3.5: Теорема Коши-Ковалевської

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61687

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розглянемо квазілінійну систему першого порядку (3.3.1) розділу 3.3. Припустимо,$\mathcal{S}$ що початкові многовиди задаються$\chi(x)=0$$\nabla\chi\not=0$, і припустимо, що$\chi$ це не характерно. Потім, див. Розділ 3.3, систему (3.3.1) можна записати як

\ begin {екнаррей}
\ мітка {syst2}
u_ {x_n} &=&\ sum_ {i=1} ^ {n-1} a^i (x, u) u_ {x_i} +b (x, u)\
\ мітка {syst2початкова}
u (x_1,\ ldots, x_ {n-1}, 0) &=F (x_1),\ ldots, x_ {n-1})
\ end {еканаррей}

Ось є$u=(u_1,\ldots,u_m)^T$,$b=(b_1,\ldots,b_n)^T$ і$a^i$ є$(m\times m)$ -матриці.

Ми припускаємо$a^i$, що$f$,$b$ і$C^\infty$ стосовно своїх аргументів. З (\ ref {syst2}) і (\ ref {syst2initial}) випливає, що ми можемо обчислити формально всі похідні$D^\alpha u$ в околі площини$\{x:\ x_n=0\}$, зокрема в околицях$0\in\mathbb{R}$. Таким чином, ми маємо формальний силовий ряд$u(x)$ at$x=0$:

$ $ u (x)\ сім\ сума\ frac {1} {\ альфа!} D^\ альфа u (0) x^\ альфа.\]

Для позначень та визначень, що використовуються тут і в наступному, див. Додаток до цього розділу.

Потім, як зазвичай, виникає два питання:

Чи сходиться силовий ряд по сусідству$0\in\mathbb{R}$?
Чи збіжний енергетичний ряд є розв'язком задачі початкового значення (\ ref {syst2}), (\ ref {syst2initial})?

Зауваження. Зовсім іншим від цього методу степеневих рядів є метод асимптотичних розширень. Тут цікавить гарне наближення невідомого розв'язку рівняння скінченною сумою$\sum_{i=0}^N\phi_i(x)$ функцій$\phi_i$. Загалом,
$\sum_{i=0}^\infty\phi_i(x)$ нескінченна сума не сходиться, на відміну від методу степеневих рядів цього розділу. Див. [15] для деяких асимптотичних формул в капілярності.

Теорема 3.1. (Коші-Ковалевська). Околиці$0\in\mathbb{R}$ такого є реальне аналітичне розв'язання початкової задачі (\ ref {syst2}), (\ ref {syst2initial}). Це рішення є унікальним у класі реальних аналітичних функцій.

Доказ. Доказ взято з Іоанна\ cite {John}. Ми вводимо$u-f$ як нове рішення, для якого ми дивимося, і додаємо нову координату$u^\star$ до вектора рішення, встановивши$u^\star (x)=x_n$. Тоді

$u^\ зірка_ {x_n} =1,\ u^\ star_ {x_k} =0,\ k=1,\ ldots, n-1,\ u^\ зірка (x_1,\ ldots, x_ {n-1} ,0) =0\]

і розширена система (\ ref {syst2}), (\ ref {syst2initial})

$
\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
u_ {1, x_n}\
\ vdots\\
u_ {m, x_n}\\
star_ {x_n}
\ кінець {масив}\ справа) =
\ sum_ {i=1} ^ {n-1}\ ліворуч (\ почати {масив} {cc}
a^i&0\\
0&0
\ кінець {масив }\ праворуч)
\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
u_ {1, x_i}\
\ vdots\\
u_ {m, x_i}\\
u^\ star_ {x_i}
\ кінець {масив}\ вправо) +
\ лівий (\ початок {масив} {c}
b_1\
\ vdots\\
b_m\\
1
\ end {масив}\ право),
\]

де пов'язане початкова умова$u(x_1,\ldots,x_{n-1},0)=0$.

Нове$u$ є$u=(u_1,\ldots,u_m)^T$, нове$a^i$ є$a^i(x_1,\ldots,x_{n-1},u_1,\ldots,u_m,u^\star)$ і нове$b$$b=(x_1,\ldots,x_{n-1},u_1,\ldots,u_m,u^\star)^T$.

