1.5: Порядок операцій

Порядок, в якому ми оцінюємо вирази, може бути неоднозначним. Візьмемо для прикладу вираз 4 + 3 · 2. Якщо ми зробимо додавання спочатку, то

4+3 · 2=7 · 2

= 14.

З іншого боку, якщо ми спочатку зробимо множення, то

4+3 · 2=4+6

= 10.

Отже, що нам робити? Звичайно, угруповання символів може усунути неоднозначність

Угруповання символів

Для групування частин виразу можна використовувати дужки, дужки або фігурні дужки. Кожен з наступних рівнозначних:

(4 + 3) · 2 або [4 + 3] · 2 або {4+3} · 2

У кожному випадку правило полягає в тому, що «спочатку оцініть вираз всередині символів групування». Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.

Так, наприклад,

(4 + 3) · 2=7 · 2

= 14.

Зверніть увагу, як вираз, що міститься в дужках, оцінювався першим. Ще один спосіб уникнути неясностей при оцінці виразів - встановити порядок, в якому повинні виконуватися операції. Наступні рекомендації завжди повинні суворо виконуватися при оцінці виразів.

Правила, що керують порядком операцій

При оцінці виразів дійте в наступному порядку.

1. Спочатку оцініть вирази, що містяться в символах групування. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
2. Оцінити всі показники, які з'являються у виразі.
3. Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
4. Виконайте всі додавання і віднімання в

Приклад 1

Оцініть 4 + 3 · 2.

Рішення

Через встановлені Правила, що керують порядком операцій, цей вираз вже не є неоднозначним. Угруповання символів або експонентів немає, тому відразу переходимо до правила три, оцінюємо всі множення і ділення в тому порядку, в якому вони з'являються, рухаючись зліва направо. Після цього викликаємо правило четверте, виконуючи всі додавання і віднімання в тому порядку, в якому вони з'являються, рухаючись зліва направо.

$$\begin{aligned} 4+3 \dot 2=4+6 \\ = 10 \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, 4 + 3 · 2 = 10.

Вправа

Спрощення: 8 + 2 · 5.

Відповідь

18

Приклад 2

Оцініть 18 − 2 + 3.

Рішення

Дотримуйтесь правил, які керують порядком операцій. Додавання не має пріоритету перед відніманням, а також віднімання не має пріоритету над додаванням. Ми повинні виконувати додавання і віднімання в міру їх виникнення, рухаючись зліва направо.

$$\begin{aligned} 18 − 2 + 3 = 16 + 3 & \textcolor{red}{ \text{ Subtract: 18 − 2 = 16.}} \\ = 19 & \textcolor{red}{ \text{ Add: 16 + 3 = 19. }} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, 18 − 2 + 3 = 19.

Вправа

Спрощення: 17 − 8 + 2.

Відповідь

11

Приклад 3

Оцініть 54 ÷ 9 · 2.

Рішення

Дотримуйтесь правил, які керують порядком операцій. Ділення не має пріоритету над множенням, а також множення не має пріоритету над діленням. Ми повинні виконувати ділення і множення, як вони відбуваються, рухаючись зліва направо.

$$\begin{aligned} 54 \div 9 \cdot 2=6 \dot 2 & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 54 } \div \text{ 9 = 6. }} \\ = 12 & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: 6 } \cdot \text{ 2 = 12. }} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, 54 ÷ 9 · 2 = 12.

Вправа

Спрощення: 72 ÷ 9 · 2.

Відповідь

16

Приклад 4

Оцініть 2 · 3 ² − 12.

Рішення

Дотримуйтесь Правил Керівного Порядку операцій, спочатку показники, потім множення, потім віднімання.

$$\begin{aligned} 2 \cdot 3^2 - 12 = 2 \dot 9 - 12 & \textcolor{red}{ \text{ Evaluate the exponent: 3^2 = 9. }} \\ = 18 - 12 & \textcolor{red}{ \text{ Perform the multiplication: } 2 \cdot 9 = 18. } \\ = 6 & \textcolor{red}{ \text{ Perform the subtraction: } 18 - 12 = 6.} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, 2 · 3 ² − 12 = 6.

Вправа

Спрощення: 14 + 3 · 4 ²

Відповідь

62

Приклад 5

Оцініть 12 + 2 (3 + 2 · 5) ².

