11.1: Фіксовані точки та стабільність

11.1.1. Один вимір

Переглянути підручник на YouTube

Розглянемо одновимірне диференціальне рівняння для\(x=x(t)\) заданого

\[\dot{x}=f(x) . \nonumber \]

Ми говоримо, що\(x_{*}\) це фіксована точка, або точка рівноваги, Рівняння\ ref {11.1} if\(f\left(x_{*}\right)=0\). У нерухомій точці,\(\dot{x}=0\). Термінологія фіксована точка використовується, оскільки розв'язання Equation\ ref {11.1} з початковою умовою\(x(0)=x_{*}\) є\(x(t)=x_{*}\) для всіх часів\(t\).

Фіксована точка, однак, може бути стабільною або нестабільною. Фіксована точка, як кажуть, стабільна, якщо невелика збуреність розчину з фіксованої точки розпадається в часі; кажуть, що вона нестабільна, якщо невелика збуреність зростає з часом. Визначити стійкість можна за допомогою лінійного аналізу. \(x=x_{*}+\epsilon(t)\)Дозволяти, де\(\epsilon\) являє собою невелике збурення розчину з нерухомої точки\(x_{*}\). Тому що\(x_{*}\) є постійною,\(\dot{x}=\dot{\epsilon}\) і тому що\(x_{*}\) є фіксованою точкою,\(f\left(x_{*}\right)=0\). Серія Тейлора розширюється\(\epsilon=0\), у нас є

\[\begin{aligned} \dot{\epsilon} &=f\left(x_{*}+\epsilon\right) \\ &=f\left(x_{*}\right)+\epsilon f^{\prime}\left(x_{*}\right)+\ldots \\ &=\epsilon f^{\prime}\left(x_{*}\right)+\ldots \end{aligned} \nonumber \]

Опущені терміни в розширенні серії Тейлора\(\epsilon^{2}\) пропорційні і можуть бути зроблені незначними протягом короткого інтервалу часу щодо збереженого терміну, пропорційного\(\epsilon\), взявши\(\epsilon(0)\) досить малі. Тому, принаймні протягом короткого часу, диференціальне рівняння, яке слід розглядати\(\dot{\epsilon}=f^{\prime}\left(x_{*}\right) \epsilon\), є лінійним і на сьогоднішній день має звичне рішення.

\[\epsilon(t)=\epsilon(0) e^{f^{\prime}\left(x_{*}\right) t} \nonumber \]

Збурення рішення фіксованої точки\(x(t)=x_{*}\) таким чином розпадається експоненціально\(f^{\prime}\left(x_{*}\right)<0\), якщо, і ми говоримо, що фіксована точка стабільна. Якщо\(f^{\prime}\left(x_{*}\right)>0\), збурень зростає експоненціально, і ми говоримо, що фіксована точка нестабільна. Якщо\(f^{\prime}\left(x_{*}\right)=0\), ми говоримо, що фіксована точка є незначно стабільною, і слід враховувати наступний термін вищого порядку в розширенні серії Тейлора. Приклад: Знайти всі фіксовані точки логістичного рівняння\(\dot{x}=x(1-x)\) і визначити їх стійкість.

Є дві нерухомі точки, в яких\(\dot{x}=0\), дається\(x_{*}=0\) і\(x_{*}=1\). Стабільність цих точок рівноваги може бути визначена шляхом розгляду похідної від\(f(x)=x(1-x)\). У нас є\(f^{\prime}(x)=1-2 x\). Тому\(f^{\prime}(0)=1>0\) так, що\(x_{*}=0\) це нестабільна фіксована точка, і\(f^{\prime}(1)=-1<0\) так, що\(x_{*}=1\) є стабільною фіксованою точкою. Дійсно, ми раніше виявили, що всі розв'язки асимптотично наближаються до стабільної фіксованої точки.

11.1.2. Два виміри

Переглянути підручник на YouTube

Ідея фіксованих точок і стійкості може бути поширена на системи од вищого порядку. Тут ми розглянемо двовимірну систему і потрібно буде використовувати двовимірне розширення рядів Тейлора функції\(F(x, y)\) про походження. Загалом, серія Тейлора\(F(x, y)\) дається

\[F(x, y)=F+x \frac{\partial F}{\partial x}+y \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{1}{2}\left(x^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}\right)+\ldots, \nonumber \]

де функція\(F\) та всі її часткові похідні з правого боку оцінюються за початком. Зверніть увагу, що серія Тейлора побудована таким чином, що всі часткові похідні лівої сторони збігаються з тими, що знаходяться праворуч у початку.

Малюнок 11.1: Графік фазового простору для двовимірної нелінійної системи.

Матриця два на два в Equation\ ref {11.3} називається якобійською матрицею у фіксованій точці. Аналіз власних значень якобійської матриці зазвичай дає два власні значення\(\lambda_{1}\) і\(\lambda_{2}\). Ці власні значення можуть бути дійсними і різними, складними сполученими парами або повторюваними. Фіксована точка є стабільною (всі збурені розпадаються експоненціально), якщо обидва власні значення мають негативні дійсні частини. Фіксована точка нестабільна (деякі збурення зростають експоненціально), якщо хоча б одне з власних значень має позитивну дійсну частину. Фіксовані точки можна додатково класифікувати як стабільні або нестабільні вузли, нестабільні точки сідла, стабільні або нестабільні спіральні точки або стабільні або нестабільні неправильні вузли

Приклад: Знайти всі нерухомі точки нелінійної системи\(\dot{x}=x(3-x-2 y)\)\(\dot{y}=y(2-x-y)\), і визначити їх стійкість.

