0.E: Вступ (вправи)

title="0.2: Вступ до диференціальних рівнянь» href=» /Книжкові полиції/Диференціал_рівняння/Книга:_Диференціальні_рівняння_для_інженерів_ (Lebl) /0:_введення/0.2:_introduction_to_diffial_equations">Вступ до диференціальних рівнянь

Вправа\(\PageIndex{0.2.1}\)

Показати,\(x = e^{4t}\) що це рішення\(x'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0\).

Вправа\(\PageIndex{0.2.2}\)

Покажіть, що\(x = e^{t}\) це не рішення\(x'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0\).

Вправа\(\PageIndex{0.2.3}\)

Чи\(y = \sin t\) є рішенням\({\left( \frac{dy}{dt} \right)}^2 = 1 - y^2\)? Обґрунтуйте.

Вправа\(\PageIndex{0.2.4}\)

Нехай\(y'' + 2y' - 8y = 0\). Тепер спробуйте рішення форми\(y = e^{rx}\) для деякої (невідомої) константи\(r\). Це рішення для деяких\(r\)? Якщо так, то знайдіть все таке\(r\).

Вправа\(\PageIndex{0.2.5}\)

Переконайтеся, що\(x = C e^{-2t}\) це рішення\(x' = -2x\). Знайти\(C\) для вирішення початкової умови\(x(0) = 100\).

Вправа\(\PageIndex{0.2.6}\)

Переконайтеся, що\(x = C_1 e^{-t} + C_2 e^{2t}\) це рішення\(x'' - x' -2 x = 0\). Знайти\(C_1\) і\(C_2\) вирішити для початкових умов\(x(0) = 10\) і\(x'(0) = 0\).

Вправа\(\PageIndex{0.2.7}\)

Знайдіть рішення для\({(x')}^2 + x^2 = 4\) використання ваших знань про похідні функцій, які ви знаєте з базового числення.

Вправа\(\PageIndex{0.2.8}\)

Вирішити:

1. \(\dfrac{dA}{dt} = -10 A, \quad A(0)=5\)
2. \(\dfrac{dH}{dx} = 3 H, \quad H(0)=1\)
3. \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 4 y, \quad y(0)=0, \quad y'(0)=1\)
4. \(\dfrac{d^2x}{dy^2} = -9 x, \quad x(0)=1, \quad x'(0)=0\)

Вправа\(\PageIndex{0.2.9}\)

Чи є рішення\(y' = y\), таке, що\(y(0) = y(1)\)?

Вправа\(\PageIndex{0.2.10}\)

Населення міста\(X\) було\(100\) тисячу\(20\) років тому, а населення міста\(X\)\(120\) тисячу\(10\) років тому. Припускаючи постійне зростання, ви можете використовувати експоненціальну модель популяції (як для бактерій). Що ви оцінюєте зараз населення?

Вправа\(\PageIndex{0.2.11}\)

Припустимо, що футбольний тренер отримує зарплату в мільйон доларів зараз, а підвищення\(10\%\) щороку (настільки експоненціальна модель, як популяція бактерій). Нехай зарплата\(s\) буде в мільйоні доларів,\(t\) а час в роках.

1. Що таке\(s(0)\) і\(s(1)\).
2. Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила\(10\) мільйон.
3. Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила\(20\) мільйон.
4. Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила\(30\) мільйон.

Вправа\(\PageIndex{0.2.12}\)

Показати,\(x = e^{-2t}\) що це рішення\(x'' + 4x' + 4x = 0\).

Відповідь

Обчислити\(x'=-2e^{-2t}\) і\(x''=4e^{-2t}\). Потім\((4e^{-2t})+4(-2e^{-2t})+4(e^{-2t})=0\).

Вправа\(\PageIndex{0.2.13}\)

Чи\(y = x^2\) є рішенням\(x^2y'' - 2y = 0\)? Обґрунтуйте.

Відповідь

Так.

Вправа\(\PageIndex{0.2.14}\)

Нехай\(xy'' - y' = 0\). Спробуйте розчин форми\(y = x^r\). Це рішення для деяких\(r\)? Якщо так, то знайдіть все таке\(r\).

Відповідь

\(y=x^{r}\)це рішення для\(r=0\) і\(r=2\).

Вправа\(\PageIndex{0.2.15}\)

Переконайтеся, що\(x=C_1e^t+C_2\) це рішення\(x''-x' = 0\). Знайти\(C_1\) і\(C_2\) так, що\(x\) задовольняє\(x(0) = 10\) і\(x'(0) = 100\).

Відповідь

\(C_{1}=100\),\(C_{2}=-90\)

Вправа\(\PageIndex{0.2.16}\)

Вирішити\(\frac{d\varphi}{ds} = 8 \varphi\) і\(\varphi(0) = -9\).

