Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.5: Порядок операцій

  • Page ID
    57240
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Порядок, в якому ми оцінюємо вирази, може бути неоднозначним. Візьмемо для прикладу вираз 4 + 3 · 2. Якщо ми зробимо додавання спочатку, то

    4+3 · 2=7 · 2

    = 14.

    З іншого боку, якщо ми спочатку зробимо множення, то

    4+3 · 2=4+6

    = 10.

    Отже, що нам робити? Звичайно, угруповання символів може усунути неоднозначність

    Угруповання символів

    Для групування частин виразу можна використовувати дужки, дужки або фігурні дужки. Кожен з наступних рівнозначних:

    (4 + 3) · 2 або [4 + 3] · 2 або {4+3} · 2

    У кожному випадку правило полягає в тому, що «спочатку оцініть вираз всередині символів групування». Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.

    Так, наприклад,

    (4 + 3) · 2=7 · 2

    = 14.

    Зверніть увагу, як вираз, що міститься в дужках, оцінювався першим. Ще один спосіб уникнути неясностей при оцінці виразів - встановити порядок, в якому повинні виконуватися операції. Наступні рекомендації завжди повинні суворо виконуватися при оцінці виразів.

    Правила, що керують порядком операцій

    При оцінці виразів дійте в наступному порядку.

    1. Спочатку оцініть вирази, що містяться в символах групування. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
    2. Оцінити всі показники, які з'являються у виразі.
    3. Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
    4. Виконайте всі додавання і віднімання в

    Приклад 1

    Оцініть 4 + 3 · 2.

    Рішення

    Через встановлені Правила, що керують порядком операцій, цей вираз вже не є неоднозначним. Угруповання символів або експонентів немає, тому відразу переходимо до правила три, оцінюємо всі множення і ділення в тому порядку, в якому вони з'являються, рухаючись зліва направо. Після цього викликаємо правило четверте, виконуючи всі додавання і віднімання в тому порядку, в якому вони з'являються, рухаючись зліва направо.

    \[ \begin{aligned} 4+3 \dot 2=4+6 \\ = 10 \end{aligned}\nonumber \]

    Таким чином, 4 + 3 · 2 = 10.

    Вправа

    Спрощення: 8 + 2 · 5.

    Відповідь

    18

    Приклад 2

    Оцініть 18 − 2 + 3.

    Рішення

    Дотримуйтесь правил, які керують порядком операцій. Додавання не має пріоритету перед відніманням, а також віднімання не має пріоритету над додаванням. Ми повинні виконувати додавання і віднімання в міру їх виникнення, рухаючись зліва направо.

    \[ \begin{aligned} 18 − 2 + 3 = 16 + 3 & \textcolor{red}{ \text{ Subtract: 18 − 2 = 16.}} \\ = 19 & \textcolor{red}{ \text{ Add: 16 + 3 = 19. }} \end{aligned}\nonumber \]

    Таким чином, 18 − 2 + 3 = 19.

    Вправа

    Спрощення: 17 − 8 + 2.

    Відповідь

    11

    Приклад 3

    Оцініть 54 ÷ 9 · 2.

    Рішення

    Дотримуйтесь правил, які керують порядком операцій. Ділення не має пріоритету над множенням, а також множення не має пріоритету над діленням. Ми повинні виконувати ділення і множення, як вони відбуваються, рухаючись зліва направо.

    \[ \begin{aligned} 54 \div 9 \cdot 2=6 \dot 2 & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 54 } \div \text{ 9 = 6. }} \\ = 12 & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: 6 } \cdot \text{ 2 = 12. }} \end{aligned}\nonumber \]

    Таким чином, 54 ÷ 9 · 2 = 12.

    Вправа

    Спрощення: 72 ÷ 9 · 2.

    Відповідь

    16

    Приклад 4

    Оцініть 2 · 3 2 − 12.