Переглянути підручник на YouTube

Фіксовані точки визначаються шляхом розв'язання

\[f(x, y)=x(3-x-2 y)=0, \quad g(x, y)=y(2-x-y)=0 \nonumber \]

Очевидно,\((x, y)=(0,0)\) це фіксована точка. З одного боку, якщо тільки\(x=0\), то рівняння\(g(x, y)=0\) дає\(y=2\). З іншого боку, якщо тільки\(y=0\), то рівняння\(f(x, y)=0\) дає\(x=3\). Якщо обидва\(x\) і\(y\) ненульові, то ми повинні вирішити лінійну систему

\[x+2 y=3, \quad x+y=2 \text {, } \nonumber \]

і рішення легко знайти\((x, y)=(1,1)\). Отже, ми визначили чотири фіксовані точки\(\left(x_{*}, y_{*}\right)=(0,0),(0,2),(3,0),(1,1)\). Якобійська матриця задається

\[\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 3-2 x-2 y & -2 x \\ -y & 2-x-2 y \end{array}\right) . \nonumber \]

Стабільність закріплених точок можна розглядати по черзі. З\(J_{*}\) якобійською матрицею, оціненою у фіксованій точці, ми маємо

\[\left(x_{*}, y_{*}\right)=(0,0): \quad J_{*}=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \nonumber \]

Власні значення\(J_{*}\) є\(\lambda=3,2\) таким чином, що фіксована точка\((0,0)\) є нестійким вузлом. Далі,

\[\left(x_{*}, y_{*}\right)=(0,2): \quad \mathrm{J}_{*}=\left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ -2 & -2 \end{array}\right) . \nonumber \]

Власні значення\(\mathrm{J}_{*}\) є\(\lambda=-1,-2\) таким чином, що фіксована точка\((0,2)\) є стійким вузлом. Далі,

\[\left(x_{*}, y_{*}\right)=(3,0): \quad J_{*}=\left(\begin{array}{rr} -3 & -6 \\ 0 & -1 \end{array}\right) \text {. } \nonumber \]

Власні значення\(J_{*}\) є\(\lambda=-3,-1\) таким чином, що фіксована точка також\((3,0)\) є стабільним вузлом. Нарешті,

\[\left(x_{*}, y_{*}\right)=(1,1): \quad J_{*}=\left(\begin{array}{ll} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array}\right) \text {. } \nonumber \]

Характерне рівняння\(\mathrm{J}_{*}\) задається\((-1-\lambda)^{2}-2=0\) тим, що\(\lambda=-1 \pm \sqrt{2}\). Оскільки одне власне значення від'ємне, а інше додатне, фіксована точка\((1,1)\) є нестійкою точкою сідла. З нашого аналізу фіксованих точок можна очікувати, що всі розв'язки будуть асимптотами до однієї зі стійких фіксованих точок\((0,2)\) або\((3,0)\), залежно від початкових умов.

Цікаво намалювати діаграму фазового простору для цієї нелінійної системи. Власні вектори, пов'язані з нестійкою точкою сідла,\((1,1)\) визначають напрямки потоку в цю нерухому точку і від неї. Власний вектор, пов'язаний з додатним власним значенням,\(\lambda_{1}=-1+\sqrt{2}\) можна визначити з першого рівняння\(\left(\mathrm{J}_{*}-\lambda_{1} \mathrm{I}\right) \mathrm{V}_{1}=0\), або

\[-\sqrt{2} v_{11}-2 v_{12}=0 \nonumber \]

так що\(v_{12}=-(\sqrt{2} / 2) v_{11}\). Власний вектор, пов'язаний з від'ємним власним значенням,\(\lambda_{1}=-1-\sqrt{2}\) задовольняє\(v_{22}=(\sqrt{2} / 2) v_{21}\). Власні вектори дають нахил ліній з початком у фіксованій точці для вхідних (від'ємне власне значення) та вихідних (додатне власне значення) траєкторій. Вихідні траєкторії мають негативний нахил,\(-\sqrt{2} / 2\) а вхідні траєкторії мають позитивний нахил\(\sqrt{2} / 2\). Грубий ескіз діаграми фазового простору можна зробити своїми руками (як продемонстровано на заняттях). Тут сформований комп'ютером графік, отриманий з числового розв'язку нелінійних зв'язаних од, представлений на рис.11.1. Крива, що починається від початку і на нескінченності і закінчується в нестійкій точці сідла, називається сепаратрикс. Ця крива розділяє фазовий простір на дві області: початкові умови, для яких розв'язок асимптотизується до фіксованої точки\((0,2)\), і початкові умови, для яких розв'язок асимптотизується до фіксованої точки\((3,0)\).