Відповідь

\(\varphi =-9e^{8s}\)

Вправа\(\PageIndex{0.2.17}\)

Вирішити:

1. \(\dfrac{dx}{dt} = -4x, \quad x(0)=9\)
2. \(\dfrac{d^2x}{dt^2} = -4x, \quad x(0)=1, \quad x'(0)=2\)
3. \(\dfrac{dp}{dq} = 3 p, \quad p(0)=4\)
4. \(\dfrac{d^2T}{dx^2} = 4 T, \quad T(0)=0, \quad T'(0)=6\)

Відповідь

1. \(x=9e^{-4t}\)
2. \(x=\cos (2t)+\sin (2t)\)
3. \(p=4e^{3q}\)
4. \(T=3\sinh (2x)\)

title="0.3: Класифікація диференціальних рівнянь» href=» /Книжкові полиції/Диференціал_рівняння/Книга:_Диференціальний_рівняння_для_інженерів_ (Lebl) /0:_введення/0.3:_classification_of_dififial_equations">Класифікація диференціальних рівнянь

Вправа\(\PageIndex{0.3.1}\)

Класифікують наступні рівняння. Вони ОДА або PDE? Це рівняння чи система? Що таке замовлення? Він лінійний або нелінійний, і якщо він лінійний, то однорідний, постійний коефіцієнт? Якщо це ОДА, чи автономна вона?

1. \(\displaystyle \sin(t) \frac{d^2 x}{dt^2} + \cos(t) x = t^2\)
2. \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + 3 \frac{\partial u}{\partial y} = xy\)
3. \(\displaystyle y''+3y+5x=0, \quad x''+x-y=0\)
4. \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + u\frac{\partial^2 u}{\partial s^2} = 0\)
5. \(\displaystyle x''+tx^2=t\)
6. \(\displaystyle \frac{d^4 x}{dt^4} = 0\)

Вправа\(\PageIndex{0.3.2}\)

Якщо\(\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)\) вектор, ми маємо розбіжність\(\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} + \frac{\partial u_3}{\partial z}\) і завиток\(\nabla \times \vec{u} = \Bigl( \frac{\partial u_3}{\partial y} - \frac{\partial u_2}{\partial z} , ~ \frac{\partial u_1}{\partial z} - \frac{\partial u_3}{\partial x} , ~ \frac{\partial u_2}{\partial x} - \frac{\partial u_1}{\partial y} \Bigr)\). Зверніть увагу, що завиток вектора все ще є вектором. Випишіть рівняння Максвелла через частинні похідні і класифікуйте систему.

Вправа\(\PageIndex{0.3.3}\)

Припустимо,\(F\) це лінійна функція, тобто\(F(x,y) = ax+by\) для констант\(a\) і\(b\). Яка класифікація рівнянь виду\(F(y',y) = 0\).

Вправа\(\PageIndex{0.3.4}\)

Запишіть явний приклад третього порядку, лінійного, непостійного коефіцієнта, неавтономної, неоднорідної системи двох ОДА таким чином, щоб кожна похідна, яка могла з'явитися, дійсно з'являється.

Вправа\(\PageIndex{0.3.5}\)

Класифікують наступні рівняння. Вони ОДА або PDE? Це рівняння чи система? Що таке замовлення? Він лінійний або нелінійний, і якщо він лінійний, то однорідний, постійний коефіцієнт? Якщо це ОДА, чи автономна вона?

1. \(\displaystyle \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 3 \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \sin(x)\)
2. \(\displaystyle \frac{d x}{dt} + \cos(t) x = t^2+t+1\)
3. \(\displaystyle \frac{d^7 F}{dx^7} = 3F(x)\)
4. \(\displaystyle y''+8y'=1\)
5. \(\displaystyle x''+tyx'=0, \quad y''+txy = 0\)
6. \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial s^2} + u^2\)

Відповідь

1. PDE, рівняння, другий порядок, лінійний, неоднорідний, постійний коефіцієнт.
2. ОДА, рівняння першого порядку, лінійний, неоднорідний, непостійний коефіцієнт, не автономний.
3. ОДА, рівняння, сьомий порядок, лінійний, однорідний, постійний коефіцієнт, автономний.
4. ОДА, рівняння, другий порядок, лінійний, неоднорідний, постійний коефіцієнт, автономний.
5. ОДА, система, другого порядку, нелінійний.
6. PDE, рівняння, другий порядок, нелінійний.

Вправа\(\PageIndex{0.3.6}\)

Запишіть загальне лінійне звичайне диференціальне рівняння нульового порядку. Запишіть загальне рішення.

Відповідь

рівняння:\(a(x)y=b(x)\), рішення:\(y=\frac{b(x)}{a(x)}\).

Вправа\(\PageIndex{0.3.7}\)

Для яких\(k\)\(\frac{dx}{dt}+x^k = t^{k+2}\) лінійний. Підказка: є дві відповіді.

Відповідь

\(k=0\)або\(k=1\)