Рішення

Дотримуйтесь Правил Керівного Порядку операцій, спочатку оцініть вираз всередині дужок, потім показники, потім множення, потім додавання.

$$\begin{aligned} 12 + 2(3 + 5 \cdot 5 )^2 = 12 + 2(3 + 10)^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply inside parentheses: 2 } \cdot 5 = 10.} \\ = 12 + 2(13)^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add inside parentheses: } 3 + 10 = 13.} \\ = 12 + 2(169) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Exponents are next: } (13)^2 = 169.} \\ = 12 + 338 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiplication is next: } 2(169) = 338.} \\ = 350 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Time to add: } 12 + 338 = 350.} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, 12 + 2 (3 + 2 · 5) 2 = 350.

Вправа

Спрощення: 3 (2 + 3 · 4) ² − 11.

Відповідь

577

Приклад 6

Оцініть 2 {2 + 2 [2 + 2]}.

Рішення

Коли символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз між парою найпотаємніших символів групування.

$$\begin{aligned} 2( 2 + 2[2 + 2]) = 2(2 + 2[4]) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Innermost grouping first: } 2 + 2 = 4.} \\ = 2(2+8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply next: } 2[4] = 8.} \\ = 2(10) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add inside braces: } 2 + 8 = 10.} \\ = 20 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 2(10) = 20} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, 2 (2 + 2 [2 + 2]) = 20.

Вправа

Спрощення: 2 {3 + 2 [3 + 2]}.

Відповідь

26

Фракційні бари

Розглянемо вираз

$$\frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}\nonumber$$

Оскільки дробний бар означає поділ, вищевказаний вираз еквівалентний

$$\left(6^{2}+8^{2}\right) \div(2+3)^{2}\nonumber$$

Положення символів групування сигналізує про те, як ми повинні діяти далі. Слід спростити чисельник, потім знаменник, потім ділити.

Дробові вирази

Якщо присутній дробовий вираз, оцініть спочатку чисельник і знаменник, потім діліть.

Приклад 7

Оцініть вираз

$$\frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}.\nonumber$$

Рішення

Спростіть спочатку чисельник і знаменник, потім діліть.

$$\begin{aligned} \frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=\frac{6^{2}+8^{2}}{(5)^{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parentheses in denominator first: } 2 + 3 = 5} \\ = \frac{36+64}{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{Exponents are next: } 6^2 = 36,~ 8^2 = 64,~ 5^2 = 25.} \\ = \frac{100}{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add in numerator: } 36 + 64 = 100} \\ = 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 100 \div 25 = 4.} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином,$\frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=4$.

Вправа

Спростити:$\frac{12+3 \cdot 2}{6}$ Відповідь

3

Розподільна власність

Розглянемо вираз 2 · (3 + 4). Якщо ми дотримуємось «Правил, що керують порядком операцій», ми спочатку оцінимо вираз всередині дужок. 2 · (3 + 4) = 2 · 7 Дужки спочатку: 3 + 4 = 7. = 14 Множення: 2 · 7 = 14.

Однак ми також могли б вибрати «розподілити» 2, спочатку множивши 2 рази кожен додаток у дужках.

$$\begin{aligned} 2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply 2 times both 3 and 4.}} \\ = 6 + 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 2 \cdot 3 = 6 \text{ and } 2 \cdot 4 = 8.} \\ = 14 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 6 + 8 = 14.} \end{aligned}\nonumber$$

Те, що ми отримуємо однакову відповідь у другому підході, є ілюстрацією важливої властивості цілих чисел. ¹

Розподільна власність

Нехай a, b і c будуть будь-якими цілими числами. Потім,

а · (б + в) = а · б + а · с.

Ми говоримо, що «множення є розподільним щодо додавання».

Множення є розподільним щодо додавання. Якщо ви не обчислюєте добуток числа і суми чисел, розподільне властивість не застосовується.

Обережно! Неправильна відповідь попереду!

Якщо ви обчислюєте добуток числа і добуток двох чисел, розподільне властивість використовувати не слід. Наприклад, ось поширене неправильне застосування розподільного майна.

$$\begin{aligned} 2 \cdot (3 \cdot 4) = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 4) \\ = 6 \cdot 8 \\ = 48 \end{aligned}\nonumber$$

Цей результат досить далекий від правильної відповіді, який можна знайти, обчисливши твір в дужках першим.

$$\begin{aligned} 2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 \\ = 24. \end{aligned}\nonumber$$

Для того щоб застосувати розподільну властивість, необхідно множити на суму.

Приклад 8

Використовуйте розподільну властивість для обчислення 4 · (5 + 11).