    Рішення

    Дотримуйтесь Правил Керівного Порядку операцій, спочатку показники, потім множення, потім віднімання.

    \[ \begin{aligned} 2 \cdot 3^2 - 12 = 2 \dot 9 - 12 & \textcolor{red}{ \text{ Evaluate the exponent: 3^2 = 9. }} \\ = 18 - 12 & \textcolor{red}{ \text{ Perform the multiplication: } 2 \cdot 9 = 18. } \\ = 6 & \textcolor{red}{ \text{ Perform the subtraction: } 18 - 12 = 6.} \end{aligned}\nonumber \]

    Таким чином, 2 · 3 2 − 12 = 6.

    Вправа

    Спрощення: 14 + 3 · 4 2

    Відповідь

    62

    Приклад 5

    Оцініть 12 + 2 (3 + 2 · 5) 2.

    Рішення

    Дотримуйтесь Правил Керівного Порядку операцій, спочатку оцініть вираз всередині дужок, потім показники, потім множення, потім додавання.

    \[ \begin{aligned} 12 + 2(3 + 5 \cdot 5 )^2 = 12 + 2(3 + 10)^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply inside parentheses: 2 } \cdot 5 = 10.} \\ = 12 + 2(13)^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add inside parentheses: } 3 + 10 = 13.} \\ = 12 + 2(169) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Exponents are next: } (13)^2 = 169.} \\ = 12 + 338 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiplication is next: } 2(169) = 338.} \\ = 350 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Time to add: } 12 + 338 = 350.} \end{aligned}\nonumber \]

    Таким чином, 12 + 2 (3 + 2 · 5) 2 = 350.

    Вправа

    Спрощення: 3 (2 + 3 · 4) 2 − 11.

    Відповідь

    577

    Приклад 6

    Оцініть 2 {2 + 2 [2 + 2]}.

    Рішення

    Коли символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз між парою найпотаємніших символів групування.

    \[ \begin{aligned} 2( 2 + 2[2 + 2]) = 2(2 + 2[4]) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Innermost grouping first: } 2 + 2 = 4.} \\ = 2(2+8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply next: } 2[4] = 8.} \\ = 2(10) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add inside braces: } 2 + 8 = 10.} \\ = 20 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 2(10) = 20} \end{aligned}\nonumber \]

    Таким чином, 2 (2 + 2 [2 + 2]) = 20.

    Вправа

    Спрощення: 2 {3 + 2 [3 + 2]}.

    Відповідь

    26

    Фракційні бари

    Розглянемо вираз

    \[ \frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}\nonumber \]

    Оскільки дробний бар означає поділ, вищевказаний вираз еквівалентний

    \[\left(6^{2}+8^{2}\right) \div(2+3)^{2}\nonumber \]

    Положення символів групування сигналізує про те, як ми повинні діяти далі. Слід спростити чисельник, потім знаменник, потім ділити.

    Дробові вирази

    Якщо присутній дробовий вираз, оцініть спочатку чисельник і знаменник, потім діліть.

    Приклад 7

    Оцініть вираз

    \[ \frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}.\nonumber \]

    Рішення

    Спростіть спочатку чисельник і знаменник, потім діліть.

    \[ \begin{aligned} \frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=\frac{6^{2}+8^{2}}{(5)^{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parentheses in denominator first: } 2 + 3 = 5} \\ = \frac{36+64}{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{Exponents are next: } 6^2 = 36,~ 8^2 = 64,~ 5^2 = 25.} \\ = \frac{100}{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add in numerator: } 36 + 64 = 100} \\ = 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 100 \div 25 = 4.} \end{aligned}\nonumber \]

    Таким чином,\(\frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=4\).

    Вправа

    Спростити:\(\frac{12+3 \cdot 2}{6}\) Відповідь

    3

    Розподільна власність

    Розглянемо вираз 2 · (3 + 4). Якщо ми дотримуємось «Правил, що керують порядком операцій», ми спочатку оцінимо вираз всередині дужок. 2 · (3 + 4) = 2 · 7 Дужки спочатку: 3 + 4 = 7. = 14 Множення: 2 · 7 = 14.

