(x)$.

Визначення: Функція полінома

Поліноміальна функція$p(x)$ - це сума членів,$a_nx^n$ де$a_0, a_1, a_2,...,a_n$ дійсні числа і$n$ є невід'ємним цілим числом.

$$p(x) =a_0, a_1x, a_2x^2,...,a_nx^n$$

Наведені вище позначення функцій можуть здатися надмірно складними на перший погляд. Однак зверніть увагу, що якщо ми використовували букви алфавіту від А до Z для коефіцієнтів, ми обмежені$26$ термінами. Тому, використовуючи букву$a$ з числовим індексом, а не літери A-Z, ми не маємо обмежень на кількість термінів.

Спробуйте! (Вправи)

Для #1 -9 скажіть, чи кожен вираз є поліномом. Якщо це так, ідентифікуйте його як мономіальний, біноміальний або триноміальний.

1. $12t^4 s^2$
2. $1 − \dfrac{1}{6}p$
3. $\dfrac{4}{c} − 1$
4. $3y^4 − 2x^2$
5. $4v − u^2 + uv$
6. $8r^{\pi}$
7. $−3.8 − 6.2x + 0.4x^2$
8. $6 \pi r 2d$
9. $5a^2 − 4a + a −1$
10. Створіть свій власний приклад мономіала восьмого ступеня.
11. Створіть свій власний приклад триноміала п'ятого ступеня.
12. Створіть свій власний приклад біноміала четвертого ступеня.
13. Ступінь ненульового постійного члена, такого як$3$ дорівнює нулю. Поясніть, чому.

Для #14 -19 заповніть таблицю відповідним чином для кожного полінома.

	многочлен	Провідний термін	провідний коефіцієнт	Ступінь
14.	$1-x^3$
15.	$−6a^5b^3$
16.	$3p^5q^4 − 5p^5 + 6p^6q$
17.	$2 + \dfrac{3}{4}x$
18.	$5\pi − y − 7y^3 + 4 \pi y^4 − y^2$
19.	$1 + 0.25xy + 0.65y$

20. Заповніть бланк правильним словниковим запасом.

1. A ____________ - многочлен одного члена.
2. Для терміну$bx^n$,$b$ називається ____________ терміном і$n$ є ____________ терміном.
3. Термін з вищим ступенем називається ____________ терміном.
4. Всі лінійні функції виду$f(x) = mx + b$ - це поліноми, які мають ступінь$=$ ____________.