Рішення

Це добуток числа і суми, тому може застосовуватися розподільне властивість.

$$\begin{aligned} 4 \cdot (5 + 11) = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 11 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 4 times addend in the sum.}} \\ = 20 + 44 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 4 \cdot 5 = 20 \text{ and } 4 \cdot 11 = 44.} \\ = 64 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 20 + 44 = 64.} \end{aligned}\nonumber$$

Читачі повинні перевірити, чи знайдено ту саму відповідь, спочатку обчисливши суму в дужках.

Вправа

Розподілити: 5 · (11 + 8).

Відповідь

95

Розподільна властивість є підставою алгоритму множення, вивченого в наші дитячі роки.

Приклад 9

Множення: 6 · 43.

Рішення

Ми висловимо 43 як суму, а потім використовувати розподільну властивість.

$$\begin{aligned} 6 \cdot 43 = 6 \cdot (40 + 3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Express 43 as a sum: } 43 = 40 + 3} \\ = 6 \cdot 40 + 6 \cdot 3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 6.}} \\ = 240 + 18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 6 \cdot 40 = 240 \text{ and } 6 \cdot 3 = 18.} \\ = 258 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 240 + 18 = 258.} \end{aligned}\nonumber$$

Читачі повинні мати можливість бачити це застосування розподільного властивості в більш звичному алгоритмічному вигляді:

$\begin{array}{r}{43} \\ { \times 6} \\ \hline 18 \\ {\frac{240}{258}}\end{array}$

Або в ще більш згущеному вигляді з «перенесенням:»

$\begin{array}{r}{^{1} 43} \\ {\frac{ \times 6}{258}}\end{array}$

Вправа

Використовуйте розподільну властивість для оцінки 8 · 92.

Відповідь

736

Множення також розподільне щодо віднімання.

Розподільна властивість (віднімання)

Нехай a, b і c будуть будь-якими цілими числами. Потім,

a · (b − c) = a · b − a · c.

Ми говоримо, що множення є «розподільним щодо віднімання».

приклад 10

Скористайтеся властивістю distributive для спрощення: 3 · (12 − 8).

Рішення

Це добуток числа і різниці, тому розподільне властивість може застосовуватися.

$$\begin{aligned} 3 \cdot (12 - 8) = 3 \cdot 12 - 3 \cdot 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 3 times each term in the difference.}} \\ = 36 - 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{Multiply: } 3 \cdot 12 = 36 \text{ and } 3 \cdot 8 = 24.} \\ = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{Subtract: } 36 - 24 = 12.} \end{aligned}\nonumber$$

альтернативне рішення

Зверніть увагу, що станеться, якщо ми використовуємо звичайний «порядок операцій» для оцінки виразу.

$$\begin{aligned} 3 \cdot (12 - 8) = 3 \cdot 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parentheses first: } 12 - 8 = 4.} \\ = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 3 \cdot 4 = 12.} \end{aligned}\nonumber$$

Той же відповідь.

Вправа

Розподілити: 8 · (9 − 2).

Відповідь

56

Вправи

У вправах 1-12 спростіть даний вираз.

1. 5+2 · 2

2. 5+2 · 8

3. 23 − 7 · 2

4. 37 − 3 · 7

5. 4 · 3+2 · 5

6. 2 · 5+9 · 7

7. 6 · 5+4 · 3

8. 5 · 2+9 · 8

9. 9+2 · 3

10. 3+6 · 6

11. 32 − 8 · 2

12. 24 − 2 · 5

---

У вправах 13-28 спростіть даний вираз.

13. 45 ÷ 3 · 5

14. 20 ÷ 1 · 4

15. 2 · 9 ÷ 3 · 18

16. 19 · 20 ÷ 4 · 16

17. 30 ÷ 2 · 3

18. 27 ÷ 3 · 3

19. 8 − 6+1

20. 15 − 5 + 10

21. 14 · 16 ÷ 16 · 19

22. 20 · 17 ÷ 17 · 14

23. 15 · 17 + 10 ÷ 10 − 12 · 4

24. 14 · 18 + 9 ÷ 3 − 7 · 13

25. 22 − 10 + 7

26. 29 − 11 + 1

27. 20 · 10 + 15 ÷ 5 − 7 · 6

28. 18 · 19 + 18 ÷ 18 − 6 · 7

---

У вправах 29-40 спростіть даний вираз.

29. 9+8 ÷ {4+4}

30. 10 + 20 ÷ {2+2}

31. 7 · [8 − 5] − 10

32. 11 · [12 − 4] − 10

33. (18 + 10) ÷ (2 + 2)

34. (14 + 7) ÷ (2 + 5)

35. 9 · (10 + 7) − 3 · (4 + 10)

36. 9 · (7 + 7) − 8 · (3 + 8)

37. 2 · {8 + 12} ÷ 4

38. 4 · {8+7} ÷ 3

39. 9+6 · (12 + 3)

40. 3+5 · (10 + 12)

---

У вправах 41-56 спростіть даний вираз.