    Однак ми також могли б вибрати «розподілити» 2, спочатку множивши 2 рази кожен додаток у дужках.

    \[ \begin{aligned} 2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply 2 times both 3 and 4.}} \\ = 6 + 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 2 \cdot 3 = 6 \text{ and } 2 \cdot 4 = 8.} \\ = 14 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 6 + 8 = 14.} \end{aligned}\nonumber \]

    Те, що ми отримуємо однакову відповідь у другому підході, є ілюстрацією важливої властивості цілих чисел. 1

    Розподільна власність

    Нехай a, b і c будуть будь-якими цілими числами. Потім,

    а · (б + в) = а · б + а · с.

    Ми говоримо, що «множення є розподільним щодо додавання».

    Множення є розподільним щодо додавання. Якщо ви не обчислюєте добуток числа і суми чисел, розподільне властивість не застосовується.

    Обережно! Неправильна відповідь попереду!

    Якщо ви обчислюєте добуток числа і добуток двох чисел, розподільне властивість використовувати не слід. Наприклад, ось поширене неправильне застосування розподільного майна.

    \[ \begin{aligned} 2 \cdot (3 \cdot 4) = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 4) \\ = 6 \cdot 8 \\ = 48 \end{aligned}\nonumber \]

    Цей результат досить далекий від правильної відповіді, який можна знайти, обчисливши твір в дужках першим.

    \[ \begin{aligned} 2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 \\ = 24. \end{aligned}\nonumber \]

    Для того щоб застосувати розподільну властивість, необхідно множити на суму.

    Приклад 8

    Використовуйте розподільну властивість для обчислення 4 · (5 + 11).

    Рішення

    Це добуток числа і суми, тому може застосовуватися розподільне властивість.

    \[ \begin{aligned} 4 \cdot (5 + 11) = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 11 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 4 times addend in the sum.}} \\ = 20 + 44 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 4 \cdot 5 = 20 \text{ and } 4 \cdot 11 = 44.} \\ = 64 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 20 + 44 = 64.} \end{aligned}\nonumber \]

    Читачі повинні перевірити, чи знайдено ту саму відповідь, спочатку обчисливши суму в дужках.

    Вправа

    Розподілити: 5 · (11 + 8).

    Відповідь

    95

    Розподільна властивість є підставою алгоритму множення, вивченого в наші дитячі роки.

    Приклад 9

    Множення: 6 · 43.

    Рішення

    Ми висловимо 43 як суму, а потім використовувати розподільну властивість.

    \[ \begin{aligned} 6 \cdot 43 = 6 \cdot (40 + 3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Express 43 as a sum: } 43 = 40 + 3} \\ = 6 \cdot 40 + 6 \cdot 3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 6.}} \\ = 240 + 18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 6 \cdot 40 = 240 \text{ and } 6 \cdot 3 = 18.} \\ = 258 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 240 + 18 = 258.} \end{aligned}\nonumber \]

    Читачі повинні мати можливість бачити це застосування розподільного властивості в більш звичному алгоритмічному вигляді:

    \( \begin{array}{r}{43} \\ { \times 6} \\ \hline 18 \\ {\frac{240}{258}}\end{array}\)

    Або в ще більш згущеному вигляді з «перенесенням:»

    \( \begin{array}{r}{^{1} 43} \\ {\frac{ \times 6}{258}}\end{array}\)

    Вправа

    Використовуйте розподільну властивість для оцінки 8 · 92.

    Відповідь

    736

    Множення також розподільне щодо віднімання.

    Розподільна властивість (віднімання)

    Нехай a, b і c будуть будь-якими цілими числами. Потім,

    a · (bc) = a · ba · c.

    Ми говоримо, що множення є «розподільним щодо віднімання».

