7.6: Додаток- Біноміальне розширення

У цьому розділі ми повинні були згадати біноміальне розширення. Це просто розширення виразу\((a+b)^{p}\). Ми досліджуємо це розширення спочатку для невід'ємних цілих степенів p, а потім виведемо розширення для інших значень\(p\).

Перелічимо деякі загальні розширення для невід'ємних цілих ступенів.

\ [\ почати {вирівняний}
(a+b) ^ {0} &=1\
(a+b) ^ {1} &=a+b\
(a+b) ^ {2} &=a^ {2} +2 a b+b ^ {2}\
(a+b) ^ {3} &=a^ {3} +3 a^ {2} b+3 a ^ {2} b+3 a ^ {2} +b^ {3}\
(a+b) ^ {4} &=а^ {4} +4 а^ {3} b+6 a^ {2} b^ {2} +4 a b^ {3} +b^ {4}\\
&\ cdots
\ end {вирівняний}\ мітка {7.56}\]

Тепер ми розглянемо закономірності термінів в розширеннях. По-перше, відзначимо, що кожен термін складається з добутку сили\(a\) і сили\(b\). Потужності\(a\) зменшуються від 0\(n\) до 0 при розширенні\((a+b)^{n}\). Аналогічно\(b\) збільшуються повноваження від 0 до\(n\). Суми показників у кожному члені є\(n\). Отже, ми можемо записати\((k+1)\) перший термін у розширенні як\(a^{n-k} b^{k}\). Наприклад, в\((a+b)^{51}\) розширенні 6-го терміну є\(a^{51-5} b^{5}=a^{46} b^{5}\). Однак ми не знаємо числового коефіцієнта в розширенні.

Перелічимо тепер коефіцієнти для вищевказаних розширень.

\(n=0: \quad 1\)
\(n=1: \quad 1 \quad 1\)
\(n=2: \quad 1 \quad 2 \quad 1\)
\(n=3: \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1\)
\(n=4: 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1\)

Цей візерунок є знаменитим трикутником Паскаля. Є багато цікавих особливостей цього трикутника. Але ми спочатку запитаємо, як можна генерувати кожен рядок.

Бачимо, що кожен ряд починається і закінчується одним. Наступний другий член і поруч з останнім терміном має коефіцієнт\(n\). Далі зауважимо, що послідовні пари в кожному рядку можуть бути додані для отримання записів у наступному рядку. Наприклад, у нас є

Маючи це на увазі, ми можемо генерувати наступні кілька рядків нашого трикутника.

\ [\ почати {вирівняний}
&n = 3:\ квад 1\ квад 3\ квад 3\ квад 1\\
&n = 4:\ квад 1\ квад 4\ квад 6\ квад 4\ квад 1\\
&n = 5:\ квад 1\ квад 10\ квад 5\ квад 1\\
&n = 6:1\ квад 6\ квад 15\ квад\ квадроцикл 1
\ end {вирівняний}\ мітка {7.59}\]

Звичайно, це займе деякий час, щоб обчислити кожен рядок до потрібного\(n\). Нам знадобиться простий вираз для обчислення конкретного коефіцієнта. \(k\)Розглянемо термін в розширенні\((a+b)^{n}\). Нехай\(r=k-1\). Тоді цей термін має вигляд\(C_{r}^{n} a^{n-r} b^{r}\). Ми бачили, як коефіцієнти задовольняють

\[C_{r}^{n}=C_{r}^{n-1}+C_{r-1}^{n-1} . \nonumber \]

Власне, виявлено, що коефіцієнти приймають простий вигляд.

\ (C_ {r} ^ {n} =\ dfrac {n!} {(н-р)! r!} =\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
n\\
r
\ end {масив}\ справа).\)

Це не що інше, як комбінаторичний символ для визначення того, як вибирати\(n\) речі\(r\) за один раз. У нашому випадку це має сенс. Ми повинні порахувати кількість способів, за якими ми можемо організувати продукти з з\(r b\)\(n-r a\)'s. Є\(n\) слоти для розміщення їх. Наприклад,\(r=2\) випадок\(n=4\) включає шість продуктів:\(a a b b, a b a b, a b b a, b a a b, b a b a\), і\(b b a a\).\(b\) Таким чином, природним є використання даного позначення. Оригінальна проблема, яка стосувалася Паскаля, була в азартних іграх.

Отже, ми виявили, що

\ [(a+b) ^ {n} =\ sum_ {r=0} ^ {n}\ лівий (\ begin {масив} {l}
n\
r
\ end {масив}\ праворуч) a^ {n-r} b^ {r}. \ етикетка {7.60}\]

Що робити, якщо\(a \gg b\)? Чи можемо ми використовувати це, щоб отримати наближення до\((a+b)^{n}\)? Якщо знехтувати\(b\) тоді\((a+b)^{n} \simeq a^{n}\). Наскільки добре це наближення? Тут було б непогано знати порядок наступного терміну в розширенні, який ми могли б констатувати, використовуючи великі\(O\) позначення. Для того щоб це зробити, ми спочатку розділимо\(a\) як

\[(a+b)^{n}=a^{n}\left(1+\dfrac{b}{a}\right)^{n} . \nonumber \]

