Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1: Візуалізація дробів (частина 1)

Цілі навчання
  • Зрозумійте значення дробів
  • Модель неправильних дробів та мішаних чисел
  • Перетворення між неправильними дробами та мішаними числами
  • Модель еквівалентних дробів
  • Знайти еквівалентні дроби
  • Знайдіть дроби та мішані числа на числовому рядку
  • Порядок дробів та мішаних чисел
будьте готові!

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

  1. Спростити:52+1. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.1.8.
  2. Заповніть бланк за допомогою< або>:2 __5. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.1.2.

Зрозумійте значення дробів

Енді і Боббі люблять піцу. У ніч на понеділок вони поділяють піцу порівну. Скільки піци отримує кожен з них? Ви думаєте, що кожен хлопчик отримує половину піци? Це вірно. Є одна ціла піца, рівномірно розділена на дві частини, тому кожен хлопчик отримує одну з двох рівних частин. У математиці ми пишемо,12 щоб означати одну з двох частин.

Зображення круглої піци, нарізаної вертикально вниз по центру, створюючи два рівних шматочка. Кожен шматок маркується як одна половина.

Малюнок4.1.1

У вівторок Енді і Боббі діляться піцою зі своїми батьками, Фредом і Крісті, при цьому кожна людина отримує рівну кількість всієї піци. Скільки піци отримує кожна людина? Є одна ціла піца, розділена рівномірно на чотири рівні частини. Кожна людина має одну з чотирьох рівних частин, тому кожна має14 піцу.

Зображення круглої піци, нарізаної вертикально і горизонтально, створюючи чотири рівні шматочки. Кожен шматок маркується як одна четверта.

Малюнок4.1.2

У середу сім'я запрошує друзів на вечерю з піцою. Є загальна кількість12 людей. Якщо вони поділяють піцу порівну, кожна людина112 отримає піцу.

Зображення круглої піци, нарізаної на дванадцять рівних клинів. Кожен шматок маркується як одна дванадцята.

Малюнок4.1.3

Визначення: Дроби

Записується дрібab, деa іb - цілі числа іb0. У дробі,a називається чисельником іb називається знаменником.

Дріб - це спосіб представлення частин цілого. Знаменникb являє собою кількість рівних частин, на які було поділено ціле, а чисельникa - скільки частин включено. Знаменник не може дорівнювати нулюb, оскільки ділення на нуль не визначено.

На4.1.4 малюнку коло розділено на три частини однакового розміру. Кожна13 частина являє собою коло. Цей тип моделі називається дробовим кругом. Інші форми, такі як прямокутники, також можуть бути використані для моделювання дробів.

Коло ділиться на три рівних клина. Кожен шматок маркується як одна третина.

Малюнок4.1.4

Що23 являє собою дріб? Дріб23 означає дві з трьох рівних частин.

Коло ділиться на три рівних клина. Два клина розтушовують.

Малюнок4.1.5

Приклад4.1.1: name the fraction

Назвіть частку фігури, яка затінена в кожній з фігур.

  1. У частині «а» коло ділиться на вісім рівних клинів. П'ять клинів затінюють. У частині «б» квадрат ділиться на дев'ять рівних частин. Два шматка затінюються.
  2. У частині «а» коло ділиться на вісім рівних клинів. П'ять клинів затінюють. У частині «б» квадрат ділиться на дев'ять рівних частин. Два шматка затінюються.

Рішення

Нам потрібно задати два питання. По-перше, скільки рівних частин? Це і буде знаменник. По-друге, з цих рівних частин, скільки затінюють? Це і буде чисельник.

Скільки рівних частин там? Є вісім рівних частин.
Скільки затінюються? П'ять частин розтушовують.

П'ять з восьми частин затінюються. Тому частка кола, яка затінюється, є58.

Скільки рівних частин там? Є дев'ять рівних частин.
Скільки затінюються? Дві частини розтушовують.

Дві з дев'яти частин затінюються. Тому частка квадрата, яка затінюється, є29.

Вправа4.1.1

Назвіть частку фігури, яка затінена на кожному малюнку:

У частині «а» коло ділиться на вісім рівних клинів. Три клина розтушовують. У частині «б» квадрат ділиться на дев'ять рівних частин. Чотири частини розтушовують.

Відповідь на

38

Відповідь б

49

Вправа4.1.2

Назвіть частку фігури, яка затінена на кожному малюнку:

У частині «а» коло ділиться на п'ять рівних клинів. Три клина розтушовують. У частині «б» квадрат ділиться на чотири рівні частини. Три частини розтушовують.

Відповідь на

35

Відповідь б

34

Приклад4.1.2:

34Відтінок кола.

Зображення кола.

Рішення

Знаменник є4, тому ділимо коло на чотири рівні частини (а). Чисельник є3, тому ми затінюємо три з чотирьох частин (б).