Таким чином, ми призведемо до початкової задачі значення типу

\ почати {екнаррай}
\ мітка {система 3}
u_ {j, x_n} &=&\ sum_ {i=1} ^ {n-1}\ сума {k=1} ^Na_ {jk} ^i (z) u_ {k, x_i} +b_j (z),\ j=1,\ ldots, N\\
\ мітка {syst3початкова}
_j (x) &=&0\\\ mbox {якщо}\ x_n=0,
\ end {екнаррей}
де$j=1,\ldots,N$ і $z=(x_1,\ldots,x_{n-1},u_1,\ldots,u_N)$.

Справа тут в тому, що$a_{jk}^i$ і$b_j$ є незалежними від$x_n$. Цей факт спрощує доказ теореми.

З (\ ref {syst3}) і (\ ref {syst3initial}) ми можемо обчислити формально все$D^\beta u_j$. Тоді у нас є формальні силові ряди для$u_j$:

$ $u_j (х)\ сім\ сума\ альфа c_\ альфа ^ {(j)} x^\ альфа,\]

де

$ $ c_\ альфа ^ {(j)} =\ гідророзриву {1} {\ альфа!} D^\ альфа u_j (0).\]

Ми покажемо, що ці степеневі ряди є (абсолютно) збіжними по сусідству$0\in\mathbb{R}$, тобто вони є реальними аналітичними функціями, див. у додатку для визначення реальних аналітичних функцій. Вставляючи ці функції в ліву та праву частину (\ ref {syst3}), отримуємо з правого та лівого боку реальні аналітичні функції. Це випливає, оскільки композиції реальних аналітичних функцій знову є реальними аналітичними, див. Пропозиція A7 додатка до цього розділу. Отримані ряди степенів зліва і справа мають однакові коефіцієнти, викликані обчисленням похідних$D^\alpha u_j(0)$ від (\ ref {syst3}). Звідси випливає$u_j(x)$$j=1,\ldots,n$, що, визначені формальними степеневими рядами, є розв'язками початкової задачі (\ ref {syst3}), (\ ref {syst3initial}).

Сет

$d=\ ліворуч (\ frac {\ часткове} {\ часткове z_1},\ ldots,\ frac {\ часткове} {\ часткове z_ {n+n-1}}\ праворуч)\]

Лемма А. припустимо, що$u\in C^\infty$ в околицях$0\in\mathbb{R}$. Тоді

$D^\ альфа u_j (0) =P_\ альфа\ ліворуч (d^\ бета a_ {jk} ^i (0), d^\ гамма b_j (0)\ праворуч), $ $

де$|\beta|,\ |\gamma|\le|\alpha|$ і$P_\alpha$ є поліномами в зазначених аргументах з невід'ємними цілими числами як коефіцієнтами, які не залежать від$a^i$ і від$b$.

Доказ. З рівняння (\ ref {syst3}) випливає, що

\ begin {рівняння}
\ мітка {hilf1}
d_nd^\ альфа u_j (0) =P_\ альфа (d^\ beta a_ {jk} ^i (0), d^\ гамма b_j (0), D^\ дельта u_k (0)).
\ end {рівняння}

Ось$D_n=\partial/\partial x_n$ і$\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta$ задовольняють нерівності

$ $ |\ бета|,\ |\ гамма|\ ле|\ альфа|,\\ |\ дельта|\ le|\ альфа|+1,\]

і, що є суттєвим у доказі, останні координати в мульти-індексах$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$,$\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$ задовольняють,$\delta_n\le\alpha_n$ оскільки права сторона (\ ref {syst3}) не залежить від$x_n$.
Крім того, з (\ ref {syst3}) випливає, що поліноми$P_\alpha$ мають цілі числа як коефіцієнти. Початкова умова (\ ref {syst3initial}) передбачає

\ begin {рівняння}
\ мітка {hilf2}
D^\ альфа u_j (0) =0,
\ end {рівняння}

де$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1},0)$, тобто,$\alpha_n=0$. Потім доказ є індукцією щодо$\alpha_n$. Індукція починається з$\alpha_n=0$, потім ми замінюємо $D^\ delta u_k (0) $ в правій частині (\ ref {hilf1}) на (\ ref {hilf2}), тобто на нуль. Тоді з (\ ref {hilf1}) випливає, що

$D^\ альфа u_j (0) =P_\ альфа (d^\ бета a_ {jk} ^i (0), d^\ гамма b_j (0), D^\ дельта u_k (0)),\]

де$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1},1)$.

