Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.1: Одиничне коло

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59464

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Основні поняття тригонометрії розвиваються з кола з радіусом, рівним\(1\) одиниці, намальованої в\(xy\) -координатної площині, по центру на початку. Цьому колу дано назву: одиничний коло (Малюнок\(7.1.1\) нижче). Подібно до\(12\) годинного годинника зі значеннями часу від\(1\) до\(12\), тригонометричні функції є періодичними, тобто однакові значення відтворюються з кожним\(360˚\) оборотом.

    clipboard_ee9194d291a410069f87c8e1e3c3c96ce.png
    Малюнок Template:index: Одиничне коло
    clipboard_ea5f43bf8eda27a54721c85d7bedd2294.png
    Рисунок Template:index: Кути в стандартному положенні

    Кут знаходиться в стандартному положенні (див. Рис.\(7.1.2\) Вище), якщо його початкова сторона знаходиться вздовж позитивної\(x\) осі, а його вершина - у точці початку:\((0,0)\). Наступні кути знаходяться в стандартному положенні. Кут, який обертається в напрямку проти годинникової стрілки, є позитивним. Кут, який обертається за годинниковою стрілкою, є негативним.

    clipboard_e5a9241cdbae64a1f379bb2913b24dca3.png
    Рисунок Template:index: Позитивний кут у стандартному положенні.
    clipboard_eb1748bdb896646cba2fe3b8eb41231d6.png
    Рисунок Template:index:: Від'ємний кут у стандартному положенні.
    clipboard_ef1b42094cc065a1ffc226a4b8dfee163.png
    Рисунок Template:index: Позитивний кут у стандартному положенні.

    Котермінальні кути

    Кажуть, що два або більше стандартних кутів, які поділяють спільні сторони терміналу, є котермінальними кутами. Наприклад,\(30˚\) і\(390˚\) є котермінальними кутами.

    clipboard_edae1eab80f059ab6160333bcf21dad75.png

    Більш формально: Кожен кут\(B\) співтермінальний з кутом\(A\) де\(B = A + 360˚k\),\(k =\) будь-яке ціле число.

    Приклад Template:index

    Вираз\(315˚ + 360˚k\) дає кути співтермінал с\(315˚\). Створіть котермінальні кути, які формує рівняння, використовуючи наступні\(k\) -значення:\(k = −2, −1, 1, 2\). Потім накидайте кути.

    Рішення

    Підставляємо задані\(k\) -значення в вираз\(315˚ + 360˚k\).

    \(k = -2\) \(k = -1\) \(k = 1\) \(k = 2\)
    \(315˚ + 360˚(\textcolor{red}{-2}) = -405˚\) \(315˚ + 360˚(\textcolor{red}{-1}) = -45˚\) \(315˚ + 360˚(\textcolor{red}{1}) = -675˚\) \(315˚ + 360˚(\textcolor{red}{2}) = 1035˚\)

    Знизу накидаються кути. Ви бачите, що кожен кут має одну і ту ж клемну сторону? Всі чотири кути є співтермінальними з\(315˚\) і співтермінальними один з одним.

    clipboard_e817c28fbb916447571993b1ba5b92c18.png

    Коло по центру на початку

    Кожна\((x, y)\) впорядкована пара на колі пов'язана з прямокутним трикутником. Прямокутний трикутник має горизонтальну відстань\(x\)\(y\), відстань по вертикалі та гіпотенузу = радіус =\(r\).

    clipboard_ea4f396a40a55f4929eb6dd6b1ad1cbda.png

    Рівняння кола

    Рівняння окружності радіуса з\(r\) центром у початку:

    \[x^2 + y^2 = r^2\]

    Примітка:\(x\) -coordinate і\(y\) -coordinate можуть приймати негативні значення, залежно від квадранта кінцевої сторони кута.

    Приклад Template:index

    Знайти\(y\) -координату точки A,\(\left(−\dfrac{5}{9} , y \right)\) якщо точка A лежить в QIII на одиничному колі.

    Рішення

    Одинична окружність має радіус\(r = 1\). Тригонометрія з'єднує алгебру і геометрію з наочними ескізами. Створіть ескіз, перш ніж стрибати в розчин. Це допоможе вам побачити відповідь.

    clipboard_ed6aa5e0ff457f2cdadcf335269d53625.png

    \(\begin{array} &\left(−\dfrac{5}{9}\right)^2 + y^2 &= 1^2 &\text{Substitute \(x = −\dfrac{5}{9}\)і\(r = 1\) в рівняння кола.}\\ dfrac {25} {81} + y^2 &= 1 &\ text {Спрощення.}\\ y^2 &= 1 -\ dfrac {25} {81} &\ text {{81} {81} {81} {{81} {{81} {{81} {dfrac {25} {81} {81} {81} {81} текст {Знайти РК-дисплей.}\\ y^2 &=\ dfrac {56} {81} &\ text {Спрощення.}\(\dfrac{25}{81}\) \\ sqrt {y^2} &= ±\ sqrt {\ dfrac {56} {81}} &\ text {Квадратний корінь з обох сторін.}\\ y &= -\ dfrac {\ sqrt {56}} {9} &\ text {Виберіть правильне значення знака. \(y < 0\)у III кварталі.}\\ y &= −\ dfrac {2\ sqrt {14}} {9} &\ text {Спрощення радикала.} \ end {масив}\)