У «а» показано коло, розділене на чотири рівні частини. Стрілка вказує від «a» до «b». У «b» показано те саме зображення з трьома шматочками, затіненими.

34кола розтушовується.

Вправа4.1.3

68Відтінок кола.

Коло ділиться на вісім рівних частин.

Відповідь

Вправа 4.1.3.png

Вправа4.1.4

25Відтінок прямокутника.

Прямокутник ділиться по вертикалі на п'ять рівних частин.

Відповідь

Вправа 4.1.4.png

У4.1.1 Example та4.1.2 Example ми використовували кола та прямокутники для моделювання дробів. Дроби також можуть бути змодельовані як маніпулятори, які називаються фракційними плитками, як показано на малюнку4.1.6. Тут ціле моделюється як одна довга, нерозділена прямокутна плитка. Під ним знаходяться плитки однакової довжини, розділені на різну кількість однакових за розміром частин.

Показана одна довга нерозділена прямокутна плитка з маркуванням «1». Під ним знаходиться прямокутна плитка однакового розміру і форми, яка була розділена вертикально на дві рівні частини, кожна з яких позначена як одна половина. Нижче знаходиться ще одна прямокутна плитка, яка була розділена на три рівні частини, кожна з яких позначена як одна третина. Нижче знаходиться ще одна прямокутна плитка, яка була розділена на чотири рівні частини, кожна з яких позначена як одна четверта. Нижче знаходиться ще одна прямокутна плитка, яка була розділена на шість частин, кожна з яких позначена як одна шоста.

Малюнок4.1.6

Ми будемо використовувати фракційні плитки, щоб виявити деякі основні факти про фракції. Зверніться до Рисунок4.1.6, щоб відповісти на наступні питання:

Скільки12 плитки потрібно, щоб зробити одну цілу плитку? Потрібно дві половинки, щоб зробити ціле, тому дві з двох дорівнює22 = 1.
Скільки13 плитки потрібно, щоб зробити одну цілу плитку? Це займає три третини, тому три з трьох33 = 1.
Скільки14 плитки потрібно, щоб зробити одну цілу плитку? Це займає чотири четверті, тому чотири з чотирьох44 = 1.
Скільки15 плитки потрібно, щоб зробити одну цілу плитку? Це займає шість шостих, тому шість з шести66 = 1.
Що робити, якщо цілі були розділені на 24 рівні частини? (Ми не показали фракційні плитки, щоб представити це, але спробуйте візуалізувати це у вашій свідомості.) Скільки124 плитки потрібно, щоб зробити одну цілу плитку? Це займає 24 двадцять четвертих, так2424 = 1.

Знадобиться24 двадцять четвертих, значить2424=1. Це призводить нас до Власності Одного.

Визначення: Властивість одного

Будь-яке число, крім нуля, розділене саме по собі, дорівнює одиниці.

aa=1(a0)

Приклад4.1.3: fraction circles to form wholes

Використовуйте дробові кола, щоб зробити цілі, використовуючи такі шматки:

  1. 4четвертих
  2. 5п'ятих
  3. 6шістдесятих

Рішення

Показані три кола. Коло зліва ділимо на чотири рівні частини. Коло посередині ділимо на п'ять рівних частин. Коло праворуч ділиться на шість рівних частин. Під кожним колом написано «Форма 1 ціле».

Вправа4.1.5

Використовуйте дробові кола, щоб зробити цілі з наступними шматочками:3 третини.

Відповідь

Вправа 4.1.5.png

Вправа4.1.6

Використовуйте дробові кола, щоб зробити цілі з наступними шматочками:8 восьмі.

Відповідь

Вправа 4.1.6.png

Що робити, якщо у нас є більше фракцій, ніж нам потрібно для1 цілих? Ми розглянемо це в наступному прикладі.

Приклад4.1.4: fraction circles to form whole

Використовуйте дробові кола, щоб зробити цілі, використовуючи такі шматки:

  1. 3половинки
  2. 8п'ятих
  3. 7третин

Рішення

  1. 3половинки зробити1 цілими з1 половиною, що залишилася.

Показані два кола, обидва розділені на дві рівні частини. Коло зліва має обидві частини затінені і позначено як «1». Коло праворуч має один шматок затінений і позначений як одна половина.

  1. 8п'яті зробити1 цілими з3 п'ятими залишилися.

Показані два кола, обидва розділені на п'ять рівних частин. Коло зліва має всі п'ять частин затінені і позначено як «1». Коло праворуч має три шматки затінених і позначено як три п'ятих.

  1. 7третини зробіть2 цілі з1 третім залишився.

Показані три кола, всі розділені на три рівні частини. Два кола зліва мають всі три шматки затінені і позначені ними. Коло праворуч має один шматок затінений і позначений як одна третина.

