3: Класифікація

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61675

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Різні типи задач у фізиці, наприклад, відповідають різним типам рівнянь з частинними похідними. Методи розв'язання цих рівнянь відрізняються від типу до типу.

Класифікація диференціальних рівнянь випливає з одного єдиного питання: чи можна формально обчислити рішення, якщо дано достатньо багато вихідних даних? Розглянемо початкову задачу для звичайного диференціального рівняння\(y'(x)=f(x,y(x))\),\(y(x_0)=y_0\). Тоді можна формально визначити рішення, за умови,\(f(x,y)\) що функція досить регулярна. Розв'язок задачі початкового значення формально задається степеневим рядом. Цей формальний розв'язок є розв'язком задачі, якщо\(f(x,y)\) є реальним аналітичним за теоремою Коші. У випадку рівнянь з частинними похідними пов'язаною теоремою є теорема Коши-Ковалевської. Навіть у випадку звичайних диференціальних рівнянь ситуація ускладнюється, якщо неявно визначено,\(y'\) тобто диференціальне рівняння\(F(x,y(x),y'(x))=0\) для заданої функції\(F\).

Мініатюра: Фотографія російського математика Софії Васілєвна Ковалевської, першої великої російської жінки-математика і відповідальної за важливий оригінальний внесок у аналіз, рівняння з частинними похідними та механіку.