41. 2+9 · [7 + 3 · (9 + 5)]

42. 6+3 · [4 + 4 · (5 + 8)]

43. 7+3 · [8 + 8 · (5 + 9)]

44. 4+9 · [7 + 6 · (3 + 3)]

45. 6 − 5 [11 − (2 + 8)]

46. 15 − 1 [19 − (7+ 3)]

47. 11 − 1 [19 − (2 + 15)]

48. 9 − 8 [6 − (2+ 3)]

49. 4 {7 [9 + 3] − 2 [3 + 2]}

50. 4 {8 [3 + 9] − 4 [6 + 2]}

51. 9 · [3 + 4 · (5 + 2)]

52. 3 · [4 + 9 · (8 + 5)]

53. 3 {8 [6 + 5] − 8 [7 + 3]}

54. 2 {4 [6 + 9] − 2 [3 + 4]}

55. 3 · [2 + 4 · (9 + 6)]

56. 8 · [3 + 9 · (5 + 2)]

---

У вправах 57-68 спростити даний вираз.

57. (5 − ²)

58. (5 − ³⁴)

59. (4 + ²)

60. (3 + ⁵²)

61. 2 ³ + 3 ³

62. 5 ⁴ + 2 ⁴

63. 2 ³ − 1 ³

64. 3 ² − 1 ²

65. 12 · 5 ² + 8 · 9+4

66. 6 · 3 ² + 7 · 5 + 12

67. 9 − 3 · 2 + 12 · 10 ²

68. 11 − 2 · 3 + 12 · 4 ²

---

У вправах 69-80 спростіть даний вираз.

69. 4 ² − (13 + 2)

70. 3 − ³ − (7 + 6)

71. 3 − ³ − (7 + 12)

72. 4 ³ − (6 + 5)

73. 19 + 3 [12 − (2 ³ + 1)]

74. 13 + 12 [14 − (2 ² + 1)]

75. 17 + 7 [13 − (2 ² + 6)]

76. 10 + 1 [16 − (2 ² + 9)]

77. 4 ³ − (12 + 1)

78. 5 ³ − (17 + 15)

79. 5 + 7 [11 − (2 ² + 1)]

80. 10 + 11 [20 − (2 ² + 1)]

---

У вправах 81-92 спростіть даний вираз.

81. $\frac{13+35}{3(4)}$

82. $\frac{35+28}{7(3)}$

83. $\frac{64-(8 \cdot 6-3)}{4 \cdot 7-9}$

84. $\frac{19-(4 \cdot 3-2)}{6 \cdot 3-9}$

85. $\frac{2+13}{4-1}$

86. $\frac{7+1}{8-4}$

87. $\frac{17+14}{9-8}$

88. $\frac{16+2}{13-11}$

89. $\frac{37+27}{8(2)}$

90. $\frac{16+38}{6(3)}$

91. $\frac{40-(3 \cdot 7-9)}{8 \cdot 2-2}$

92. $\frac{60-(8 \cdot 6-3)}{5 \cdot 4-5}$

---

У вправах 93-100 використовуйте розподільну властивість для оцінки даного виразу.

93. 5 · (8 + 4)

94. 8 · (4 + 2)

95. 7 · (8 − 3)

96. 8 · (9 − 7)

97. 6 · (7 − 2)

98. 4 · (8 − 6)

99. 4 · (3 + 2)

100. 4 · (9 + 6)

---

У вправах 101-104 використовуйте розподільну властивість для оцінки даного виразу за допомогою методики, наведеної в прикладі 9.

101. 9 · 62

102. 3 · 76

103. 3 · 58

104. 7 · 57

Відповіді

1. 9

3. 9

5. 22

7. 42

9. 15

11. 16

13. 75

15. 108

17. 45

19. 3

21. 266

23. 208

25. 19

27. 161

29. 10

31. 11

33. 7

35. 111

37. 10

39. 99

41. 443

43. 367

45. 1

47. 9

49. 296

51. 279

53. 24

55. 186

57. 9

59. 36

61. 35

63. 7

65. 376

67. 1203

69. 1

71. 8

73. 28

75. 38

77. 51

79. 47

81. 4

83. 1

85. 5

87. 31

89. 4

91. 2

93. 60

95. 35

97. 30

99. 20

101. 558

103. 174

---

¹ Пізніше ми побачимо, що ця властивість застосовується до всіх чисел, а не тільки до цілих чисел