    приклад 10

    Скористайтеся властивістю distributive для спрощення: 3 · (12 − 8).

    Рішення

    Це добуток числа і різниці, тому розподільне властивість може застосовуватися.

    \[ \begin{aligned} 3 \cdot (12 - 8) = 3 \cdot 12 - 3 \cdot 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the 3 times each term in the difference.}} \\ = 36 - 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{Multiply: } 3 \cdot 12 = 36 \text{ and } 3 \cdot 8 = 24.} \\ = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{Subtract: } 36 - 24 = 12.} \end{aligned}\nonumber \]

    альтернативне рішення

    Зверніть увагу, що станеться, якщо ми використовуємо звичайний «порядок операцій» для оцінки виразу.

    \[ \begin{aligned} 3 \cdot (12 - 8) = 3 \cdot 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parentheses first: } 12 - 8 = 4.} \\ = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 3 \cdot 4 = 12.} \end{aligned}\nonumber \]

    Той же відповідь.

    Вправа

    Розподілити: 8 · (9 − 2).

    Відповідь

    56

    Вправи

    У вправах 1-12 спростіть даний вираз.

    1. 5+2 · 2

    2. 5+2 · 8

    3. 23 − 7 · 2

    4. 37 − 3 · 7

    5. 4 · 3+2 · 5

    6. 2 · 5+9 · 7

    7. 6 · 5+4 · 3

    8. 5 · 2+9 · 8

    9. 9+2 · 3

    10. 3+6 · 6

    11. 32 − 8 · 2

    12. 24 − 2 · 5


    У вправах 13-28 спростіть даний вираз.

    13. 45 ÷ 3 · 5

    14. 20 ÷ 1 · 4

    15. 2 · 9 ÷ 3 · 18

    16. 19 · 20 ÷ 4 · 16

    17. 30 ÷ 2 · 3

    18. 27 ÷ 3 · 3

    19. 8 − 6+1

    20. 15 − 5 + 10

    21. 14 · 16 ÷ 16 · 19

    22. 20 · 17 ÷ 17 · 14

    23. 15 · 17 + 10 ÷ 10 − 12 · 4

    24. 14 · 18 + 9 ÷ 3 − 7 · 13

    25. 22 − 10 + 7

    26. 29 − 11 + 1

    27. 20 · 10 + 15 ÷ 5 − 7 · 6

    28. 18 · 19 + 18 ÷ 18 − 6 · 7


    У вправах 29-40 спростіть даний вираз.

    29. 9+8 ÷ {4+4}

    30. 10 + 20 ÷ {2+2}

    31. 7 · [8 − 5] − 10

    32. 11 · [12 − 4] − 10

    33. (18 + 10) ÷ (2 + 2)

    34. (14 + 7) ÷ (2 + 5)

    35. 9 · (10 + 7) − 3 · (4 + 10)

    36. 9 · (7 + 7) − 8 · (3 + 8)

    37. 2 · {8 + 12} ÷ 4

    38. 4 · {8+7} ÷ 3

    39. 9+6 · (12 + 3)

    40. 3+5 · (10 + 12)


    У вправах 41-56 спростіть даний вираз.

    41. 2+9 · [7 + 3 · (9 + 5)]

    42. 6+3 · [4 + 4 · (5 + 8)]

    43. 7+3 · [8 + 8 · (5 + 9)]

    44. 4+9 · [7 + 6 · (3 + 3)]

    45. 6 − 5 [11 − (2 + 8)]

    46. 15 − 1 [19 − (7+ 3)]

    47. 11 − 1 [19 − (2 + 15)]

    48. 9 − 8 [6 − (2+ 3)]

    49. 4 {7 [9 + 3] − 2 [3 + 2]}

    50. 4 {8 [3 + 9] − 4 [6 + 2]}

    51. 9 · [3 + 4 · (5 + 2)]

    52. 3 · [4 + 9 · (8 + 5)]

    53. 3 {8 [6 + 5] − 8 [7 + 3]}

    54. 2 {4 [6 + 9] − 2 [3 + 4]}

    55. 3 · [2 + 4 · (9 + 6)]

    56. 8 · [3 + 9 · (5 + 2)]


    У вправах 57-68 спростити даний вираз.

