Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

0.E: Вступ (вправи)

title="0.2: Вступ до диференціальних рівнянь» href=» /Книжкові полиції/Диференціал_рівняння/Книга:_Диференціальні_рівняння_для_інженерів_ (Lebl) /0:_введення/0.2:_introduction_to_diffial_equations">Вступ до диференціальних рівнянь

Вправа\PageIndex{0.2.1}

Показати,x = e^{4t} що це рішенняx'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0.

Вправа\PageIndex{0.2.2}

Покажіть, щоx = e^{t} це не рішенняx'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0.

Вправа\PageIndex{0.2.3}

Чиy = \sin t є рішенням{\left( \frac{dy}{dt} \right)}^2 = 1 - y^2? Обґрунтуйте.

Вправа\PageIndex{0.2.4}

Нехайy'' + 2y' - 8y = 0. Тепер спробуйте рішення формиy = e^{rx} для деякої (невідомої) константиr. Це рішення для деякихr? Якщо так, то знайдіть все такеr.

Вправа\PageIndex{0.2.5}

Переконайтеся, щоx = C e^{-2t} це рішенняx' = -2x. ЗнайтиC для вирішення початкової умовиx(0) = 100.

Вправа\PageIndex{0.2.6}

Переконайтеся, щоx = C_1 e^{-t} + C_2 e^{2t} це рішенняx'' - x' -2 x = 0. ЗнайтиC_1 іC_2 вирішити для початкових умовx(0) = 10 іx'(0) = 0.

Вправа\PageIndex{0.2.7}

Знайдіть рішення для{(x')}^2 + x^2 = 4 використання ваших знань про похідні функцій, які ви знаєте з базового числення.

Вправа\PageIndex{0.2.8}

Вирішити:

  1. \dfrac{dA}{dt} = -10 A, \quad A(0)=5
  2. \dfrac{dH}{dx} = 3 H, \quad H(0)=1
  3. \dfrac{d^2y}{dx^2} = 4 y, \quad y(0)=0, \quad y'(0)=1
  4. \dfrac{d^2x}{dy^2} = -9 x, \quad x(0)=1, \quad x'(0)=0
Вправа\PageIndex{0.2.9}

Чи є рішенняy' = y, таке, щоy(0) = y(1)?

Вправа\PageIndex{0.2.10}

Населення містаX було100 тисячу20 років тому, а населення містаX120 тисячу10 років тому. Припускаючи постійне зростання, ви можете використовувати експоненціальну модель популяції (як для бактерій). Що ви оцінюєте зараз населення?

Вправа\PageIndex{0.2.11}

Припустимо, що футбольний тренер отримує зарплату в мільйон доларів зараз, а підвищення10\% щороку (настільки експоненціальна модель, як популяція бактерій). Нехай зарплатаs буде в мільйоні доларів,t а час в роках.

  1. Що такеs(0) іs(1).
  2. Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила10 мільйон.
  3. Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила20 мільйон.
  4. Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила30 мільйон.
Вправа\PageIndex{0.2.12}

Показати,x = e^{-2t} що це рішенняx'' + 4x' + 4x = 0.

Відповідь

Обчислитиx'=-2e^{-2t} іx''=4e^{-2t}. Потім(4e^{-2t})+4(-2e^{-2t})+4(e^{-2t})=0.

Вправа\PageIndex{0.2.13}

Чиy = x^2 є рішеннямx^2y'' - 2y = 0? Обґрунтуйте.

Відповідь

Так.

Вправа\PageIndex{0.2.14}

Нехайxy'' - y' = 0. Спробуйте розчин формиy = x^r. Це рішення для деякихr? Якщо так, то знайдіть все такеr.

Відповідь

y=x^{r}це рішення дляr=0 іr=2.

Вправа\PageIndex{0.2.15}

Переконайтеся, щоx=C_1e^t+C_2 це рішенняx''-x' = 0. ЗнайтиC_1 іC_2 так, щоx задовольняєx(0) = 10 іx'(0) = 100.

Відповідь

C_{1}=100,C_{2}=-90

Вправа\PageIndex{0.2.16}

Вирішити\frac{d\varphi}{ds} = 8 \varphi і\varphi(0) = -9.

