7.7: Проблеми

7.1. Розглянемо безліч векторів\((-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)\).

a Використовуйте процес Грама-Шмідта, щоб знайти ортонормальну основу для\(R^{3}\) використання цього набору в заданому порядку.
б Що ви отримаєте, якщо ви зробите зворотний порядок цих векторів?

7.2. Скористайтеся процесом Грама-Шмідта, щоб знайти перші чотири ортогональні многочлени, які задовольняють наступним:

а. інтервал: функція\((-\infty, \infty)\) ваги:\(e^{-x^{2}}\).
б Інтервал: Функція\((0, \infty)\) ваги:\(e^{-x}\).

7.3. Знайти\(P_{4}(x)\) використання

a Формула Родрігеса в рівнянні (7.12).
b Формула тричленної рекурсії в Рівнянні (7.14).

7.4. Використовуйте функцію генерації для многочленів Лежандра, щоб отримати формулу рекурсії\(P_{n+1}^{\prime}(x)-P_{n-1}^{\prime}(x)=(2 n+1) P_{n}(x)\). А саме, розгляньте\(\dfrac{\partial g(x, t)}{\partial x}\) використання Рівняння (7.18) для отримання формули похідної з трьох членів. Потім скористайтеся трьома термінами рекурсії (7.14), щоб отримати вищевказаний результат.

7.5. Скористайтеся рекурсійним відношенням (7.14) для оцінки\(\int_{-1}^{1} x P_{n}(x) P_{m}(x) d x, n \leq m\).

7.6. Розгорніть наступне у серії Фур'є-Лежандра для\(x \in(-1,1)\).

а\(f(x)=x^{2}\).

б.\(f(x)=5 x^{4}+2 x^{3}-x+3 .\)

c.\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}-1,-1<x<0 \\ 1, \quad 0<x<1\end{array}\right.\)

д.\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,-1<x<0 \\ 0,0<x<1\end{array}\right.\)

7.7. Використовуйте інтеграцію по частинам, щоб показати\(\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)\).

7.8. Висловіть наступне як Gamma функції. А саме, зазначивши форму\(\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty} t^{x} e^{-t} d t\) і використовуючи відповідну підстановку, кожен вираз можна записати термінами гамма-функції.

а.\(\int_{0}^{\infty} x^{2 / 3} e^{-x} d x\)
б.\(\int_{0}^{\infty} x^{5} e^{-x^{2}} d x\)
в.\(\int_{0}^{1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)\right]^{n} d x\)

7.9. Поліноми Ерміта\(H_{n}(x)\) задовольняють наступним:

я\(<H_{n}, H_{m}>=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) d x=\sqrt{\pi} 2^{n} n ! \delta_{n, m}\).
II. \(H_{n}^{\prime}(x)=2 n H_{n-1}(x)\).
III. \(H_{n+1}(x)=2 x H_{n}(x)-2 n H_{n-1}(x)\).
IV. \(H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \dfrac{d^{n}}{d x^{n}}\left(e^{-x^{2}}\right)\).

Використовуючи ці, показати, що

а\(H_{n}^{\prime \prime}-2 x H_{n}^{\prime}+2 n H_{n}=0\). [Використовувати властивості ii. та iii.]
б\(\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) d x=\sqrt{\pi} 2^{n-1} n !\left[\delta_{m, n-1}+2(n+1) \delta_{m, n+1}\right]\). [Використовувати властивості i. та iii.]
c\(H_{n}(0)=\left\{\begin{array}{cc}0, & n \text { odd, } \\ (-1)^{m} \dfrac{(2 m) !}{m !}, & n=2 m\end{array}\right.\). [Нехай\(x=0\) в III. і повторювати. Примітка від iv. що\(H_{0}(x)=1\) і\(\left.H_{1}(x)=1 .\right]\)