Тепер у нас є невеликий параметр,\(\dfrac{b}{a}\). Відповідно до того, що ми бачили вище, ми можемо використовувати біноміальне розширення для запису

\ [\ лівий (1+\ dfrac {b} {a}\ праворуч) ^ {n} =\ sum_ {r=0} ^ {n}\ лівий (\ початок {масив} {l}
n\
r
\ end {масив}\ праворуч)\ ліворуч (\ dfrac {b} {a}\ праворуч) ^ {r}\ мітка {7.61}\]

Таким чином, ми маємо кінцеву суму термінів, що включають повноваження\(\dfrac{b}{a}\). Так як\(a \gg b\), більшістю цих термінів можна знехтувати. Отже, ми можемо написати

\[\left(1+\dfrac{b}{a}\right)^{n}=1+n \dfrac{b}{a}+O\left(\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}\right) . \nonumber \]

Зверніть увагу, що ми використали спостереження, що другий\(n\) коефіцієнт у рядку трикутника Паскаля є\(n\).

Підводячи підсумок, це потім дає

\ [\ почати {вирівняний}
(a+b) ^ {n} &=a^ {n}\ ліворуч (1+\ dfrac {b} {a}\ праворуч) ^ {n}\
=a^ {n}\ ліворуч (1+n\ dfrac {b} {a} +O\ ліворуч (\ dfrac {b} {a}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч)\ праворуч)\\
&=a^ {n} +n a^ {n}\ dfrac {b} {a} +a^ {n} O\ ліворуч (\ dfrac {b} {a}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч).
\ end {вирівняний}\ мітка {7.62}\]

Тому ми можемо приблизний\((a+b)^{n} \simeq a^{n}+n b a^{n-1}\), з помилкою на замовлення\(b a^{n-2}\). Зверніть увагу, що порядок помилки не включає постійний коефіцієнт від розширення. Ми також могли б використовувати наближення\((a+b)^{n} \simeq a^{n}\), але це не так добре, оскільки помилка в цьому випадку є порядком\(b a^{n-1}\).

Ми бачили, що

\[\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\ldots \nonumber \]

Але,\(\dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}\). Це знову біноміальне до степеня, але влада не є невід'ємним цілим числом. Виходить, що коефіцієнти такого біноміального розширення можна записати аналогічно виду в Рівнянні (7.60).

Цей приклад говорить про те, що наша сума більше не може бути кінцевою. Отже, для\(p\) дійсного числа пишемо

\ [(1+x) ^ {p} =\ sum_ {r=0} ^ {\ infty}\ ліворуч (\ почати {масив} {l}
p\\
r
\ end {масив}\ праворуч) x^ {r}. \ етикетка {7.63}\]

Однак ми швидко стикаємося з проблемами з цією формою. Розглянемо коефіцієнт для\(r=1\) при розширенні\((1+x)^{-1}\). Це дається

\ (\ left (\ begin {масив} {c}
-1\\
1
\ end {масив}\ праворуч) =\ dfrac {(-1)!} {(-1-1)! 1!} =\ dfrac {(-1)!} {(-2)! 1!} \)

Але що таке (-1)!? За визначенням це

\[(-1) !=(-1)(-2)(-3) \cdots \nonumber \]

Цей продукт, схоже, не існує! Але з невеликою обережністю відзначимо, що

\[\dfrac{(-1) !}{(-2) !}=\dfrac{(-1)(-2) !}{(-2) !}=-1 \text {. } \nonumber \]

Отже, потрібно бути обережним, щоб не інтерпретувати комбінаторний коефіцієнт буквально. Є кращі способи написати загальне біноміальне розширення. Загальний коефіцієнт ми можемо записати як

\ [\ begin {вирівняний}
\ лівий (\ begin {масив} {l}
p\
r
\ end {масив}\ праворуч) &=\ dfrac {p!} {(р-р)! r!} \\
&=\ dfrac {p (р-1)\ cdots (р-р+1) (р-р)!} {(р-р)! r!} \\
&=\ dfrac {p (р-1)\ cdots (р-р+1)} {r!}
\ end {вирівняний}\ мітка {7.64}\]

Маючи це на увазі, ми тепер констатуємо теорему:

Загальне біноміальне розширення Загальне біноміальне розширення для\((1+x)^{p}\) - це просте узагальнення рівняння (7.60). \(p\)По-справжньому, ми маємо це

\ [\ почати {вирівняний}
(1+х) ^ {p} &=\ sum_ {r=0} ^ {\ infty}\ dfrac {p (p-1)\ cdots (р-р+1)} {r!} x^ {r}\
&=\ сума_ {r=0} ^ {\ infty}\ dfrac {\ Гамма (р+1)} {r! \ Гамма (р-р+1)} x^ {r}.
\ end {вирівняний}\ мітка {7.65}\]

Часто нам потрібні перші кілька термінів для випадку, що\(x \ll 1\):

\[(1+x)^{p}=1+p x+\dfrac{p(p-1)}{2} x^{2}+O\left(x^{3}\right) . \label{7.66} \]