Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.3: Множення та ділення дробів (частина 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57804

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Спрощення дробів
    • Множення дробів
    • Знайти взаємні
    • Розділити дроби
    будьте готові!

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Знайдіть просте факторизацію\(48\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.5.1.
    2. Намалюйте модель дробу\(\dfrac{3}{4}\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.1.2.
    3. Знайти два дроби, еквівалентні\(\dfrac{5}{6}\). Відповіді можуть відрізнятися. Прийнятні відповіді включають\(\dfrac{10}{12}, \dfrac{15}{18}, \dfrac{50}{60}\) тощо Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.1.14.

    Спрощення дробів

    У роботі з еквівалентними дробами ви бачили, що існує безліч способів запису дробів, які мають однакове значення, або представляють одну і ту ж частину цілого. Як дізнатися, який з них використовувати? Часто ми будемо використовувати дріб, який знаходиться в спрощеному вигляді.

    Дріб вважається спрощеним, якщо немає загальних факторів\(1\), крім, в чисельнику і знаменнику. Якщо дріб має спільні множники в чисельнику та знаменнику, ми можемо зменшити дріб до спрощеного вигляду, видаливши загальні множники.

    Визначення: Спрощений дріб

    Дріб вважається спрощеним, якщо в чисельнику і знаменнику відсутні спільні множники.

    Наприклад,

    • \(\dfrac{2}{3}\)спрощується, оскільки відсутні загальні фактори\(2\) і\(3\).
    • \(\dfrac{10}{15}\)не спрощується, тому що\(5\) є загальним фактором\(10\) і\(15\).

    Процес спрощення дробу часто називають зменшенням фракції. У попередньому розділі ми використовували властивість Equivalt Fractions для пошуку еквівалентних дробів. Ми також можемо використовувати властивість еквівалентних дробів у зворотному напрямку для спрощення дробів. Ми переписуємо властивість, щоб показати обидві форми разом.

    Визначення: Властивість еквівалентних дробів

    \(a, b, c\)Якщо числа де\(b ≠ 0, c ≠ 0\), то\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c}\) і\(\dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{a}{b}\).

    Зверніть увагу, що\(c\) є загальним фактором у чисельнику та знаменнику. Щоразу, коли у нас є спільний коефіцієнт у чисельнику та знаменнику, його можна видалити.

    ЯК: СПРОСТИТИ ДРОБУ

    Крок 1. Перепишіть чисельник і знаменник, щоб показати загальні фактори. Якщо потрібно, перерахуйте чисельник і знаменник на прості числа.

    Крок 2. Спростіть, використовуючи властивість еквівалентних дробів, шляхом видалення загальних факторів.

    Крок 3. Помножте всі інші фактори.

    Приклад\(\PageIndex{1}\): simplify

    Спростити:\(\dfrac{10}{15}\).

    Рішення

    Щоб спростити дріб, шукаємо будь-які загальні фактори в чисельнику і знаменнику.

    Зверніть увагу, що 5 є коефіцієнтом як 10, так і 15. \(\dfrac{10}{15}\)
    Коефіцієнт чисельника і знаменника. \(\dfrac{2 \cdot \textcolor{red}{5}}{3 \cdot \textcolor{red}{5}}\)
    Прибрати загальні фактори. \(\dfrac{2 \cdot \cancel{\textcolor{red}{5}}}{3 \cdot \cancel{\textcolor{red}{5}}}\)
    Спростити. \(\dfrac{2}{3}\)
    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Спростити:\(\dfrac{8}{12}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{2}{3}\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Спростити:\(\dfrac{12}{16}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{3}{4}\)

    Щоб спростити негативний дріб, ми використовуємо той самий процес, що і в Example\(\PageIndex{1}\). Не забудьте зберегти негативний знак.

    Приклад\(\PageIndex{2}\): simplify

    Спростити:\(− \dfrac{18}{24}\).

