7: Еліптичні рівняння другого порядку

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.E: Параболічні рівняння (вправи)
- 7.1: Фундаментальне рішення

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Тут розглядаються лінійні еліптичні рівняння другого порядку, переважно рівняння Лапласа

$$\ трикутник u=0.\]

Розв'язки рівняння Лапласа називаються потенційними функціями або гармонічними функціями. Рівняння Лапласа називається також рівнянням потенціалу. Загальне еліптичне рівняння для скалярної функції $u(x)$ $x\in\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ,

$Лу: =\ сума_ {i, j=1} ^na^ {ij} (х) u_ {x_ix_j} +\ сума {j=1} ^n b^j (x) u_ {x_j} +c (x) u=f (x),\]

де $A=(a^{ij})$ матриця дійсна, симетрична і позитивна визначена. Якщо $A$ є постійною матрицею, то перетворення на головну вісь і розтягнення осі призводить до

$\ сума_ {i, j=1} ^na^ {ij} u_ {x_ix_j} =\ трикутник v,\]

де $v(y):=u(Ty)$ , $T$ позначає вищевказану композицію відображень.

Topic hierarchy