Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

0.E: Вступ (вправи)

title="0.2: Вступ до диференціальних рівнянь» href=» /Книжкові полиції/Диференціал_рівняння/Книга:_Диференціальні_рівняння_для_інженерів_ (Lebl) /0:_введення/0.2:_introduction_to_diffial_equations">Вступ до диференціальних рівнянь

Вправа0.E.0.2.1

Показати,x=e4t що це рішенняx12x+48x64x=0.

Вправа0.E.0.2.2

Покажіть, щоx=et це не рішенняx12x+48x64x=0.

Вправа0.E.0.2.3

Чиy=sint є рішенням(dydt)2=1y2? Обґрунтуйте.

Вправа0.E.0.2.4

Нехайy+2y8y=0. Тепер спробуйте рішення формиy=erx для деякої (невідомої) константиr. Це рішення для деякихr? Якщо так, то знайдіть все такеr.

Вправа0.E.0.2.5

Переконайтеся, щоx=Ce2t це рішенняx=2x. ЗнайтиC для вирішення початкової умовиx(0)=100.

Вправа0.E.0.2.6

Переконайтеся, щоx=C1et+C2e2t це рішенняxx2x=0. ЗнайтиC1 іC2 вирішити для початкових умовx(0)=10 іx(0)=0.

Вправа0.E.0.2.7

Знайдіть рішення для(x)2+x2=4 використання ваших знань про похідні функцій, які ви знаєте з базового числення.

Вправа0.E.0.2.8

Вирішити:

  1. dAdt=10A,A(0)=5
  2. dHdx=3H,H(0)=1
  3. d2ydx2=4y,y(0)=0,y(0)=1
  4. d2xdy2=9x,x(0)=1,x(0)=0
Вправа0.E.0.2.9

Чи є рішенняy=y, таке, щоy(0)=y(1)?

Вправа0.E.0.2.10

Населення містаX було100 тисячу20 років тому, а населення містаX120 тисячу10 років тому. Припускаючи постійне зростання, ви можете використовувати експоненціальну модель популяції (як для бактерій). Що ви оцінюєте зараз населення?

Вправа0.E.0.2.11

Припустимо, що футбольний тренер отримує зарплату в мільйон доларів зараз, а підвищення10% щороку (настільки експоненціальна модель, як популяція бактерій). Нехай зарплатаs буде в мільйоні доларів,t а час в роках.

  1. Що такеs(0) іs(1).
  2. Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила10 мільйон.
  3. Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила20 мільйон.
  4. Приблизно скільки років знадобиться, щоб зарплата становила30 мільйон.
Вправа0.E.0.2.12

Показати,x=e2t що це рішенняx+4x+4x=0.

Відповідь

Обчислитиx=2e2t іx=4e2t. Потім(4e2t)+4(2e2t)+4(e2t)=0.

Вправа0.E.0.2.13

Чиy=x2 є рішеннямx2y2y=0? Обґрунтуйте.

Відповідь

Так.

Вправа0.E.0.2.14

Нехайxyy=0. Спробуйте розчин формиy=xr. Це рішення для деякихr? Якщо так, то знайдіть все такеr.

Відповідь

y=xrце рішення дляr=0 іr=2.

Вправа0.E.0.2.15

Переконайтеся, щоx=C1et+C2 це рішенняxx=0. ЗнайтиC1 іC2 так, щоx задовольняєx(0)=10 іx(0)=100.

Відповідь

C1=100,C2=90

Вправа0.E.0.2.16

Вирішитиdφds=8φ іφ(0)=9.

Відповідь

φ=9e8s

Вправа0.E.0.2.17

Вирішити:

  1. dxdt=4x,x(0)=9
  2. d2xdt2=4x,x(0)=1,x(0)=2
  3. dpdq=3p,p(0)=4
  4. d2Tdx2=4T,T(0)=0,T(0)=6
Відповідь
  1. x=9e4t
  2. x=cos(2t)+sin(2t)
  3. p=4e3q
  4. T=3sinh(2x)

title="0.3: Класифікація диференціальних рівнянь» href=» /Книжкові полиції/Диференціал_рівняння/Книга:_Диференціальний_рівняння_для_інженерів_ (Lebl) /0:_введення/0.3:_classification_of_dififial_equations">Класифікація диференціальних рівнянь

Вправа0.E.0.3.1

Класифікують наступні рівняння. Вони ОДА або PDE? Це рівняння чи система? Що таке замовлення? Він лінійний або нелінійний, і якщо він лінійний, то однорідний, постійний коефіцієнт? Якщо це ОДА, чи автономна вона?

  1. sin(t)d2xdt2+cos(t)x=t2
  2. ux+3uy=xy
  3. y+3y+5x=0,x+xy=0
  4. 2ut2+u2us2=0
  5. x+tx2=t
  6. d4xdt4=0
Вправа0.E.0.3.2

Якщоu=(u1,u2,u3) вектор, ми маємо розбіжністьu=u1x+u2y+u3z і завиток×u=(u3yu2z, u1zu3x, u2xu1y). Зверніть увагу, що завиток вектора все ще є вектором. Випишіть рівняння Максвелла через частинні похідні і класифікуйте систему.

Вправа0.E.0.3.3

Припустимо,F це лінійна функція, тобтоF(x,y)=ax+by для константa іb. Яка класифікація рівнянь видуF(y,y)=0.

Вправа0.E.0.3.4

Запишіть явний приклад третього порядку, лінійного, непостійного коефіцієнта, неавтономної, неоднорідної системи двох ОДА таким чином, щоб кожна похідна, яка могла з'явитися, дійсно з'являється.

Вправа0.E.0.3.5

Класифікують наступні рівняння. Вони ОДА або PDE? Це рівняння чи система? Що таке замовлення? Він лінійний або нелінійний, і якщо він лінійний, то однорідний, постійний коефіцієнт? Якщо це ОДА, чи автономна вона?

  1. 2vx2+32vy2=sin(x)
  2. dxdt+cos(t)x=t2+t+1
  3. d7Fdx7=3F(x)
  4. y+8y=1
  5. x+tyx=0,y+txy=0
  6. ut=2us2+u2
Відповідь
  1. PDE, рівняння, другий порядок, лінійний, неоднорідний, постійний коефіцієнт.
  2. ОДА, рівняння першого порядку, лінійний, неоднорідний, непостійний коефіцієнт, не автономний.
  3. ОДА, рівняння, сьомий порядок, лінійний, однорідний, постійний коефіцієнт, автономний.
  4. ОДА, рівняння, другий порядок, лінійний, неоднорідний, постійний коефіцієнт, автономний.
  5. ОДА, система, другого порядку, нелінійний.
  6. PDE, рівняння, другий порядок, нелінійний.
Вправа0.E.0.3.6

Запишіть загальне лінійне звичайне диференціальне рівняння нульового порядку. Запишіть загальне рішення.

Відповідь

рівняння:a(x)y=b(x), рішення:y=b(x)a(x).

Вправа0.E.0.3.7

Для якихkdxdt+xk=tk+2 лінійний. Підказка: є дві відповіді.

Відповідь

k=0абоk=1