    Рішення

    Ми помічаємо, що 18 і 24 обидва мають фактори 6. \(- \dfrac{18}{24}\)
    Перепишіть чисельник і знаменник із зазначенням загального множника. \(- \dfrac{3 \cdot \textcolor{red}{6}}{4 \cdot \textcolor{red}{6}}\)
    Видаліть загальні фактори. \(- \dfrac{3 \cdot \cancel{\textcolor{red}{6}}}{4 \cdot \cancel{\textcolor{red}{6}}}\)
    Спростити. \(- \dfrac{3}{4}\)
    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Спростити:\(− \dfrac{21}{28}\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{3}{4}\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Спростити:\(− \dfrac{16}{24}\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{2}{3}\)

    Після спрощення дробу завжди важливо перевірити результат, щоб переконатися, що чисельник і знаменник більше не мають спільних факторів. Пам'ятайте, визначення спрощеного дробу: дріб вважається спрощеним, якщо в чисельнику і знаменнику відсутні загальні множники.

    Коли ми спрощуємо неправильний дріб, немає необхідності міняти його на змішане число.

    Приклад\(\PageIndex{3}\):

    Спростити:\(− \dfrac{56}{32}\).

    Рішення

      \(- \dfrac{56}{32}\)
    Перепишіть чисельник і знаменник, показуючи загальні множники, 8. \(- \dfrac{7 \cdot \textcolor{red}{8}}{4 \cdot \textcolor{red}{8}}\)
    Видаліть загальні фактори. \(- \dfrac{7 \cdot \cancel{\textcolor{red}{8}}}{4 \cdot \cancel{\textcolor{red}{8}}}\)
    Спростити. \(- \dfrac{7}{4}\)
    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Спростити:\(− \dfrac{54}{42}\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{9}{7}\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Спростити:\(− \dfrac{81}{45}\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{9}{5}\)

    ЯК: СПРОСТИТИ ДРОБУ

    Крок 1. Перепишіть чисельник і знаменник, щоб показати загальні фактори. Якщо потрібно, перерахуйте чисельник і знаменник на прості числа.

    Крок 2. Спростіть, використовуючи властивість еквівалентних дробів, шляхом видалення загальних факторів.

    Крок 3. Помножте всі інші фактори.

    Іноді буває непросто знайти загальні чинники чисельника і знаменника. Хороша ідея, таким чином, полягає в тому, щоб перерахувати чисельник і знаменник на прості числа. (Ви можете використовувати метод дерева факторів, щоб визначити прості множники.) Потім розділіть загальні фактори, використовуючи властивість еквівалентних дробів.

    Приклад\(\PageIndex{4}\): simplify

    Спростити:\(\dfrac{210}{385}\).

    Рішення

      \(\dfrac{210}{385}\)
    Використовуйте дерева множників для множника чисельника та знаменника.
    Перепишіть чисельник і знаменник як добуток простих чисел. \(\dfrac{210}{385} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 7 \cdot 11}\)
    Прибрати загальні фактори. \(\dfrac{2 \cdot 3 \cdot \cancel{\textcolor{blue}{5}} \cdot \cancel{\textcolor{red}{7}}}{\cancel{\textcolor{blue}{5}} \cdot \cancel{\textcolor{red}{7}} \cdot 11}\)
    Спростити. \(\dfrac{2 \cdot 3}{11}\)
    Помножте всі інші фактори. \(\dfrac{6}{11}\)
    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Спростити:\(\dfrac{69}{120}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{23}{40}\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Спростити:\(\dfrac{120}{192}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{5}{8}\)

    Ми також можемо спростити дроби, що містять змінні. Якщо змінна є загальним коефіцієнтом в чисельнику і знаменнику, ми видаляємо її так само, як і з цілим коефіцієнтом.

    Приклад\(\PageIndex{5}\): simplify

    Спростити:\(\dfrac{5xy}{15x}\).

    Рішення

      \(\dfrac{5xy}{15x}\)
    Перепишіть чисельник і знаменник із зазначенням загальних факторів. \(\dfrac{5 \cdot x \cdot y}{3 \cdot 5 \cdot x}\)
    Видаліть загальні фактори. \(\dfrac{\cancel{5} \cdot \cancel{x} \cdot y}{3 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{x}}\)
    Спростити. \(\dfrac{y}{3}\)
    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Спростити:\(\dfrac{7x}{7y}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{x}{y}\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Спростити:\(\dfrac{9a}{9b}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{a}{b}\)

    Множення дробів

    Модель може допомогти вам зрозуміти множення дробів. Ми будемо використовувати фракційні плитки для моделювання\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\). Примножити\(\dfrac{1}{2}\) і\(\dfrac{3}{4}\), подумайте\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{3}{4}\).

