1.5: Порядок операцій
- Page ID
- 57240
Порядок, в якому ми оцінюємо вирази, може бути неоднозначним. Візьмемо для прикладу вираз 4 + 3 · 2. Якщо ми зробимо додавання спочатку, то
4+3 · 2=7 · 2
= 14.
З іншого боку, якщо ми спочатку зробимо множення, то
4+3 · 2=4+6
= 10.
Отже, що нам робити? Звичайно, угруповання символів може усунути неоднозначність
Угруповання символів
Для групування частин виразу можна використовувати дужки, дужки або фігурні дужки. Кожен з наступних рівнозначних:
(4 + 3) · 2 або [4 + 3] · 2 або {4+3} · 2
У кожному випадку правило полягає в тому, що «спочатку оцініть вираз всередині символів групування». Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
Так, наприклад,
(4 + 3) · 2=7 · 2
= 14.
Зверніть увагу, як вираз, що міститься в дужках, оцінювався першим. Ще один спосіб уникнути неясностей при оцінці виразів - встановити порядок, в якому повинні виконуватися операції. Наступні рекомендації завжди повинні суворо виконуватися при оцінці виразів.
Правила, що керують порядком операцій
При оцінці виразів дійте в наступному порядку.
- Спочатку оцініть вирази, що містяться в символах групування. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
- Оцінити всі показники, які з'являються у виразі.
- Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
- Виконайте всі додавання і віднімання в
Приклад 1
Оцініть 4 + 3 · 2.
Рішення
Через встановлені Правила, що керують порядком операцій, цей вираз вже не є неоднозначним. Угруповання символів або експонентів немає, тому відразу переходимо до правила три, оцінюємо всі множення і ділення в тому порядку, в якому вони з'являються, рухаючись зліва направо. Після цього викликаємо правило четверте, виконуючи всі додавання і віднімання в тому порядку, в якому вони з'являються, рухаючись зліва направо.
\[ \begin{aligned} 4+3 \dot 2=4+6 \\ = 10 \end{aligned}\nonumber \]
Таким чином, 4 + 3 · 2 = 10.
Вправа
Спрощення: 8 + 2 · 5.
- Відповідь
-
18
Приклад 2
Оцініть 18 − 2 + 3.
Рішення
Дотримуйтесь правил, які керують порядком операцій. Додавання не має пріоритету перед відніманням, а також віднімання не має пріоритету над додаванням. Ми повинні виконувати додавання і віднімання в міру їх виникнення, рухаючись зліва направо.
\[ \begin{aligned} 18 − 2 + 3 = 16 + 3 & \textcolor{red}{ \text{ Subtract: 18 − 2 = 16.}} \\ = 19 & \textcolor{red}{ \text{ Add: 16 + 3 = 19. }} \end{aligned}\nonumber \]
Таким чином, 18 − 2 + 3 = 19.
Вправа
Спрощення: 17 − 8 + 2.
- Відповідь
-
11
Приклад 3
Оцініть 54 ÷ 9 · 2.
Рішення
Дотримуйтесь правил, які керують порядком операцій. Ділення не має пріоритету над множенням, а також множення не має пріоритету над діленням. Ми повинні виконувати ділення і множення, як вони відбуваються, рухаючись зліва направо.
\[ \begin{aligned} 54 \div 9 \cdot 2=6 \dot 2 & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 54 } \div \text{ 9 = 6. }} \\ = 12 & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: 6 } \cdot \text{ 2 = 12. }} \end{aligned}\nonumber \]
Таким чином, 54 ÷ 9 · 2 = 12.
Вправа
Спрощення: 72 ÷ 9 · 2.
- Відповідь
-
16
Приклад 4
Оцініть 2 · 3 2 − 12.
Рішення
Дотримуйтесь Правил Керівного Порядку операцій, спочатку показники, потім множення, потім віднімання.
\[ \begin{aligned} 2 \cdot 3^2 - 12 = 2 \dot 9 - 12 & \textcolor{red}{ \text{ Evaluate the exponent: 3^2 = 9. }} \\ = 18 - 12 & \textcolor{red}{ \text{ Perform the multiplication: } 2 \cdot 9 = 18. } \\ = 6 & \textcolor{red}{ \text{ Perform the subtraction: } 18 - 12 = 6.} \end{aligned}\nonumber \]
Таким чином, 2 · 3 2 − 12 = 6.
Вправа
Спрощення: 14 + 3 · 4 2
- Відповідь
-
62
Приклад 5
Оцініть 12 + 2 (3 + 2 · 5) 2.