$\Box$

Визначення. Нехай$f=(f_1,\ldots,f_m)$,$F=(F_1,\ldots,F_m)$,$f_i=f_i(x)$,$F_i=F_i(x)$, і$f,\ F\in C^\infty$. Ми говоримо$f$, що мажоризується$F$ якщо
$$
|D^\ альфа f_k (0) |\ le D^\ alpha f_k (0),\\ k=1,\ ldots, m
$$
для всіх$\alpha$. Ми пишемо$f<<F$,$f$ якщо мажоризується$F$.

Визначення. Проблема початкового значення
\ begin {екнаррай}
\ мітка {система}
U_ {j, x_n} &=&\ sum_ {i=1} ^ {n-1}\ sum_ {k=1} ^N A_ {jk} ^i (z) U_ {k, x_i} +b_j (z)\
\ мітка {syst4initial}
u_j (x) &J (z) =&0\ qquad\ mbox {якщо}\ x_n=0,
\ end {еканаррей}
$j=1,\ldots,N$,$A_{jk}^i,\ B_j$ реальний аналітичний, називається задачею мажоризації до (\ ref {syst3}), (\ ref {syst3initial}), якщо
$$
a_ {jk} ^i<a_ {jk} ^i\\\ mbox {і}\ b_j<b_j.
\]

Лемма Б. Формальний енергетичний ряд
$$
\ sum_\ alpha\ frac {1} {\ alpha!} D^\ alpha u_j (0) x^\ alpha,
$$
де$D^\alpha u_j(0)$ визначено в Lemma A, є збіжним в околі,$0\in\mathbb{R}$ якщо існує мажоризуюча задача, яка має реальний аналітичний$U$ розв'язок$x=0$, і
$$
|D^\ alpha u_j (0) |\ le D^\ альфа U_J (0).
$$

Доказ. З Лемми А і з припущення Леми Б випливає, що
\ почати {екнаррай*}
|D^\ альфа u_j (0) |&\ le&p_\ альфа\ лівий (|d^\ beta a_ {jk} ^i (0) |, |d^\ gamma b_j (0) |\ праворуч)\\
&\ le&p_\ alpha\ left (|^\ бета A_ {jk} ^i (0) |, |d^\ гамма b_j (0) |\ праворуч)\ equiv D^\ альфа U_J (0).
\ end {eqnarray*}
Формальний енергетичний ряд
$$
\ sum_\ alpha\ frac {1} {\ alpha!} D^\ альфа u_j (0) x^\ альфа,
$$
є збіжним, оскільки
$$
\ sum_\ альфа\ frac {1} {\ альфа!} |D^\ альфа u_j (0) x^\ альфа|\ ле
\ sum_\ альфа\ гідророзриву {1} {\ альфа!} D^\ альфа u_j (0) |x^\ альфа|.
$$
Права сторона збігається в сусідстві з$x\in\mathbb{R}$ припущенням.

$\Box$

Лема С. Існує велика проблема, яка має реальне аналітичне рішення.

Доказ. Оскільки$a_{ij}^i(z)$$b_j(z)$ реальні аналітичні в околицях цього$z=0$ випливає з Пропозиції A5 додатка до цього розділу, що існують позитивні константи$M$ і$r$ такі, що всі ці функції мажоризуються
$$
\ frac {Mr} {r-z_1-\ ldots -z_ {N+n-1}}.
$$
Таким чином, задачею мажоризації є
\ begin {екнаррай*}
U_ {j, x_n} &=&\ frac {Mr} {r-x_1-\ ldots-x_ {n-1} -U_1-\ ldots-u_n}\ ліворуч (1+\ sum_ {i = 1} ^ {n-1}\ sum_ {k=1}
^NU_ k, x_i}\ праворуч)\\ u_J (x) &=&0\\\ mbox {якщо}\ x_n=0,
\ кінець { еканаррей*}
$j=1,\ldots,N$.

