6: Трансформація Лапласа

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 5.E: Проблеми власного значення (вправи)
- 6.1: Перетворення Лапласа

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Перетворення Лапласа також може бути використано для розв'язання диференціальних рівнянь і зводить лінійне диференціальне рівняння до алгебраїчного рівняння, яке потім може бути вирішено формальними правилами алгебри.

6.1: Перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа виявляється дуже ефективним методом для вирішення певних проблем ODE. Зокрема, перетворення може приймати диференціальне рівняння і перетворити його в алгебраїчне рівняння. Якщо алгебраїчне рівняння може бути розв'язано, застосування оберненого перетворення дає нам бажане рішення.
6.2: Перетворення похідних та ОДУ
Процедура лінійних рівнянь постійних коефіцієнтів виглядає наступним чином. Приймаємо звичайне диференціальне рівняння в змінній часу t. Застосовується перетворення Лапласа для перетворення рівняння в алгебраїчне (недиференціальне) рівняння у частотній області. Вирішуємо рівняння для X (s). Потім взявши зворотне перетворення, якщо можливо, знаходимо x (t). На жаль, не кожна функція має перетворення Лапласа, не кожне рівняння можна вирішити таким чином.
6.3: Згортка
Трансформація Лапласа продукту не є продуктом перетворень. Замість цього ми вводимо згортку двох функцій t для генерації іншої функції t.
6.4: Дельта Дірака та імпульсна характеристика
Часто в додатках ми вивчаємо фізичну систему, вводячи короткий імпульс, а потім бачачи, що робить система. Отриману поведінку часто називають імпульсною характеристикою.
6.5: Розв'язування PDE за допомогою перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа походить з того ж сімейства перетворень, що і ряд Фур'є, для вирішення рівнянь з частинними похідними (PDE). Тому не дивно, що ми також можемо вирішувати PDE за допомогою перетворення Лапласа.
6.E: Трансформація Лапласа (вправи)
Це домашні вправи, які супроводжують Libl «Диференціальні рівняння для інженерії» TextMap. Це підручник, орієнтований на один семестр першого курсу з диференціальних рівнянь, орієнтований на студентів-інженерів. Обов'язковою умовою курсу є основна послідовність обчислення.