    Спеціальні прямокутні трикутники

    Використовуючи теорему Піфагора, можна забивати наступні два шаблони для спеціальних прямих трикутників:\(45˚\) -\(45˚\) -\(90˚\) трикутники і\(30˚\) -\(60˚\) -\(90˚\) трикутники.

    clipboard_e2026a8b9c765a82686d89e448e76dfa7.png

    Оскільки прямі трикутники і кола нерозривно пов'язані один з одним, гострі кути\(30˚\)\(45˚\), часто\(60˚\) корисні для знаходження точних значень в тригонометрії; ці рішення не вимагають використання калькулятора.

    Приклади спеціальних прямих трикутників і їх рішення, можна подивитися в цих відео:

    Спробуйте! (Вправи)

    Для #1 -5 намалюйте кут\(\theta\) у стандартному положенні.

    1. \(\theta = 210˚\)
    2. \(\theta = −300˚\)
    3. \(\theta = 150˚\)
    4. \(\theta = 270˚\)
    5. \(\theta = −135˚\)

    Для #6 -10 вкажіть будь-які два кути співтермінал із заданим кутом\(\theta\). Дайте один позитивний котермінальний кут і один негативний котермінальний кут.

    1. \(\theta = 30˚\)
    2. \(\theta = 60˚\)
    3. \(\theta = 90˚\)
    4. \(\theta = 180˚\)
    5. \(\theta = 240˚\)

    Для #11 -15 вкажіть рівняння кола із заданим радіусом.

    1. \(r = 4\)
    2. \(r = \dfrac{1}{2}\)
    3. \(r = 3 \sqrt{2}\)
    4. \(r = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
    5. \(r = \sqrt{\dfrac{101}{62}}\)
    6. Заповніть пробіли: Одиничне коло - це коло,\(\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\) рівне одній одиниці. Коло зосереджено на\(\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\). Коло має рівняння:\(\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\).

    Для #17 -24, Задана точка лежить на колі із заданим радіусом та кінцевою стороною у заданому квадранті. Знайти відсутню координату заданої впорядкованої пари.

    Точка на колі Радіус Квадрант, в якому\(\theta\) закінчується.
    17. \((2, y)\) \(r = 5\) \ (\ тета\) закінчується.» >\(\theta ∈\) ЦИ
    18. \((x, \sqrt{6})\) \(r = 3\) \ (\ тета\) закінчується.» >\(\theta ∈\) QII
    19. \((−3\sqrt{7}, y)\) \(r = \sqrt{77}\) \ (\ тета\) закінчується.» >\(\theta ∈\) ІІІ квартал
    20. \((x, −4\sqrt{5})\) \(r = 3\sqrt{15}\) \ (\ тета\) закінчується.» >\(\theta ∈\) QIV
    21. \(\left( \dfrac{3}{4} , y \right)\) \(r=1\) \ (\ тета\) закінчується.» >\(\theta ∈\) ЦИ
    22. \(\left(x, \dfrac{3}{16} \right)\) \(r=1\) \ (\ тета\) закінчується.» >\(\theta ∈\) QII
    23. \(\left(− \dfrac{\sqrt{5}}{4} , y \right)\) \(r=1\) \ (\ тета\) закінчується.» >\(\theta ∈\) ІІІ квартал
    24. \(\left(x, − \dfrac{3\sqrt{2}}{8} \right)\) \(r=1\) \ (\ тета\) закінчується.» >\(\theta ∈\) QIV

    Для #25 -29 знайдіть частку повного обороту. Потім накидайте кут.

    1. \(\dfrac{1}{4} \cdot 360˚\)
    2. \(\dfrac{1}{2} \cdot 360˚\)
    3. \(\dfrac{3}{4} \cdot 360˚\)
    4. \(\dfrac{1}{8} \cdot 360˚\)
    5. \(\dfrac{1}{6} \cdot 360˚\)

    Для #30 -35 вирішіть для\(2\) відсутніх довжин сторін. Дайте точні відповіді. Немає калькуляторів.

    1. clipboard_e71a8a05bff7f6a4adc6d5c0b056fc1d7.png
    2. clipboard_ea175eae65ac9e1641c5bbb8d43439f80.png
    3. clipboard_ee446e4e95939c7b67716b36c685644d0.png
    4. clipboard_e4633229195d2f71629d883fc6a786904.png
    5. clipboard_eba2b6dd1020f7ca98f12ad724d338ec6.png
    6. clipboard_e5992c086b12706b09765a4a75c4285a0.png

    Для #36 -38 знайти координати впорядкованої пари\((x, y)\) на одиничному колі з заданим стандартним кутом. Використовуйте спеціальні зв'язки прямокутного трикутника. Дайте точні значення\(x\) і\(y\).

    1. clipboard_ea02e11ad76d1b60bcb971065f6a9a1eb.png
    2. clipboard_ea2c96607cc16568bd33c44e3cc4275ff.png
    3. clipboard_e5da8266361bae60ea0067b4ebef91a12.png