7: Еліптичні рівняння другого порядку

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61866

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Тут розглядаються лінійні еліптичні рівняння другого порядку, переважно рівняння Лапласа

$$\ трикутник u=0.\]

Розв'язки рівняння Лапласа називаються потенційними функціями або гармонічними функціями. Рівняння Лапласа називається також рівнянням потенціалу. Загальне еліптичне рівняння для скалярної функції$u(x)$$x\in\Omega\subset\mathbb{R}^n$,

$Лу: =\ сума_ {i, j=1} ^na^ {ij} (х) u_ {x_ix_j} +\ сума {j=1} ^n b^j (x) u_ {x_j} +c (x) u=f (x),\]

де$A=(a^{ij})$ матриця дійсна, симетрична і позитивна визначена. Якщо$A$ є постійною матрицею, то перетворення на головну вісь і розтягнення осі призводить до

$\ сума_ {i, j=1} ^na^ {ij} u_ {x_ix_j} =\ трикутник v,\]

де$v(y):=u(Ty)$,$T$ позначає вищевказану композицію відображень.