Рішення
Дотримуйтесь Правил Керівного Порядку операцій, спочатку оцініть вираз всередині дужок, потім показники, потім множення, потім додавання.
\[ \begin{aligned} 12 + 2(3 + 5 \cdot 5 )^2 = 12 + 2(3 + 10)^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply inside parentheses: 2 } \cdot 5 = 10.} \\ = 12 + 2(13)^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add inside parentheses: } 3 + 10 = 13.} \\ = 12 + 2(169) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Exponents are next: } (13)^2 = 169.} \\ = 12 + 338 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiplication is next: } 2(169) = 338.} \\ = 350 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Time to add: } 12 + 338 = 350.} \end{aligned}\nonumber \]
Таким чином, 12 + 2 (3 + 2 · 5) 2 = 350.
Вправа
Спрощення: 3 (2 + 3 · 4) 2 − 11.
- Відповідь
-
577
Приклад 6
Оцініть 2 {2 + 2 [2 + 2]}.
Рішення
Коли символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз між парою найпотаємніших символів групування.
\[ \begin{aligned} 2( 2 + 2[2 + 2]) = 2(2 + 2[4]) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Innermost grouping first: } 2 + 2 = 4.} \\ = 2(2+8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply next: } 2[4] = 8.} \\ = 2(10) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add inside braces: } 2 + 8 = 10.} \\ = 20 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 2(10) = 20} \end{aligned}\nonumber \]
Таким чином, 2 (2 + 2 [2 + 2]) = 20.
Вправа
Спрощення: 2 {3 + 2 [3 + 2]}.
- Відповідь
-
26
Фракційні бари
Розглянемо вираз
\[ \frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}\nonumber \]
Оскільки дробний бар означає поділ, вищевказаний вираз еквівалентний
\[\left(6^{2}+8^{2}\right) \div(2+3)^{2}\nonumber \]
Положення символів групування сигналізує про те, як ми повинні діяти далі. Слід спростити чисельник, потім знаменник, потім ділити.
Дробові вирази
Якщо присутній дробовий вираз, оцініть спочатку чисельник і знаменник, потім діліть.
Приклад 7
Оцініть вираз
\[ \frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}.\nonumber \]
Рішення
Спростіть спочатку чисельник і знаменник, потім діліть.
\[ \begin{aligned} \frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=\frac{6^{2}+8^{2}}{(5)^{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parentheses in denominator first: } 2 + 3 = 5} \\ = \frac{36+64}{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{Exponents are next: } 6^2 = 36,~ 8^2 = 64,~ 5^2 = 25.} \\ = \frac{100}{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add in numerator: } 36 + 64 = 100} \\ = 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 100 \div 25 = 4.} \end{aligned}\nonumber \]
Таким чином,\(\frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=4\).
Вправа
Спростити:\(\frac{12+3 \cdot 2}{6}\) Відповідь
-
3
Розподільна власність
Розглянемо вираз 2 · (3 + 4). Якщо ми дотримуємось «Правил, що керують порядком операцій», ми спочатку оцінимо вираз всередині дужок. 2 · (3 + 4) = 2 · 7 Дужки спочатку: 3 + 4 = 7. = 14 Множення: 2 · 7 = 14.
Однак ми також могли б вибрати «розподілити» 2, спочатку множивши 2 рази кожен додаток у дужках.
\[ \begin{aligned} 2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply 2 times both 3 and 4.}} \\ = 6 + 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 2 \cdot 3 = 6 \text{ and } 2 \cdot 4 = 8.} \\ = 14 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 6 + 8 = 14.} \end{aligned}\nonumber \]
Те, що ми отримуємо однакову відповідь у другому підході, є ілюстрацією важливої властивості цілих чисел. 1
Розподільна власність
Нехай a, b і c будуть будь-якими цілими числами. Потім,
а · (б + в) = а · б + а · с.
Ми говоримо, що «множення є розподільним щодо додавання».
Множення є розподільним щодо додавання. Якщо ви не обчислюєте добуток числа і суми чисел, розподільне властивість не застосовується.
Обережно! Неправильна відповідь попереду!
Якщо ви обчислюєте добуток числа і добуток двох чисел, розподільне властивість використовувати не слід. Наприклад, ось поширене неправильне застосування розподільного майна.
\[ \begin{aligned} 2 \cdot (3 \cdot 4) = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 4) \\ = 6 \cdot 8 \\ = 48 \end{aligned}\nonumber \]
Цей результат досить далекий від правильної відповіді, який можна знайти, обчисливши твір в дужках першим.
\[ \begin{aligned} 2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 \\ = 24. \end{aligned}\nonumber \]
Для того щоб застосувати розподільну властивість, необхідно множити на суму.
Приклад 8
Використовуйте розподільну властивість для обчислення 4 · (5 + 11).
