7.1: Фундаментальне рішення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61883

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Тут розглядаються окремі розв'язки рівняння$\mathbb{R}^n$ Лапласа в типу

$ $ у (х) =ф (|x-y|),\]

де$y\in\mathbb{R}^n$ фіксована і$f$ є функцією, яку ми визначимо таку, що$u$ визначає рішення рівняння Лапласа.

Встановити$r=|x-y|$, потім

\ begin {екнаррай*}
u_ {x_i} &=&f' (r)\ frac {x_i-y_i} {r}\\
u_ {x_ix_i} &=&f "(r)\ frac {(x_i-y_i) ^2} {r^2} +f '(r)\ лівий (\ frac {1} {r} -\ frac {(x_i-y_i) ^2} {r^3}\ право)\
\ трикутник u&=&f" (r) +\ frac {n-1} {r} f' (r).
\ end {еканаррей*}

Таким чином, рішення$\triangle u=0$ задається

$ $f (r) =\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r@ {\ qua d:\quad} л}
c_1\ ln r+c_2&n=2\
c_1r^ {2-n} +c_2&n\ ge3
\ end {масив}\ праворуч.\]

з константами$c_1$,$c_2$.

Визначення. Набір$r=|x-y|$. Функція

$
s (r) :=\ лівий\ {\ почати {масив} {r@ {\ qua d:\quad} л}
-\ frac {1} {2\ пі}\ ln r&n = 2\\
\ розриву {r^ {2-n}} {(n-2)\ omega_n} &n\ ge3
\ кінець {масив}\ праворуч.
\]

називається функцією сингулярності, пов'язаною з рівнянням Лапласа. Ось$\omega_n$ площа n-вимірної одиничної сфери, яка задається$\omega_n=2\pi^{n/2}/\Gamma(n/2)$, де

$$\ Гамма (t) :=\ int_0^\ infty\ e^ {-\ rho}\ rho^ {t-1}\ d\ rho,\\ t>0,\]

є гамма-функцією.

Визначення. Функція

$\ гамма (x, y) =s (r) +\ фі (x, y)\]

називається фундаментальним рішенням, пов'язаним з рівнянням Лапласа якщо$\phi\in C^2(\Omega)$ і$\triangle_x\phi=0$ для кожного фіксованого$y\in\Omega$.

Зауваження. Фундаментальне рішення$\gamma$ задовольняє для кожного$y\in\Omega$ фіксованого відношення

$-\ int_\ Омега\\ гамма (x, y)\ трикутник_x\ Phi (x)\ dx=\ Phi (y)\\ mbox {для всіх}\\ Phi\ in C_0^2 (\ Омега),\]

див. вправу. Ця формула випливає з міркувань, аналогічних наступному розділу.

Мовою поширення це відношення можна записати за визначенням як

$-\ трикутник_х\ гамма (x, y) =\ дельта (x-y),\]

де$\delta$ - розподіл Дірака, який називається$\delta$ -function.