7.10. У Maple можна ввести simplify (LegendRep\(\left.\left(2^{*} \mathbf{n}-\mathbf{2}, \mathbf{0}\right)-\operatorname{Legendre} \mathbf{P}\left(\mathbf{2}^{*} \mathbf{n}, \mathbf{0}\right)\right)\);, щоб знайти значення для\(P_{2 n-2}(0)-P_{2 n}(0)\). Це дає результат в терміні гамма-функцій. Однак у прикладі 7.6 для рядів Фур'є-Лежандра значення наведено в терміні подвійних факторіалів! Отже, у нас є

\[P_{2 n-2}(0)-P_{2 n}(0)=\dfrac{\sqrt{\pi}(4 n-1)}{2 \Gamma(n+1) \Gamma\left(\dfrac{3}{2}-n\right)}=(-1)^{n} \dfrac{(2 n-3) ! !}{(2 n-2) ! !} \dfrac{4 n-1}{2 n} . \nonumber \]

Ви переконаєтеся, що обидва результати однакові, виконавши наступне:

a. довести, що\(P_{2 n}(0)=(-1)^{n} \dfrac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}\) за допомогою генеруючої функції і біноміального розширення.
б Доведіть, що\(\Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{(2 n-1) ! !}{2^{n}} \sqrt{\pi}\) використання\(\Gamma(x)=(x-1) \Gamma(x-1)\) та ітерація.
c Перевірте результат від Maple, що\(P_{2 n-2}(0)-P_{2 n}(0)=\dfrac{\sqrt{\pi}(4 n-1)}{2 \Gamma(n+1) \Gamma\left(\dfrac{3}{2}-n\right)}\).
d Чи може будь-який вираз для\(P_{2 n-2}(0)-P_{2 n}(0)\) бути спрощеним далі?

7.11. Рішення рівняння Бесселя\(x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-n^{2}\right) y=0\), можна знайти за допомогою припущення\(y(x)=\sum_{j=0}^{\infty} a_{j} x^{j+n}\). Один отримує відношення повторення\(a_{j}=\dfrac{-1}{j(2 n+j)} a_{j-2}\). Показати, що для\(a_{0}=\left(n ! 2^{n}\right)^{-1}\) ми отримуємо функцію Бесселя першого роду порядку\(n\) з парних значень\(j=2 k\):

\[J_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{k !(n+k) !}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{n+2 k} \nonumber \]

7.12. Використовуйте нескінченний ряд в останній задачі для отримання похідних тотожностей (7.41) та (7.42):

а\(\dfrac{d}{d x}\left[x^{n} J_{n}(x)\right]=x^{n} J_{n-1}(x)\).
б\(\dfrac{d}{d x}\left[x^{-n} J_{n}(x)\right]=-x^{-n} J_{n+1}(x)\).

7.13. Функції Бесселя\(J_{p}(\lambda x)\) є розв'язками\(x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(\lambda^{2} x^{2}-p^{2}\right) y=0\). Припустимо, що\(x \in(0,1)\)\(J_{p}(\lambda)=0\) і те і\(J_{p}(0)\) є кінцевим.

а Помістіть це диференціальне рівняння у форму Штурма-Ліувіля.
b. довести, що розв'язки, що відповідають різним власним значенням, є ортогональними, спочатку написавши відповідну ідентичність Гріна за допомогою цих функцій Бесселя.
c Доведіть, що

\(\int_{0}^{1} x J_{p}(\lambda x) J_{p}(\mu x) d x=\dfrac{1}{2} J_{p+1}^{2}(\lambda)=\dfrac{1}{2} J_{p}^{\prime 2}(\lambda)\)

Зверніть увагу, що\(\lambda\) дорівнює нулю\(J_{p}(x)\).

7.14. Ми можемо переписати нашу функцію Бесселя у формі, яка дозволить порядку бути нецілим за допомогою гамма-функції. Вам знадобляться результати з проблеми 7.10b для\(\Gamma\left(k+\dfrac{1}{2}\right)\).