Рішення
Це добуток числа і суми, тому може застосовуватися розподільне властивість.
\[ \begin{aligned} 4 \cdot (5 + 11) = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 11 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 4 times addend in the sum.}} \\ = 20 + 44 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 4 \cdot 5 = 20 \text{ and } 4 \cdot 11 = 44.} \\ = 64 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 20 + 44 = 64.} \end{aligned}\nonumber \]
Читачі повинні перевірити, чи знайдено ту саму відповідь, спочатку обчисливши суму в дужках.
Вправа
Розподілити: 5 · (11 + 8).
- Відповідь
-
95
Розподільна властивість є підставою алгоритму множення, вивченого в наші дитячі роки.
Приклад 9
Множення: 6 · 43.
Рішення
Ми висловимо 43 як суму, а потім використовувати розподільну властивість.
\[ \begin{aligned} 6 \cdot 43 = 6 \cdot (40 + 3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Express 43 as a sum: } 43 = 40 + 3} \\ = 6 \cdot 40 + 6 \cdot 3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 6.}} \\ = 240 + 18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 6 \cdot 40 = 240 \text{ and } 6 \cdot 3 = 18.} \\ = 258 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 240 + 18 = 258.} \end{aligned}\nonumber \]
Читачі повинні мати можливість бачити це застосування розподільного властивості в більш звичному алгоритмічному вигляді:
\( \begin{array}{r}{43} \\ { \times 6} \\ \hline 18 \\ {\frac{240}{258}}\end{array}\)
Або в ще більш згущеному вигляді з «перенесенням:»
\( \begin{array}{r}{^{1} 43} \\ {\frac{ \times 6}{258}}\end{array}\)
Вправа
Використовуйте розподільну властивість для оцінки 8 · 92.
- Відповідь
-
736
Множення також розподільне щодо віднімання.
Розподільна властивість (віднімання)
Нехай a, b і c будуть будь-якими цілими числами. Потім,
a · (b − c) = a · b − a · c.
Ми говоримо, що множення є «розподільним щодо віднімання».
приклад 10
Скористайтеся властивістю distributive для спрощення: 3 · (12 − 8).
Рішення
Це добуток числа і різниці, тому розподільне властивість може застосовуватися.
\[ \begin{aligned} 3 \cdot (12 - 8) = 3 \cdot 12 - 3 \cdot 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 3 times each term in the difference.}} \\ = 36 - 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{Multiply: } 3 \cdot 12 = 36 \text{ and } 3 \cdot 8 = 24.} \\ = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{Subtract: } 36 - 24 = 12.} \end{aligned}\nonumber \]
альтернативне рішення
Зверніть увагу, що станеться, якщо ми використовуємо звичайний «порядок операцій» для оцінки виразу.
\[ \begin{aligned} 3 \cdot (12 - 8) = 3 \cdot 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parentheses first: } 12 - 8 = 4.} \\ = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 3 \cdot 4 = 12.} \end{aligned}\nonumber \]
Той же відповідь.
Вправа
Розподілити: 8 · (9 − 2).
- Відповідь
-
56
Вправи
У вправах 1-12 спростіть даний вираз.
1. 5+2 · 2
2. 5+2 · 8
3. 23 − 7 · 2
4. 37 − 3 · 7
5. 4 · 3+2 · 5
6. 2 · 5+9 · 7
7. 6 · 5+4 · 3
8. 5 · 2+9 · 8
9. 9+2 · 3
10. 3+6 · 6
11. 32 − 8 · 2
12. 24 − 2 · 5
У вправах 13-28 спростіть даний вираз.
13. 45 ÷ 3 · 5
14. 20 ÷ 1 · 4
15. 2 · 9 ÷ 3 · 18
16. 19 · 20 ÷ 4 · 16
17. 30 ÷ 2 · 3
18. 27 ÷ 3 · 3
19. 8 − 6+1
20. 15 − 5 + 10
21. 14 · 16 ÷ 16 · 19
22. 20 · 17 ÷ 17 · 14
23. 15 · 17 + 10 ÷ 10 − 12 · 4
24. 14 · 18 + 9 ÷ 3 − 7 · 13
25. 22 − 10 + 7
26. 29 − 11 + 1
27. 20 · 10 + 15 ÷ 5 − 7 · 6
28. 18 · 19 + 18 ÷ 18 − 6 · 7
У вправах 29-40 спростіть даний вираз.
