Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.3: Радіани

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59477

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Кути можуть вимірюватися в одиницях градусів або радіанах.

    Визначення: Радіани

    Радіани - це одиниця кутового виміру, визначена таким чином, що

    \[2\pi \text{ radians } = 360˚\]

    Для підступних на серце кут\(1\) радіана можна створити за допомогою кола (використовувати будь-яку кришку від баночки) і шматочком мотузки.

    clipboard_e84c3afa2c5650e31d29b9d6ca523c933.png
    Рисунок Template:index: Від центру кола відкладіть рядок вниз, щоб створити радіус. Потім обрізаємо мотузку за розміром її радіуса. Рядок міра = радіус вимірювання
    clipboard_e73467d2f6e4162f2d38ace7e51090eec.png
    Рисунок Template:index: Далі візьміть вирізану рядок і вставте її до краю кола. Центр кола - це вершина кута. Кінцеві точки струн з'єднайте з центром кола. Кут - один радіан!

    Нагадаємо, що окружність кола (яка є периметром кола) має формулу:

    Окружність =\(C = 2 \pi r\) де\(r =\) радіус кола

    Скільки прядок довжини\(r\) потрібно обернути по всьому колу? Ділимо окружність\(r\) способами:\(\dfrac{2 \pi r}{r} = 2 \pi ≈ 6\). Про\(6\) струни довжини\(r\), або точно\(2 \pi\) струни.

    Обертання кута проти годинникової стрілки можна виміряти як частку повного обертання.

    clipboard_e96d16ca2fe5ce83c85f3fb2b53c3d2f1.png

    Як тільки ви отримаєте повісити радіани, ваші тригонометричні розрахунки швидко і легко. Використання радіанів для кутів, а не градусів, є ключем до отримання плинності в тригонометрії. Вони простіше у використанні, ніж градуси. Зверніть увагу на спільні знаменники від одного квадранта до наступного. Також зверніть увагу, що знаменник кута відповідає знаменнику власного опорного кута.

    \(30˚ = \dfrac{\pi}{6} \text{ radians } \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 45˚ = \dfrac{\pi}{4} \text{ radians } \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 60˚ = \dfrac{\pi}{3} \text{ radians }\)

    clipboard_e457d0698b87a6baf0f73f29c9f690168.png

    Опорні кути відносяться до QI, де ваше запам'ятовування вступає в гру. Запам'ятовуйте лише QI та впорядковані пари одиничного кола в цьому квадранті (див. Розділ 7.2). Уникайте запам'ятовування занадто багато! Використовуйте інтуїтивно зрозумілі обчислення, щоб репетирувати математичні поняття. Якщо радіанове значення не є одним із зазначених вище значень, ні співтермінальним до показаних, то вам знадобиться калькулятор для тригонометричних обчислень.

    Приклад Template:index

    Дайте опорний кут\(\hat{\theta}\) (в радіанах) для заданого стандартного кута\(\theta\). Потім накидайте обидва\(\theta\) і\(\hat{\theta}\).

    1. \(\theta = \dfrac{7 \pi}{6}\)
    2. \(\theta = − \dfrac{2 \pi}{3}\)
    3. \(\theta = \dfrac{11 \pi}{4}\)
    4. \(\theta = 6 \text{ radians}\)

    Рішення

    1. \(\theta = \dfrac{7 \pi}{6}\). Вирішіть\(\dfrac{7 \pi}{6}\), чи ближче до\(\pi\) чи\(2 \pi\).

    Так як\(\pi = \dfrac{6\pi}{6}\) і\(2\pi = \dfrac{12\pi}{6}\), зрозуміло, що\(\dfrac{7\pi}{6} > \dfrac{6\pi}{6}\) і ближче до\(\pi\).

    Опорний кут дорівнює\(\hat{\theta} = \dfrac{\pi}{6}\).

    \(\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}\).

    Ескіз наведено нижче.

    clipboard_e758796aa951c3dfbb9b7bcb8144753ea.png

    1. \(\theta = − \dfrac{2 \pi}{3}\). Кут повертається за годинниковою стрілкою.

    \(\left|− \dfrac{2\pi}{3} \right| = \dfrac{2\pi}{3}\)який закінчується в QII.

    Обертання за годинниковою стрілкою\(−\dfrac{2\pi}{3}\) закінчується в QIII.

    Обидва\(\dfrac{2\pi}{3}\) і\(−\dfrac{2\pi}{3}\) мають однаковий опорний кут.

    \(\hat{\theta} = \dfrac{\pi}{3}\).

    Ескіз наведено нижче.

    clipboard_e2ce08b292bebde15a1d77ac730a8e8fe.png

    1. \(\theta = \dfrac{11 \pi}{4}\). Знаменником є\(4\).

    Так як\(\dfrac{8\pi}{4} = 2\pi\) і\(\dfrac{11\pi}{4} > \dfrac{8\pi}{4}\), цей кут обертається за один повний оборот. \(\pi\)співтермінал з\(3\pi\),\(5\pi\),\(7\pi\)... в той час як\(2\pi\) співтермінал з\(4\pi\),\(6\pi\),\(8\pi\),...

    \(\dfrac{11\pi}{4}\)Порівняти з\(3\pi = \dfrac{12\pi}{4}\). Вони дуже близькі за вартістю! \(\dfrac{11\pi}{4} < \dfrac{12\pi}{4}\)і\(\dfrac{11\pi}{4}\) тому припиняється в QII. Опорний кут\(\hat{\theta} = \dfrac{\pi}{4}\).

    Ескіз кута показаний нижче.

    clipboard_eed9b1562a948efe6edfab78d67e05c3b.png

    1. \(\theta = 6 \text{ radians}\). Вирішіть, чи є\(6\) радіани ближче до\(\pi\) або\(2\pi\).