    Почніть з фракції плитки на три чверті. Щоб знайти одну половину з трьох четвертих, нам потрібно розділити їх на дві рівні групи. Оскільки ми не можемо розділити три\(\dfrac{1}{4}\) плитки рівномірно на дві частини, ми обмінюємо їх на менші плитки.

    Прямокутник ділиться вертикально на три рівні частини. Кожен шматок маркується як одна четверта. Є стрілка, що вказує на однаковий прямокутник, розділений вертикально на шість рівних частин. Кожен шматок маркується як одна восьма. Є дужки, які показують, що три з цих прямокутників представляють три восьмих.

    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Ми бачимо\(\dfrac{6}{8}\), це еквівалентно\(\dfrac{3}{4}\). Взяття половини з шести\(\dfrac{1}{8}\) плиток дає нам три\(\dfrac{1}{8}\) плитки, які є\(\dfrac{3}{8}\). Тому,

    \[\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8} \nonumber \]

    Приклад\(\PageIndex{6}\): model a fraction

    Використовуйте діаграму для моделювання\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\).

    Рішення

    Перший відтінок\(\dfrac{3}{4}\) прямокутника.

    Показаний прямокутник, розділений по вертикалі на чотири рівні частини. Три частини розтушовують.

    Ми візьмемося\(\dfrac{1}{2}\) за це\(\dfrac{3}{4}\), тому сильно\(\dfrac{1}{2}\) затінюємо затінену область.

    Показаний прямокутник, розділений по вертикалі на чотири рівні частини. Три частини розтушовують. Прямокутник ділиться горизонтальною лінією, створюючи вісім рівних частин. Три з восьми штук темно затінені.

    Зверніть увагу, що 3 з 8 штук сильно затінені. Це означає, що\(\dfrac{3}{8}\) прямокутник сильно затінений. Тому\(\dfrac{1}{2}\) з\(\dfrac{3}{4}\) є\(\dfrac{3}{4}\), або\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}\).

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Використовуйте діаграму для моделювання:\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{5}\).

    Відповідь

    Показаний прямокутник, розділений по вертикалі на п'ять рівних частин. Три частини розтушовують. Прямокутник ділиться горизонтальною лінією, створюючи десять рівних частин. Три з десяти штук темно затінені.

    \(\dfrac{3}{10}\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Використовуйте діаграму для моделювання:\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{6}\).

    Відповідь

    Показаний прямокутник, розділений по вертикалі на шість рівних частин. П'ять шматочків затінюють. Прямокутник ділять горизонтальною лінією, створюючи дванадцять рівних місць. П'ять з дванадцяти штук темно затінені.

    \(\dfrac{5}{12}\)

    Подивіться на результат, який ми отримали від моделі в прикладі\(\PageIndex{6}\). Ми це виявили\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}\). Ви помітили, що ми могли б отримати ту ж відповідь, множивши чисельники і множивши знаменники?

      \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\)
    Множимо чисельники, і множимо знаменники. \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\)
    Спростити. \(\dfrac{3}{8}\)

    Це призводить до визначення дробного множення. Для множення дробів множимо чисельники і множимо знаменники. Потім пишемо дріб в спрощеному вигляді.

    Визначення: Множення дробів

    Якщо\(a, b, c,\) і\(d\) є числами де\(b ≠ 0\) і\(d ≠ 0\), то

    \[\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\]

    Приклад\(\PageIndex{7}\): multiply

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:\(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{5}\).

    Рішення

      \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{5}\)
    Множимо чисельники, і множимо знаменники. \(\dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5}\)
    Спростити. \(\dfrac{3}{20}\)

    Загальних факторів немає, тому дріб спрощується.

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:\(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{2}{15}\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:\(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{7}{8}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{21}{40}\)

    При множенні дробів все одно застосовуються властивості позитивних і негативних чисел. Непогано визначити ознаку продукту в якості першого кроку. У прикладі\(\PageIndex{8}\) ми помножимо два негативи, тому твір буде позитивним.

    Приклад\(\PageIndex{8}\): multiply

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:\(- \dfrac{5}{8} \left(- \dfrac{2}{3}\right)\).