Відповідь

\varphi =-9e^{8s}

Вправа\PageIndex{0.2.17}

Вирішити:

  1. \dfrac{dx}{dt} = -4x, \quad x(0)=9
  2. \dfrac{d^2x}{dt^2} = -4x, \quad x(0)=1, \quad x'(0)=2
  3. \dfrac{dp}{dq} = 3 p, \quad p(0)=4
  4. \dfrac{d^2T}{dx^2} = 4 T, \quad T(0)=0, \quad T'(0)=6
Відповідь
  1. x=9e^{-4t}
  2. x=\cos (2t)+\sin (2t)
  3. p=4e^{3q}
  4. T=3\sinh (2x)

title="0.3: Класифікація диференціальних рівнянь» href=» /Книжкові полиції/Диференціал_рівняння/Книга:_Диференціальний_рівняння_для_інженерів_ (Lebl) /0:_введення/0.3:_classification_of_dififial_equations">Класифікація диференціальних рівнянь

Вправа\PageIndex{0.3.1}

Класифікують наступні рівняння. Вони ОДА або PDE? Це рівняння чи система? Що таке замовлення? Він лінійний або нелінійний, і якщо він лінійний, то однорідний, постійний коефіцієнт? Якщо це ОДА, чи автономна вона?

  1. \displaystyle \sin(t) \frac{d^2 x}{dt^2} + \cos(t) x = t^2
  2. \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + 3 \frac{\partial u}{\partial y} = xy
  3. \displaystyle y''+3y+5x=0, \quad x''+x-y=0
  4. \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + u\frac{\partial^2 u}{\partial s^2} = 0
  5. \displaystyle x''+tx^2=t
  6. \displaystyle \frac{d^4 x}{dt^4} = 0
Вправа\PageIndex{0.3.2}

Якщо\vec{u} = (u_1,u_2,u_3) вектор, ми маємо розбіжність\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} + \frac{\partial u_3}{\partial z} і завиток\nabla \times \vec{u} = \Bigl( \frac{\partial u_3}{\partial y} - \frac{\partial u_2}{\partial z} , ~ \frac{\partial u_1}{\partial z} - \frac{\partial u_3}{\partial x} , ~ \frac{\partial u_2}{\partial x} - \frac{\partial u_1}{\partial y} \Bigr). Зверніть увагу, що завиток вектора все ще є вектором. Випишіть рівняння Максвелла через частинні похідні і класифікуйте систему.

Вправа\PageIndex{0.3.3}

Припустимо,F це лінійна функція, тобтоF(x,y) = ax+by для константa іb. Яка класифікація рівнянь видуF(y',y) = 0.

Вправа\PageIndex{0.3.4}

Запишіть явний приклад третього порядку, лінійного, непостійного коефіцієнта, неавтономної, неоднорідної системи двох ОДА таким чином, щоб кожна похідна, яка могла з'явитися, дійсно з'являється.

Вправа\PageIndex{0.3.5}

Класифікують наступні рівняння. Вони ОДА або PDE? Це рівняння чи система? Що таке замовлення? Він лінійний або нелінійний, і якщо він лінійний, то однорідний, постійний коефіцієнт? Якщо це ОДА, чи автономна вона?

  1. \displaystyle \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 3 \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \sin(x)
  2. \displaystyle \frac{d x}{dt} + \cos(t) x = t^2+t+1
  3. \displaystyle \frac{d^7 F}{dx^7} = 3F(x)
  4. \displaystyle y''+8y'=1
  5. \displaystyle x''+tyx'=0, \quad y''+txy = 0
  6. \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial s^2} + u^2
Відповідь
  1. PDE, рівняння, другий порядок, лінійний, неоднорідний, постійний коефіцієнт.
  2. ОДА, рівняння першого порядку, лінійний, неоднорідний, непостійний коефіцієнт, не автономний.
  3. ОДА, рівняння, сьомий порядок, лінійний, однорідний, постійний коефіцієнт, автономний.
  4. ОДА, рівняння, другий порядок, лінійний, неоднорідний, постійний коефіцієнт, автономний.
  5. ОДА, система, другого порядку, нелінійний.
  6. PDE, рівняння, другий порядок, нелінійний.
Вправа\PageIndex{0.3.6}

Запишіть загальне лінійне звичайне диференціальне рівняння нульового порядку. Запишіть загальне рішення.

Відповідь

рівняння:a(x)y=b(x), рішення:y=\frac{b(x)}{a(x)}.

Вправа\PageIndex{0.3.7}

Для якихk\frac{dx}{dt}+x^k = t^{k+2} лінійний. Підказка: є дві відповіді.

Відповідь

k=0абоk=1