Вправа4.1.7

Використовуйте дробові кола, щоб зробити цілі з наступними шматочками:5 третини.

Відповідь

Вправа 4.1.7.png

Вправа4.1.8

Використовуйте дробові кола, щоб зробити цілі з наступних шматочків:5 половинки.

Відповідь

Вправа 4.1.8.png

Модель неправильних дробів та мішаних чисел

У прикладі4.1.4b у вас було вісім рівних п'ятих штук. Ви використали п'ять з них, щоб зробити одне ціле, і у вас залишилося три п'ятих. Давайте використаємо позначення дробу, щоб показати, що сталося. У вас було вісім штук, кожна з них одна п'ята15, тож у вас було вісім п'ятих, які ми можемо написати як85. Дріб85 - це одне ціле1, плюс три п'ятих, або35135, що читається як одна, так і три-п'ята.

Число135 називається мішаним числом. Мішане число складається з цілого числа і дробу.

Визначення: Мішані числа

Мішане число складається з цілого числаa і дробуbc деc0. Вона пишеться наступним чином.

abcc0

Дроби, такі як54,32,55, і73 називаються неправильними дробами. У неправильному дробі чисельник більше або дорівнює знаменнику, тому його значення більше або дорівнює одиниці. Коли дріб має чисельник, який менше знаменника, він називається правильним дробом, а його значення менше одиниці. Дроби, такі як1237, і1118 є правильними дробами.

Визначення: Правильні та Неправильні дроби

Фракціяab є правильною фракцією ifa<b і неправильною фракцією ifab.

Приклад4.1.5: improper fraction

Назвіть неправильний дріб, змодельований. Потім запишіть неправильний дріб як змішане число.

Показані два кола, обидва розділені на три рівні частини. Коло зліва має всі три шматки затінені. Коло праворуч має один шматок затінений.

Рішення

Кожне коло ділиться на три частини, тому кожен шматочок13 складається з кола. Є чотири шматки затінені, тому є чотири третини або43. На малюнку видно, що у нас також є одне ціле коло і одна третина, яка є113. Отже,43=113.

Вправа4.1.9

Назвіть неправильний дріб. Потім запишіть його як змішане число.

Показані два кола, обидва розділені на три рівні частини. Коло зліва має всі три шматки затінені. Коло праворуч має дві заштриховані шматки.

Відповідь

53=123

Вправа4.1.10

Назвіть неправильний дріб. Потім запишіть його як змішане число.

Показані два кола, обидва розділені на вісім рівних частин. Коло зліва має всі вісім штук затінені. Коло праворуч має п'ять штук затінених.

Відповідь

138=158

Приклад4.1.6: model a fraction

Намалюйте фігуру до моделі118.

Рішення

Знаменником неправильного дробу є8. Намалюйте коло, розділене на вісім частин, і розтушуйте всі їх. Це піклується про вісім восьмих, але у нас є11 восьмі. Треба затінювати три з восьми частин іншого кола.

Показані два кола, обидва розділені на вісім рівних частин. Коло зліва має всі вісім частин затінені і позначено як вісім восьмих. Коло праворуч має три шматки затінених і позначено як три восьмі. Діаграма вказує на те, що вісім восьмих плюс три восьмі - це одна плюс три восьмі.

Отже,118=138.

Вправа4.1.11

Намалюйте фігуру до моделі76.

Відповідь

Вправа 4.1.11.png

Вправа4.1.12

Намалюйте фігуру до моделі65.

Відповідь

Вправа 4.1.12.png

Приклад4.1.7: model a fraction

Використовуйте модель, щоб переписати неправильний дріб116 як змішане число.

Рішення

Починаємо з11 шостих(116). Ми знаємо, що шість шостих складають одне ціле.

66=1

Це залишає нам ще п'ять шістдесятих, тобто56 (11 шостих мінус 6 шостих - це 5 шостих). Отже,116=156.

Показані два кола, обидва розділені на шість рівних частин. Коло зліва має всі шість частин затінені і позначено як шість шостих. Коло праворуч має п'ять штук затінених і позначено як п'ять шостих. Нижче кіл він говорить один плюс п'ять шостих, потім шість шостих плюс п'ять шостих дорівнює одинадцять шостих, а один плюс п'ять шостих дорівнює один і п'ять шостих. Потім сказано, що одинадцять шостих дорівнює одній і п'яти шостим.

Вправа4.1.13

Використовуйте модель, щоб переписати неправильний дріб як змішане число:97.

Відповідь

127

Вправа4.1.14

Використовуйте модель, щоб переписати неправильний дріб як змішане число:74.

Відповідь

134

Приклад4.1.8: model a fraction

Використовуйте модель, щоб переписати мішане число145 як неправильний дріб.