    Рішення

      \(- \dfrac{5}{8} \left(- \dfrac{2}{3}\right)\)
    Ознаки однакові, тому продукт позитивний. Множимо чисельники, множимо знаменники. \(\dfrac{5 \cdot 2}{8 \cdot 3}\)
    Спростити. \(\dfrac{10}{24}\)
    Шукайте загальні фактори в чисельнику і знаменнику. Перепишіть, показуючи загальні фактори. \(\dfrac{5 \cdot \cancel{\textcolor{red}{2}}}{12 \cdot \cancel{\textcolor{red}{2}}}\)
    Видаліть загальні фактори. \(\dfrac{5}{12}\)

    Ще один спосіб знайти цей продукт передбачає видалення загальних факторів раніше.

      \(- \dfrac{5}{8} \left(- \dfrac{2}{3}\right)\)
    Визначте ознаку вироби. Помножити. \(\dfrac{5 \cdot 2}{8 \cdot 3}\)
    Показати загальні фактори, а потім видалити їх. \(\dfrac{5 \cdot \cancel{\textcolor{red}{2}}}{12 \cdot \cancel{\textcolor{red}{2}}}\)
    Помножте інші коефіцієнти. \(\dfrac{5}{12}\)

    Отримуємо той же результат.

    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:\(- \dfrac{4}{7} \left(- \dfrac{5}{8}\right)\).

    Відповідь

    \(\dfrac{5}{14}\)

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:\(- \dfrac{7}{12} \left(- \dfrac{8}{9}\right)\).

    Відповідь

    \(\dfrac{14}{27}\)

    Приклад\(\PageIndex{9}\): multiply

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:\(− \dfrac{14}{15} \cdot \dfrac{20}{21}\).

    Рішення

      \(- \dfrac{14}{15} \cdot \dfrac{20}{21}\)
    Визначте ознаку продукту; множте. \(- \dfrac{14}{15} \cdot \dfrac{20}{21}\)
    Чи є загальні фактори в чисельнику і знаменнику? Ми знаємо, що 7 - це коефіцієнт 14 і 21, а 5 - коефіцієнт 20 і 15.  
    Перепишіть, показуючи загальні фактори. \(- \dfrac{2 \cdot \cancel{\textcolor{red}{7}} \cdot 4 \cdot \cancel{\textcolor{red}{5}}}{3 \cdot \cancel{\textcolor{red}{5}} \cdot 3 \cdot \cancel{\textcolor{red}{7}}}\)
    Прибрати загальні фактори. \(- \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3}\)
    Помножте інші фактори. \(- \dfrac{8}{9}\)
    Вправа\(\PageIndex{17}\)

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:\(− \dfrac{10}{28} \cdot \dfrac{8}{15}\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{4}{21}\)

    Вправа\(\PageIndex{18}\)

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:\(− \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{5}{12}\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{3}{16}\)

    При множенні дробу на ціле число може бути корисним записати ціле число як дріб. Будь-яке ціле число, a, може бути записано як\(\dfrac{a}{1}\). Так\(3 = \dfrac{3}{1}\), наприклад.

    Приклад\(\PageIndex{10}\):

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:

    1. \(\dfrac{1}{7} \cdot 56\)
    2. \(\dfrac{12}{5} (−20x)\)

    Рішення

      \(\dfrac{1}{7} \cdot 56\)
    Запишіть 56 у вигляді дробу. \(\dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{56}{1}\)
    Визначте ознаку продукту; множте. \(\dfrac{56}{7}\)
    Спростити. \(8\)
      \(\dfrac{12}{5} (-20x)\)
    Запишіть −20x як дріб. \(\dfrac{12}{5} \left(\dfrac{-20x}{1}\right)\)
    Визначте ознаку продукту; множте. \(- \dfrac{12 \cdot 20 \cdot x}{5 \cdot 1}\)
    Показати загальні фактори, а потім видалити їх. \(- \dfrac{12 \cdot \textcolor{red}{4 \cdot \cancel{5} x}}{\cancel{5} \cdot 1}\)
    Помножити інші коефіцієнти; спростити. \(-48x\)
    Вправа\(\PageIndex{19}\)

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:

    1. \(\dfrac{1}{8} • 72\)
    2. \(\dfrac{11}{3} (−9a)\)
    Відповідь на

    \(9\)

    Відповідь б

    \(-33a\)

    Вправа\(\PageIndex{20}\)

    Множимо, і пишемо відповідь в спрощеному вигляді:

    1. \(\dfrac{3}{8} • 64\)
    2. \(16x • \dfrac{11}{12}\)
    Відповідь на

    \(24\)

    Відповідь б

    \(\dfrac{44x}{3}\)

    Автори та авторства