3: Класифікація

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.E: Рівняння першого порядку (вправи)
- Передня матерія

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Різні типи задач у фізиці, наприклад, відповідають різним типам рівнянь з частинними похідними. Методи розв'язання цих рівнянь відрізняються від типу до типу.

Класифікація диференціальних рівнянь випливає з одного єдиного питання: чи можна формально обчислити рішення, якщо дано достатньо багато вихідних даних? Розглянемо початкову задачу для звичайного диференціального рівняння $y'(x)=f(x,y(x))$ , $y(x_0)=y_0$ . Тоді можна формально визначити рішення, за умови, $f(x,y)$ що функція досить регулярна. Розв'язок задачі початкового значення формально задається степеневим рядом. Цей формальний розв'язок є розв'язком задачі, якщо $f(x,y)$ є реальним аналітичним за теоремою Коші. У випадку рівнянь з частинними похідними пов'язаною теоремою є теорема Коши-Ковалевської. Навіть у випадку звичайних диференціальних рівнянь ситуація ускладнюється, якщо неявно визначено, $y'$ тобто диференціальне рівняння $F(x,y(x),y'(x))=0$ для заданої функції $F$ .

Topic hierarchy

Мініатюра: Фотографія російського математика Софії Васілєвна Ковалевської, першої великої російської жінки-математика і відповідальної за важливий оригінальний внесок у аналіз, рівняння з частинними похідними та механіку.