Рішення

Змішане число145 означає одне ціле плюс чотири п'ятих. Знаменник є5, тому ціле є55. Разом п'ять п'ятих і чотири п'ятих дорівнює дев'яти п'ятих. Отже,145=95.

Показані два кола, обидва розділені на п'ять рівних частин. Коло зліва має всі п'ять частин затінені і позначено як 5 п'ятих. Коло праворуч має чотири шматки затінених і позначено як 4 п'ятих. Потім він говорить, що 5 п'ятих плюс 4 п'ятих дорівнює 9 п'ятих і що 9 п'ятих дорівнює одному плюс 4 п'ятих.

Вправа4.1.15

Використовуйте модель, щоб переписати мішане число як неправильний дріб:138.

Відповідь

118

Вправа4.1.16

Використовуйте модель, щоб переписати мішане число як неправильний дріб:156.

Відповідь

116

Перетворення між неправильними дроби та мішаними числами

У прикладі4.1.7 ми перетворили неправильний дріб116 у мішане число,156 використовуючи кола дробів. Ми зробили це, групуючи шість шостих разом, щоб скласти ціле; потім ми подивилися, скільки11 частин залишилося. Ми побачили, що116 склала одну цілу групу з шести шостих плюс п'ять ще шостих, показуючи це116=156.

Вираз поділу116 (який також може бути записаний як6¯)11) говорить нам, щоб знайти, скільки груп6 знаходяться в11. Щоб перетворити неправильний дріб в мішане число без кіл дробу, ділимо.

Приклад4.1.9:

116Перетворити на мішане число.

Рішення

Розділіть знаменник на чисельник. Запам'ятайте116 кошти 11 ÷ 6.
Визначте частку, залишок і дільник.
Запишіть мішане число якquotientremainderdivisor. 156

Отже,116=156.

Вправа4.1.17

Перетворення неправильного дробу в мішане число:137.

Відповідь

167

Вправа4.1.18

Перетворення неправильного дробу в мішане число:149.

Відповідь

159

ЯК: ПЕРЕТВОРИТИ НЕПРАВИЛЬНИЙ ДРІБ У МІШАНЕ ЧИСЛО

Крок 1. Розділіть знаменник на чисельник.

Крок 2. Визначте частку, залишок і дільник.

Крок 3. Запишіть мішане число якquotientremainderdivisor.

Приклад4.1.10:

Перетворення неправильного дробу338 в мішане число.

Рішення

Розділіть знаменник на чисельник. Пам'ятайте,338 значить8¯)33.
Визначте частку, залишок і дільник.
Запишіть мішане число якquotientremainderdivisor. 418

Отже,338=418.

Вправа4.1.19

Перетворення неправильного дробу в мішане число:237.

Відповідь

327

Вправа4.1.20

Перетворення неправильного дробу в мішане число:4811.

Відповідь

4411

У прикладі4.1.8 ми змінилися145 на неправильний дріб, спочатку побачивши, що ціле - це набір з п'яти п'ятих. Таким чином, у нас було п'ять п'ятих і ще чотири п'ятих.

55+45=95

Звідки взялася дев'ятка? Є дев'ять п'ятих - одне ціле (п'ять п'ятих) плюс чотири п'ятих. Давайте використаємо цю ідею, щоб побачити, як перетворити мішане число на неправильний дріб.

Приклад4.1.11: convert

Перетворіть мішане число423 на неправильний дріб.

Помножте все число на знаменник. 423
Ціле число - 4, а знаменник - 3.
Спростити.
Додайте чисельник до виробу.  
Чисельник мішаного числа дорівнює 2.
Спростити.
Напишіть остаточну суму над початковим знаменником.  
Знаменник - 3. 143
Вправа4.1.21

Перетворити мішане число на неправильний дріб:357.

Відповідь

267

Вправа4.1.22

Перетворити мішане число на неправильний дріб:278.

Відповідь

238

ЯК: ПЕРЕТВОРИТИ МІШАНЕ ЧИСЛО НА НЕПРАВИЛЬНИЙ ДРІБ

Крок 1. Помножте все число на знаменник.

Крок 2. Додайте чисельник до товару, знайденого на кроці 1.

Крок 3. Напишіть остаточну суму над початковим знаменником.

Приклад4.1.12:

Перетворіть мішане число1027 на неправильний дріб.

Помножте все число на знаменник. 1027
Ціле число - 10, а знаменник - 7.
Спростити.
Додайте чисельник до виробу.  
Чисельник мішаного числа дорівнює 2.
Спростити.
Напишіть остаточну суму над початковим знаменником.  
Знаменник - 7. 727
Вправа4.1.23

Перетворити мішане число на неправильний дріб:4611.

Відповідь

5011

Вправа4.1.24

Перетворити мішане число на неправильний дріб:1113.

Відповідь

343

Автори та авторства