3.4.1: Приклади

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61729

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Приклад 3.4.1.1: Рівняння Нав'є-Стокса

Система Нав'є-Стокса для в'язкої нестисливої рідини є
\ begin {eqnarray*}
v_t+ (v\ cdot\ nabla_x) v&=&-\ frac {1} {\ rho}\ nabla_x p+\ gamma\ triangle_x v\\
\ text {div} _x\ v&=0,
\ end {eqnarray*}
де
$\rho$ являє собою (постійну і позитивну) щільність рідини,
$\gamma$ це (постійна і позитивна) в'язкість рідини, вектор
$v=v(x,t)$ швидкості частинок рідини,$x\in\mathbb{R}^3$ або в$\mathbb{R}^2$,
$p=p(x,t)$ тиск.

Проблема полягає в пошуку рішень$v,\ p$ вищевказаної системи.

Приклад 3.4. 2.1: Лінійна еластичність

Розглянемо систему
\ почати {рівняння}
\ мітка {elast}
\ rho\ frac {\ partial^2u} {\ partial t^2} =\ mu\ triangle_x u+ (\ lambda+\ mu)\ nabla_x (\ text {div} _x
\ u) +f.\ end {рівняння}
Ось, у випадку пружного тіла в$\mathbb{R}^3$,
$u(x,t)=(u_1(x,t),u_2(x,t),u_3(x,t))$вектор зміщення,
$f(x,t)$ щільність зовнішньої сили,
$\rho$ (постійна) щільність,
$\lambda,\ \mu$ (позитивні) константи Ламе.

Характерне рівняння,$\det C=0$ де записи матриці$C$ задаються
$$
c_ {ij} =(\ лямбда+\ му)\ chi_ {x_i}\ chi_ {x_j} +\ delta_ {ij}\ left (\ mu|\ nabla_x\ chi|^2-\ rho\ chi_t^2\ право).
$$
Характерне рівняння
$$
\ ліве ((\ лямбда+2\ му) |\ nabla_x\ chi|^2-\ rho\ chi_t^2\ праворуч)\ ліве (\ mu|\ nabla_x\ chi|^2-\ rho\ chi_t^2\ праворуч) ^2=0.
$$ Звідси
випливає, що можливі дві різні швидкості$P$ характерних поверхонь$\mathcal{S}(t)$
$\chi(x,t)=const.$, визначені, а саме
$$
P_1=\ sqrt {\ frac {\ lambda+2\ mu} {\ rho}},\\ mbox {і}\\ P_2=\ sqrt {\ frac {\ mu} {\ rho}}.
$$
Ми нагадуємо, що$P=-\chi_t/|\nabla_x\chi|$.