6.1: Співвідношення та пропорція

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57363

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

З самого початку людського роду ми давно порівнювали одну величину з іншою, порівняння, яке називається співвідношенням в математиці. «Їхнє плем'я має вдвічі більше великої рогатої худоби, ніж у нашого» або «Два кошики пшениці коштують 12 дукатів» - приклади співвідношень, які дзвонять з далеких часів. Дійсно, поняття співвідношення не може бути присвоєно жодній особі або класу індивіда. У своїй історії математики Д.Е. Сміт пише:

Доволі вигідно спекулювати щодо області, в якій вперше з'явилося поняття співвідношення. Ідея про те, що одне плем'я вдвічі більше іншого, і ідея про те, що один шкіряний ремінець лише вдвічі довший, ніж інший, передбачає поняття співвідношення; обидва такі, які розвивалися б на початку історії раси, і все ж одне стосується співвідношення чисел, а інший - із співвідношенням геометричних величини. Дійсно, коли ми приходимо до грецьких письменників, ми знаходимо Нікомаха, включаючи співвідношення в його арифметиці, Євдокс у своїй геометрії та Теон Смирнський у своїй главі про музику.

Приклади і застосування коефіцієнтів безмежні: швидкість - це відношення, яке порівнює зміни відстані щодо часу, прискорення - це відношення, яке порівнює зміни швидкості щодо часу, а відсотки порівнюють деталь з цілим. Ми вже вивчили одне класичне співвідношення, відношення окружності кола до його діаметру, яке дає нам визначення$π$.

Одне з найвідоміших співвідношень в історії передбачає поділ відрізка лінії АВ на два відрізки AC і CB шляхом вибору точки С на відрізку АВ.

$Знімок екрана 2019-09-18 в 1.29.20 PM.png$

Ідея полягає в тому, щоб вибрати точку С на відрізку АВ так, щоб

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB}.\nonumber \]

Це співвідношення має особливу назву, Золоте Перетин, і має точне значення, рівне$(1+ \sqrt{5})/2$. Золоте Перетин відоме ще з часів Евкліда. Стародавні і сучасні архітектори здавна вважали, що найбільш приємною прямокутною формою є та, чиє відношення довжини до ширини дорівнює Золотому Перетину.

Порівняння двох співвідношень, таких як AB/AC = AC/CB, називається пропорцією. Пропорції використовуються в ряді практичних способів. Наприклад, якщо 5 банок томатного соусу коштують 2 долари, ми можемо знайти кількість банок, які можна придбати за 10 доларів, порівнявши два співвідношення в пропорції:

\[ \frac{ \text{5 cans of tomato sauce}}{\text{2 dollars}} = \frac{ \text{x cans of tomato sauce}}{\text{10 dollars}}\nonumber \]

Будь-яке обговорення співвідношення передбачає порівняння двох величин, тому одиниці кожної кількості стають надзвичайно важливими. При вимірюванні довжини, ємності та часу використовуються дві різні системи одиниць: американська система одиниць і метрична система одиниць. У цьому розділі ми обговоримо обидві системи та пояснимо, як перетворити величини, виміряні в одній системі, на величини, виміряні в іншій системі.

Почнемо подорож.