а) Розширити визначення рядів функції Бесселя першого роду порядку\(\nu, J_{\nu}(x)\), за\(\nu \geq 0\) допомогою написання розв'язку рядів для\(y(x)\) задачі 7.11 з використанням гамма-функції.
б Розширити ряд до\(J_{-\nu(x)}\), для\(\nu \geq 0\). Обговоріть отриманий ряд і те, що відбувається, коли\(\nu\) є додатним цілим числом.
c Використовуйте ці результати для отримання виразів замкнутої форми для\(J_{1 / 2}(x)\) і\(J_{-1 / 2}(x)\). Використовуйте формулу рекурсії для функцій Бесселя, щоб отримати замкнуту форму для\(J_{3 / 2}(x)\).

7.15. У цій задачі ви виведете розширення

\[x^{2}=\dfrac{c^{2}}{2}+4 \sum_{j=2}^{\infty} \dfrac{J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)}{\alpha_{j}^{2} J_{0}\left(\alpha_{j} c\right)}, \quad 0<x<c, \nonumber \]

де\(\alpha_{j}^{\prime} s\) є позитивними коренями\(J_{1}(\alpha c)=0\), дотримуючись наведених нижче кроків.

а Перерахуйте перші п'ять значень\(\alpha\) for за\(J_{1}(\alpha c)=0\) допомогою таблиці 7.4 та рис. 7.7. [Примітка: Будьте обережні, визначаючи\(\alpha_{1}\).]
б Покажіть, що\(\left\|J_{0}\left(\alpha_{1} x\right)\right\|^{2}=\dfrac{c^{2}}{2}\). Нагадаємо,

\(\left\|J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)\right\|^{2}=\int_{0}^{c} x J_{0}^{2}\left(\alpha_{j} x\right) d x\)

c. показати, що\(\left\|J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)\right\|^{2}=\dfrac{c^{2}}{2}\left[J_{0}\left(\alpha_{j} c\right)\right]^{2}, j=2,3, \ldots\) (Це найбільш задіяний крок.) Перша примітка з задачі 7.13 що\(y(x)=J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)\) є рішенням

\(x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\alpha_{j}^{2} x^{2} y=0 .\)

i. Показати, що форма Штурма-Ліувіля цього диференціального рівняння дорівнює\(\left(x y^{\prime}\right)^{\prime}=-\alpha_{j}^{2} x y\)
ii. Помножте рівняння в частині i. на\(y(x)\) і інтегруйте від\(x=0\) до\(x=c\), щоб отримати

\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {0} ^ {c}\ лівий (x y^ {\ правий}\ правий}) ^ {\ правий} y d x &=-\ альфа_ {j} ^ {2}\ int_ {0} ^ {c} x y^ {2} d x\\
&=-\ альфа-_ {j} ^ {2} x J_ {0} ^ {2}\ ліворуч (\ alpha_ {j} х\ праворуч) d x
\ end {вирівняний}\ мітка {7.67}\]

III. Відзначивши це\(y(x)=J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)\), інтегруйте ліву частину частинами та використовуйте наступне, щоб спростити отримане рівняння.

1. \(J_{0}^{\prime}(x)=-J_{1}(x)\)з Рівняння (7.42).
2. Рівняння (7.45).
3. \(J_{2}\left(\alpha_{j} c\right)+J_{0}\left(\alpha_{j} c\right)=0\)з Рівняння (7.43).

IV. Тепер у вас повинно бути достатньо інформації для завершення цієї частини.

d Використовувати результати з частин\(b\) і\(c\) вивести коефіцієнти розширення для

\(x^{2}=\sum_{j=1}^{\infty} c_{j} J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)\)

з метою отримання потрібного розширення.

7.16. Використовуйте похідні тотожності функцій Бесселя, (7.41) - (7.42) та інтеграцію частинами, щоб показати, що

\[\int x^{3} J_{0}(x) d x=x^{3} J_{1}(x)-2 x^{2} J_{2}(x) \nonumber \]