Рішенням цієї задачі є
$$
u_j (x_1,\ ldots, x_ {n-1}, x_n) =V (x_1+\ ldots+x_ {n-1}, x_n),\ j=1,\ ldots, N,
$$
де,,$V(s,t)$,$s=x_1+\ldots+x_{n-1}$$t=x_n$, - розв'язання початкової задачі Коші
\ begin {eqnarray*}
V_t&=&\ розриву {Mr} {R-S-nV}\ ліворуч (1+N (n-1) V_s\ праворуч),\\
V (s,0) &=&0.
\ end {eqnarray*},
який має рішення, див. вправу,
$$
V (s, t) =\ frac {1} {Nn}\ ліворуч (r-s-\ sqrt {(r-s) ^2-2nMnRT}\ право).
$$
Ця функція є реальною аналітичною в$(s,t)$ at$(0,0)$. Звідси випливає, що$U_j(x)$ є також реальними аналітичними функціями. Таким чином показана теорема Коші-Ковалевської.

$\Box$

Приклад 3.5.1: звичайні диференціальні рівняння

Розглянемо проблему початкового значення
\ begin {
eqnarray*} y' (x) &=&f (x, y (x))\\
y (x_0) &=&y_0,
\ end {eqnarray*}
де$x_0\in\mathbb{R}^1$ і$y_0\in\mathbb{R}$ задані. Припустимо,$f(x,y)$ це реальний аналітичний в околицях$(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^1\times\mathbb{R}$. Тоді з наведеної вище теореми випливає, що існує аналітичний$y(x)$ розв'язок початкової задачі в околицях$x_0$. Цей розв'язок є унікальним у класі аналітичних функцій за теоремою Коші-Ковалевської. З теореми Пікарда-Лінделя\ "випливає, що даний аналітичний розв'язок є унікальним навіть у класі$C^1$ -функцій.

Приклад 3.5.2: Рівняння з частинними похідними другого порядку

Розглянемо граничну задачу для двох змінних
\ begin {eqnarray*}
u_ {yy} &=&f (x, y, u, u_x, u_ {xx}, u_ {xy})\
u (x,0) &=&\ phi (x)\
u_y (x,0) &=&\ psi (x).
\ end {eqnarray*}
Ми припускаємо, що$\phi,\ \psi$ є аналітичними в околицях$x=0$ і$f$ це реально аналітично в районі
$$
(0,0,\ phi (0),\ phi '(0),\ psi (0),\ psi' (0)).
$$
Існує реальний аналітичний розв'язок в околі$0\in\mathbb{R}^2$ вищевказаної задачі про початкове значення.

Зокрема, існує реальний аналітичний розв'язок в околі початкової задачі
\ begin {eqnarray*}
\ трикутника u&=&1\\
u (x,0) &=&0\
u_y (x,0) &=&0.$0\in\mathbb{R}^2$
\ end {еканаррей*}

Доказ випливає, написавши вищезазначену проблему як систему. Встановити$p=u_x$$q=u_y$,$r=u_{xx}$,
$s=u_{xy}$,$t=u_{yy}$,,, потім
$
т = f (x, y, u, p, q, r, s).
$$
Встановити$U=(u,p,q,r,s,t)^T$,$b=(q,0,t,0,0,f_y+f_uq+f_qt)^T$ і
$$
A=\ ліворуч (\ begin {масив} {cccccc}

0&0&0&0\
0&0&0&0&0&0&0&0&0\
0&0&0&0&0 &0&1&0\\
0&0&0&0&0&1\
0&0&f_p&0&f_0&f_r&f_s
\ end {масив}\ праворуч).
$$
Тоді переписаним диференціальним рівнянням є система
$U_y=AU_x+b$ з початковою умовою
$$
U (x,0) =\ left (\ phi (x),\ phi' (x),\ psi (x),\ phi "(x),\ psi '(x), f_0 (x)\ right),
$$
де$f_0(x)=f(x,0,\phi(x),\phi'(x),\psi(x),\phi''(x),\psi'(x))$.