0.E: Вступ (вправи)
title="0.2: Вступ до диференціальних рівнянь» href=» /Книжкові полиції/Диференціал_рівняння/Книга:_Диференціальні_рівняння_для_інженерів_ (Lebl) /0:_введення/0.2:_introduction_to_diffial_equations">Вступ до диференціальних рівнянь
Показати,x = e^{4t} що це рішенняx'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0.
Покажіть, щоx = e^{t} це не рішенняx'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0.
Чиy = \sin t є рішенням{\left( \frac{dy}{dt} \right)}^2 = 1 - y^2? Обґрунтуйте.
Нехайy'' + 2y' - 8y = 0. Тепер спробуйте рішення формиy = e^{rx} для деякої (невідомої) константиr. Це рішення для деякихr? Якщо так, то знайдіть все такеr.
Переконайтеся, щоx = C e^{-2t} це рішенняx' = -2x. ЗнайтиC для вирішення початкової умовиx(0) = 100.
Переконайтеся, щоx = C_1 e^{-t} + C_2 e^{2t} це рішенняx'' - x' -2 x = 0. ЗнайтиC_1 іC_2 вирішити для початкових умовx(0) = 10 іx'(0) = 0.
Знайдіть рішення для{(x')}^2 + x^2 = 4 використання ваших знань про похідні функцій, які ви знаєте з базового числення.
Вирішити:
- \dfrac{dA}{dt} = -10 A, \quad A(0)=5
- \dfrac{dH}{dx} = 3 H, \quad H(0)=1
- \dfrac{d^2y}{dx^2} = 4 y, \quad y(0)=0, \quad y'(0)=1
- \dfrac{d^2x}{dy^2} = -9 x, \quad x(0)=1, \quad x'(0)=0
Чи є рішенняy' = y, таке, щоy(0) = y(1)?
Населення містаX було100 тисячу20 років тому, а населення містаX120 тисячу10 років тому. Припускаючи постійне зростання, ви можете використовувати експоненціальну модель популяції (як для бактерій). Що ви оцінюєте зараз населення?
Припустимо, що футбольний тренер отримує зарплату в мільйон доларів зараз, а підвищення10\% щороку (настільки експоненціальна модель, як популяція бактерій). Нехай зарплатаs буде в мільйоні доларів,t а час в роках.
- Що такеs(0) іs(1).
- Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила10 мільйон.
- Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила20 мільйон.
- Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила30 мільйон.
Показати,x = e^{-2t} що це рішенняx'' + 4x' + 4x = 0.
- Відповідь
-
Обчислитиx'=-2e^{-2t} іx''=4e^{-2t}. Потім(4e^{-2t})+4(-2e^{-2t})+4(e^{-2t})=0.
Чиy = x^2 є рішеннямx^2y'' - 2y = 0? Обґрунтуйте.
- Відповідь
-
Так.
Нехайxy'' - y' = 0. Спробуйте розчин формиy = x^r. Це рішення для деякихr? Якщо так, то знайдіть все такеr.
- Відповідь
-
y=x^{r}це рішення дляr=0 іr=2.
Переконайтеся, щоx=C_1e^t+C_2 це рішенняx''-x' = 0. ЗнайтиC_1 іC_2 так, щоx задовольняєx(0) = 10 іx'(0) = 100.
- Відповідь
-
C_{1}=100,C_{2}=-90
Вирішити\frac{d\varphi}{ds} = 8 \varphi і\varphi(0) = -9.
- Відповідь
-
\varphi =-9e^{8s}
Вирішити:
- \dfrac{dx}{dt} = -4x, \quad x(0)=9
- \dfrac{d^2x}{dt^2} = -4x, \quad x(0)=1, \quad x'(0)=2
- \dfrac{dp}{dq} = 3 p, \quad p(0)=4
- \dfrac{d^2T}{dx^2} = 4 T, \quad T(0)=0, \quad T'(0)=6
- Відповідь
-
- x=9e^{-4t}
- x=\cos (2t)+\sin (2t)
- p=4e^{3q}
- T=3\sinh (2x)
title="0.3: Класифікація диференціальних рівнянь» href=» /Книжкові полиції/Диференціал_рівняння/Книга:_Диференціальний_рівняння_для_інженерів_ (Lebl) /0:_введення/0.3:_classification_of_dififial_equations">Класифікація диференціальних рівнянь
Класифікують наступні рівняння. Вони ОДА або PDE? Це рівняння чи система? Що таке замовлення? Він лінійний або нелінійний, і якщо він лінійний, то однорідний, постійний коефіцієнт? Якщо це ОДА, чи автономна вона?
- \displaystyle \sin(t) \frac{d^2 x}{dt^2} + \cos(t) x = t^2
- \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + 3 \frac{\partial u}{\partial y} = xy
- \displaystyle y''+3y+5x=0, \quad x''+x-y=0
- \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + u\frac{\partial^2 u}{\partial s^2} = 0
- \displaystyle x''+tx^2=t
- \displaystyle \frac{d^4 x}{dt^4} = 0
Якщо\vec{u} = (u_1,u_2,u_3) вектор, ми маємо розбіжність\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} + \frac{\partial u_3}{\partial z} і завиток\nabla \times \vec{u} = \Bigl( \frac{\partial u_3}{\partial y} - \frac{\partial u_2}{\partial z} , ~ \frac{\partial u_1}{\partial z} - \frac{\partial u_3}{\partial x} , ~ \frac{\partial u_2}{\partial x} - \frac{\partial u_1}{\partial y} \Bigr). Зверніть увагу, що завиток вектора все ще є вектором. Випишіть рівняння Максвелла через частинні похідні і класифікуйте систему.
Припустимо,F це лінійна функція, тобтоF(x,y) = ax+by для константa іb. Яка класифікація рівнянь видуF(y',y) = 0.
Запишіть явний приклад третього порядку, лінійного, непостійного коефіцієнта, неавтономної, неоднорідної системи двох ОДА таким чином, щоб кожна похідна, яка могла з'явитися, дійсно з'являється.
Класифікують наступні рівняння. Вони ОДА або PDE? Це рівняння чи система? Що таке замовлення? Він лінійний або нелінійний, і якщо він лінійний, то однорідний, постійний коефіцієнт? Якщо це ОДА, чи автономна вона?
- \displaystyle \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 3 \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \sin(x)
- \displaystyle \frac{d x}{dt} + \cos(t) x = t^2+t+1
- \displaystyle \frac{d^7 F}{dx^7} = 3F(x)
- \displaystyle y''+8y'=1
- \displaystyle x''+tyx'=0, \quad y''+txy = 0
- \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial s^2} + u^2
- Відповідь
-
- PDE, рівняння, другий порядок, лінійний, неоднорідний, постійний коефіцієнт.
- ОДА, рівняння першого порядку, лінійний, неоднорідний, непостійний коефіцієнт, не автономний.
- ОДА, рівняння, сьомий порядок, лінійний, однорідний, постійний коефіцієнт, автономний.
- ОДА, рівняння, другий порядок, лінійний, неоднорідний, постійний коефіцієнт, автономний.
- ОДА, система, другого порядку, нелінійний.
- PDE, рівняння, другий порядок, нелінійний.
Запишіть загальне лінійне звичайне диференціальне рівняння нульового порядку. Запишіть загальне рішення.
- Відповідь
-
рівняння:a(x)y=b(x), рішення:y=\frac{b(x)}{a(x)}.
Для якихk\frac{dx}{dt}+x^k = t^{k+2} лінійний. Підказка: є дві відповіді.
- Відповідь
-
k=0абоk=1