7.2: Довідкові кути
- Page ID
- 59465
Спеціальні прямокутні трикутники,\(30˚\)\(60˚\) -\(45˚\) -\(90˚\) і\(45˚\) -\(90˚\), дозволяють отримати точні значення впорядкованих пар\((x, y)\) на одиничному колі зі стандартними кутами\(30˚\)\(45˚\), або\(60˚\).
Якщо ми використовуємо симетрію поперек\(y\) -осі та\(x\) -осі, ми можемо заповнити відомі впорядковані пари з QI в квадранти II, III та IV. Використовуйте наведені нижче цифри, щоб простежити, як це робиться. Щоб зображення були простими,\(30˚\) кути\(45˚\) позначені, в той час як і\(60˚\) можна припустити їх більшими величинами.
Зверніть увагу, що чотири\(30˚\) кути створюють вигляд краватки-метелика на малюнку\(7.2.3\). Ці кути називаються опорними кутами.
\(\theta\)Дозволяти бути стандартним кутом. Опорний кут, позначається\(\hat{\theta}\), є позитивним гострим кутом між кінцевою стороною\(\theta\) і\(x\) -віссю.
Слово посилання використовується тому, що всі кути можуть посилатися на QI. Тобто запам'ятовування впорядкованих пар обмежується QI одиничного кола. Якщо стандартний кут\(\theta\) має опорний кут, або\(30˚\)\(45˚\)\(60˚\), впорядкована пара одиничного кола дублюється, але значення знака\(x\) або\(y\) може потребувати коригування, залежно від квадранта кінцевої сторони\(\theta\).
Кінцева сторона стандартного кута\(\theta = 225˚\) перетинає одиничну окружність. Вкажіть впорядковану пару перехрестя.
Рішення
Одинична окружність має радіус\(r = 1\). Тригонометрія з'єднує алгебру і геометрію з наочними ескізами. Починаємо з ескізу кута\(\theta = 225˚\). Всі стандартні кути починаються з позитивної сторони\(x\) -осі. У якому квадранті знаходиться кінцева сторона\(\theta\)? Тобто, де цей кут зупиняється?
Де знаходиться термінальна сторона\(\theta = 225˚\)? Оскільки\(180˚ < 225˚ < 270˚\) кінцева сторона кута знаходиться в QIII.
Опорний кут обчислюється шляхом знаходження різниці між\(225˚\) і\(180˚\).
Примітка: опорний кут ніколи не є негативним.
\(|225˚ − 180˚| = |180˚ − 225˚| = \hat{\theta}\)
\(45˚ = \hat{\theta}\)
У QIII всі\((x, y)\) впорядковані пари такі, що\(x < 0\) і\(y < 0\). Повертаючись до QI, використовуючи стандартний кут\(45˚\) на одиничному колі, впорядкована пара\(\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} , \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\) повинна бути відрегульована на негативні\(x\) та\(y\) координати.
Відповідь: кінцева сторона\(\theta = 225˚\) перетинає одиницю окружності в\(\left( −\dfrac{\sqrt{2}}{2} , −\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\).
Порада: Якщо стандартний кут більше\(90˚\), використовуйте маркери\(180˚\) або\(360˚\) для обчислення опорного кута. Малювати картинку перед обчисленням завжди рекомендується!
Кінцева сторона стандартного кута\(\theta = −480˚\) перетинає одиничну окружність. Вкажіть впорядковану пару перехрестя.
Рішення
Від'ємні кути повертаються за годинниковою Ескіз\(\theta\). Знайдіть позитивний котермінальний кут:\(−480˚ + 360˚(2) = 240˚\) Потім застосуйте наведені вище поради або проаналізуйте візуально:\(|180˚ − 240˚| = |−60˚| = 60˚ = \hat{\theta}\)
Впорядкована пара на одиничному колі дорівнює\(\left(−\dfrac{1}{2} , −\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\).
Спробуйте! (Вправи)
Для #1 -10 вкажіть опорний\(\hat{\theta}\) кут заданого стандартного кута.
- \(\theta = 210˚ \)
- \(\theta = 350˚\)
- \(\theta = 110˚\)
- \(\theta = 240.5˚\)
- \(\theta = 142.75˚\)
- \(\theta = −315˚\)
- \(\theta = −230˚\)
- \(\theta = 500˚\)
- \(\theta = 615˚\)
- \(\theta = −835˚\)
Для #11 -20 кінцева сторона заданого стандартного кута\(\theta\) перетинає одиничну окружність у точці. Вкажіть впорядковану пару перехрестя.
- \(\theta = 135˚\)
- \(\theta = 300˚\)
- \(\theta = −240˚\)
- \(\theta = −150˚\)
- \(\theta = 420˚\)
- \(\theta = 570˚\)
- \(\theta = 840˚\)
- \(\theta = −765˚\)
- \(\theta = −930˚\)
- \(\theta = 1560˚\)
Для #21 -28 поворот стандартного кута описується словами. Вам дається кілька підказок про його обертанні. Примітка: повний оборот -\(360˚\) (проти годинникової стрілки) або\(-360˚\) (за годинниковою стрілкою). Знайдіть міру описуваного кута.
- Кут має обертання проти годинникової стрілки. Кут не робить повного обороту. Кінцева сторона кута знаходиться в QIV. Опорний кут\(\hat{\theta} = 30˚\).
- Кут має обертання проти годинникової стрілки. Кут не робить повного обороту. Кінцева сторона кута знаходиться в QII. Опорний кут\(\hat{\theta} = 20˚\).
- Кут має поворот за годинниковою стрілкою. Кут не робить повного обороту. Кінцева сторона кута знаходиться в QIII. Опорний кут\(\hat{\theta} = 10˚\).
- Кут має поворот за годинниковою стрілкою. Кут не робить повного обороту. Кінцева сторона кута знаходиться в QII. Опорний кут\(\hat{\theta} = 72˚\).
- Кут має обертання проти годинникової стрілки. Кут виходить якраз за один повний оборот. Кінцева сторона кута знаходиться в QI. Опорний кут\(\hat{\theta} = 55˚\).
- Кут має обертання проти годинникової стрілки. Кут виходить за рамки двох повних оборотів. Кінцева сторона кута знаходиться в QII. Опорний кут\(\hat{\theta} = 24˚\).
- Кут має поворот за годинниковою стрілкою. Кут виходить за рамки одного повного обороту. Кінцева сторона кута знаходиться в QIII. Опорний кут\(\hat{\theta} = 18˚\).
- Кут має поворот за годинниковою стрілкою. Кут виходить за рамки двох повних оборотів. Кінцева сторона кута знаходиться в QIV. Опорний кут\(\hat{\theta} = 39˚\).