    57. (5 − 2)

    58. (5 − 34)

    59. (4 + 2)

    60. (3 + 52)

    61. 2 3 + 3 3

    62. 5 4 + 2 4

    63. 2 3 − 1 3

    64. 3 2 − 1 2

    65. 12 · 5 2 + 8 · 9+4

    66. 6 · 3 2 + 7 · 5 + 12

    67. 9 − 3 · 2 + 12 · 10 2

    68. 11 − 2 · 3 + 12 · 4 2


    У вправах 69-80 спростіть даний вираз.

    69. 4 2 − (13 + 2)

    70. 3 − 3 − (7 + 6)

    71. 3 − 3 − (7 + 12)

    72. 4 3 − (6 + 5)

    73. 19 + 3 [12 − (2 3 + 1)]

    74. 13 + 12 [14 − (2 2 + 1)]

    75. 17 + 7 [13 − (2 2 + 6)]

    76. 10 + 1 [16 − (2 2 + 9)]

    77. 4 3 − (12 + 1)

    78. 5 3 − (17 + 15)

    79. 5 + 7 [11 − (2 2 + 1)]

    80. 10 + 11 [20 − (2 2 + 1)]


    У вправах 81-92 спростіть даний вираз.

    81. \( \frac{13+35}{3(4)}\)

    82. \( \frac{35+28}{7(3)}\)

    83. \( \frac{64-(8 \cdot 6-3)}{4 \cdot 7-9}\)

    84. \( \frac{19-(4 \cdot 3-2)}{6 \cdot 3-9}\)

    85. \(\frac{2+13}{4-1}\)

    86. \( \frac{7+1}{8-4}\)

    87. \( \frac{17+14}{9-8}\)

    88. \( \frac{16+2}{13-11}\)

    89. \( \frac{37+27}{8(2)}\)

    90. \( \frac{16+38}{6(3)}\)

    91. \( \frac{40-(3 \cdot 7-9)}{8 \cdot 2-2}\)

    92. \( \frac{60-(8 \cdot 6-3)}{5 \cdot 4-5}\)


    У вправах 93-100 використовуйте розподільну властивість для оцінки даного виразу.

    93. 5 · (8 + 4)

    94. 8 · (4 + 2)

    95. 7 · (8 − 3)

    96. 8 · (9 − 7)

    97. 6 · (7 − 2)

    98. 4 · (8 − 6)

    99. 4 · (3 + 2)

    100. 4 · (9 + 6)


    У вправах 101-104 використовуйте розподільну властивість для оцінки даного виразу за допомогою методики, наведеної в прикладі 9.

    101. 9 · 62

    102. 3 · 76

    103. 3 · 58

    104. 7 · 57

    Відповіді

    1. 9

    3. 9

    5. 22

    7. 42

    9. 15

    11. 16

    13. 75

    15. 108

    17. 45

    19. 3

    21. 266

    23. 208

    25. 19

    27. 161

    29. 10

    31. 11

    33. 7

    35. 111

    37. 10

    39. 99

    41. 443

    43. 367

    45. 1

    47. 9

    49. 296

    51. 279

    53. 24

    55. 186

    57. 9

    59. 36

    61. 35

    63. 7

    65. 376

    67. 1203

    69. 1

    71. 8

    73. 28

    75. 38

    77. 51

    79. 47

    81. 4

    83. 1

    85. 5

    87. 31

    89. 4

    91. 2

    93. 60

    95. 35

    97. 30

    99. 20

    101. 558

    103. 174


    1 Пізніше ми побачимо, що ця властивість застосовується до всіх чисел, а не тільки до цілих чисел