29. 9+8 ÷ {4+4}
30. 10 + 20 ÷ {2+2}
31. 7 · [8 − 5] − 10
32. 11 · [12 − 4] − 10
33. (18 + 10) ÷ (2 + 2)
34. (14 + 7) ÷ (2 + 5)
35. 9 · (10 + 7) − 3 · (4 + 10)
36. 9 · (7 + 7) − 8 · (3 + 8)
37. 2 · {8 + 12} ÷ 4
38. 4 · {8+7} ÷ 3
39. 9+6 · (12 + 3)
40. 3+5 · (10 + 12)
У вправах 41-56 спростіть даний вираз.
41. 2+9 · [7 + 3 · (9 + 5)]
42. 6+3 · [4 + 4 · (5 + 8)]
43. 7+3 · [8 + 8 · (5 + 9)]
44. 4+9 · [7 + 6 · (3 + 3)]
45. 6 − 5 [11 − (2 + 8)]
46. 15 − 1 [19 − (7+ 3)]
47. 11 − 1 [19 − (2 + 15)]
48. 9 − 8 [6 − (2+ 3)]
49. 4 {7 [9 + 3] − 2 [3 + 2]}
50. 4 {8 [3 + 9] − 4 [6 + 2]}
51. 9 · [3 + 4 · (5 + 2)]
52. 3 · [4 + 9 · (8 + 5)]
53. 3 {8 [6 + 5] − 8 [7 + 3]}
54. 2 {4 [6 + 9] − 2 [3 + 4]}
55. 3 · [2 + 4 · (9 + 6)]
56. 8 · [3 + 9 · (5 + 2)]
У вправах 57-68 спростити даний вираз.
57. (5 − 2)
58. (5 − 34)
59. (4 + 2)
60. (3 + 52)
61. 2 3 + 3 3
62. 5 4 + 2 4
63. 2 3 − 1 3
64. 3 2 − 1 2
65. 12 · 5 2 + 8 · 9+4
66. 6 · 3 2 + 7 · 5 + 12
67. 9 − 3 · 2 + 12 · 10 2
68. 11 − 2 · 3 + 12 · 4 2
У вправах 69-80 спростіть даний вираз.
69. 4 2 − (13 + 2)
70. 3 − 3 − (7 + 6)
71. 3 − 3 − (7 + 12)
72. 4 3 − (6 + 5)
73. 19 + 3 [12 − (2 3 + 1)]
74. 13 + 12 [14 − (2 2 + 1)]
75. 17 + 7 [13 − (2 2 + 6)]
76. 10 + 1 [16 − (2 2 + 9)]
77. 4 3 − (12 + 1)
78. 5 3 − (17 + 15)
79. 5 + 7 [11 − (2 2 + 1)]
80. 10 + 11 [20 − (2 2 + 1)]
У вправах 81-92 спростіть даний вираз.
81. \( \frac{13+35}{3(4)}\)
82. \( \frac{35+28}{7(3)}\)
83. \( \frac{64-(8 \cdot 6-3)}{4 \cdot 7-9}\)
84. \( \frac{19-(4 \cdot 3-2)}{6 \cdot 3-9}\)
85. \(\frac{2+13}{4-1}\)
86. \( \frac{7+1}{8-4}\)
87. \( \frac{17+14}{9-8}\)
88. \( \frac{16+2}{13-11}\)
89. \( \frac{37+27}{8(2)}\)
90. \( \frac{16+38}{6(3)}\)
91. \( \frac{40-(3 \cdot 7-9)}{8 \cdot 2-2}\)
92. \( \frac{60-(8 \cdot 6-3)}{5 \cdot 4-5}\)
У вправах 93-100 використовуйте розподільну властивість для оцінки даного виразу.
93. 5 · (8 + 4)
94. 8 · (4 + 2)
95. 7 · (8 − 3)
96. 8 · (9 − 7)
97. 6 · (7 − 2)
98. 4 · (8 − 6)
99. 4 · (3 + 2)
100. 4 · (9 + 6)
У вправах 101-104 використовуйте розподільну властивість для оцінки даного виразу за допомогою методики, наведеної в прикладі 9.
101. 9 · 62
102. 3 · 76
103. 3 · 58
104. 7 · 57
Відповіді
1. 9
3. 9
5. 22
7. 42
9. 15
11. 16
13. 75
15. 108
17. 45
19. 3
21. 266
23. 208
25. 19
27. 161
29. 10
31. 11
33. 7
35. 111
37. 10
39. 99
41. 443
43. 367
45. 1
47. 9
49. 296
51. 279
53. 24
55. 186
57. 9
59. 36
61. 35
63. 7
65. 376
67. 1203
69. 1
71. 8
73. 28
75. 38
77. 51
79. 47
81. 4
83. 1
85. 5
87. 31
89. 4
91. 2
93. 60
95. 35
97. 30
99. 20
101. 558
103. 174
1 Пізніше ми побачимо, що ця властивість застосовується до всіх чисел, а не тільки до цілих чисел