    Так як\(\pi ≈ 3.14\) і\(2\pi ≈ 6.28\),\(6\) радіани ближче до\(2\pi\). \(6 < 2\pi\), тому кут закінчується в QIV.

    Опорний кут\(\hat{\theta} = 2\pi − 6 ≈ 0.28\) радіани.

    Ескіз кута показаний нижче.

    clipboard_ee7bece9679fcef2edbf41c496f299d1e.png

    Приклад Template:index

    Кінцева сторона стандартного кута\(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\) радіанів перетинає одиничну окружність. Вкажіть впорядковану пару перехрестя.

    Рішення

    Так як\(\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{4\pi}{4} − \dfrac{\pi}{4}\) кут\(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\) закінчується в QII з опорним кутом\(\hat{\theta} = \dfrac{\pi}{4}\).

    Одиниця кола була введена в Розділі 7.2 для градусів-кутів. Малюнок, показаний нижче, включає радіан-кути.

    clipboard_edf7f7bacee9db4fb14db4c139a3b04c1.png

    Впорядкована пара на одиничному колі, що перетинає кінцеву сторону\(\pi = \dfrac{3\pi}{4}\) є\(\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2} , \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\).

    Приклад Template:index

    Кінцева сторона стандартного кута\(\theta = \dfrac{5\pi}{2}\) радіанів перетинає одиничну окружність. Вкажіть впорядковану пару перехрестя.

    Рішення

    Так як\(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi\), кути\(\dfrac{5\pi}{2}\) і\(\dfrac{\pi}{2}\) є котермінальними кутами. Котермінальні кути приземляються в одному місці, тому впорядкована пара буде однаковою. Впорядкована пара на одиничному колі, що перетинає кінцеву сторону\(\theta = \dfrac{5\pi}{2}\) є\((0, 1)\).

    Приклад Template:index

    Кінцева сторона стандартного кута\(\theta = 10\pi\) радіанів перетинає одиничну окружність. Вкажіть впорядковану пару перехрестя.

    Рішення

    Так як\(10\pi = 2\pi(5)\), кути\(10\pi\) і\(2\pi\) є котермінальними кутами. Тому впорядкована пара на одиничному колі, що перетинає кінцеву сторону\(\theta = 10\pi\) є\((1, 0)\).

    Спробуйте! (Вправи)

    Для #1 -10 стандартний кут\(\theta\) задається в радіанах. Вкажіть опорний кут\(\hat{\theta}\) в радіанах.

    1. \(\theta = \dfrac{11\pi}{6}\)
    2. \(\theta = \dfrac{7\pi}{9}\)
    3. \(\theta = \dfrac{11\pi}{7}\)
    4. \(\theta = 2\)радіани
    5. \(\theta = −\dfrac{5\pi}{6}\)
    6. \(\theta = −\dfrac{5\pi}{4}\)
    7. \(\theta = \dfrac{9\pi}{4}\)
    8. \(\theta = \dfrac{17\pi}{6}\)
    9. \(\theta = 10\)радіани
    10. \(\theta = −\dfrac{6\pi}{5}\)

    Для #11 -20 кінцева сторона заданого стандартного кута\(\theta\) перетинає одиничну окружність у точці. Вкажіть впорядковану пару перехрестя.

    1. \(\theta = \dfrac{7\pi}{6}\)
    2. \(\theta = \dfrac{4\pi}{3}\)
    3. \(\theta = \dfrac{11\pi}{3}\)
    4. \(\theta = \dfrac{7\pi}{2}\)
    5. \(\theta = 5\pi\)
    6. \(\theta = \dfrac{13\pi}{4}\)
    7. \(\theta = −\dfrac{7\pi}{6}\)
    8. \(\theta = −4\pi\)
    9. \(\theta = −\dfrac{11\pi}{4}\)
    10. \(\theta = −\dfrac{5\pi}{2}\)

    Для #21 -27 стандартний кут повороту описується словами. Вам дається кілька підказок про його обертанні. Примітка: повний оборот -\(2\pi\) радіани (якщо проти годинникової стрілки) або\(−2\pi\) радіани (якщо за годинниковою стрілкою). Знайдіть міру описаного кута за допомогою радіанів.

    1. Кут має обертання проти годинникової стрілки. Кут не робить повного обороту. Кінцева сторона кута знаходиться в QIII. Опорний кут\(\hat{\theta} = \dfrac{\pi}{3}\).
    2. Кут має обертання проти годинникової стрілки. Кут не робить повного обороту. Кінцева сторона кута знаходиться в QIV. Опорний кут\(\hat{\theta} = \dfrac{\pi}{4}\).
    3. Кут має обертання проти годинникової стрілки. Кут не робить повного обороту. Кінцева сторона кута знаходиться в QII. Опорний кут\(\hat{\theta} = \dfrac{\pi}{6}\).
    4. Кут має обертання за годинниковою стрілкою. Кут не робить повного обороту. Кінцева сторона кута знаходиться в QIV. Опорний кут\(\hat{\theta} = \dfrac{\pi}{3}\).
    5. Кут має обертання за годинниковою стрілкою. Кут не робить повного обороту. Кінцева сторона кута перетинає одиничну окружність в точці\((−1, 0)\).
    6. Кут має обертання проти годинникової стрілки. Кут обертається більше одного повного обороту. Кінцева сторона кута перетинає одиничну окружність в точці\(\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2}, −\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\).
    7. Кут має обертання проти годинникової стрілки. Кут обертається більше двох повних обертів. Кінцева сторона кута перетинає одиничну окружність в точці\(\left(−\dfrac{1}{2} , \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\).