8.2: Одновимірні біфуркації

Біфуркація відбувається в нелінійному диференціальному рівнянні, коли невелика зміна параметра призводить до якісної зміни тривалого розв'язку. Прикладами біфуркацій є те, коли нерухомі точки створюються або руйнуються, або змінюють свою стійкість.

Розглянуто чотири класичні біфуркації одновимірних нелінійних диференціальних рівнянь: біфуркація сідлових вузлів, транскритична біфуркація, надкритична біфуркація вил та докритична біфуркація вил. Відповідне диференціальне рівняння буде записано так, $$\overset{.}{x}=f_r(x),\nonumber$$ де індекс$r$ представляє параметр, який призводить до біфуркації при зміні через нуль. Найпростіші диференціальні рівняння, які демонструють ці біфуркації, називаються нормальними формами і відповідають локальному аналізу (тобто розширенню рядів Тейлора) більш загальних диференціальних рівнянь навколо фіксованої точки разом з можливим масштабуванням$x$.

Сідло-вузол роздвоєння

Переглянути підручник на YouTube

Малюнок$\PageIndex{1}$: Роздвоєння сідлового вузла. (а)$\overset{.}{x}$ проти$x$; (б) діаграма біфуркації.

Біфуркація сідлового вузла призводить до створення або руйнування нерухомих точок. Нормальна форма для сідлово-вузла біфуркації дається шляхом $$\overset{.}{x}=r+x^2.\nonumber$$

Фіксовані точки є$x_* = ±\sqrt{-r}$. Зрозуміло, що дві реальні фіксовані точки існують, коли$r < 0$ і не існує реальних фіксованих точок, коли$r > 0$. Стійкість нерухомих точок при$r < 0$ визначенні похідною від$f(x) = r + x^2$, заданої$f' (x) = 2x$. Тому негативна фіксована точка стабільна, а позитивна фіксована точка нестабільна.

Графічно ми можемо проілюструвати це роздвоєння двома способами. По-перше, на рис. $\PageIndex{1}$(a), ми будуємо$\overset{.}{x}$ проти$x$ для трьох значень параметрів, що відповідають$r < 0$,$r = 0$ і$r > 0$. Значення, при яких$\overset{.}{x} = 0$ відповідають фіксованим точкам, і намальовані стрілки, що вказують на те, як$x(t)$ розвивається рішення (праворуч якщо$\overset{.}{x}> 0$ і ліворуч, якщо$\overset{.}{x}< 0$). Стабільна нерухома точка позначається заповненою окружністю, а нестійка фіксована точка - відкритим колом. Зверніть увагу$r = 0$, що коли, розчини сходяться до початку зліва, але розходяться з початком праворуч. По-друге, на рис. $\PageIndex{1}$(б) ми будуємо діаграму біфуркації, що ілюструє фіксовану точку$x_*$ проти параметра біфуркації$r$. Стабільна фіксована точка позначається суцільною лінією, а нестійку фіксовану точку пунктирною лінією. Зверніть увагу, що дві фіксовані точки стикаються і знищуються$r = 0$, і немає фіксованих точок для$r > 0$.

Транскритична біфуркація

Переглянути підручник на YouTube

Малюнок$\PageIndex{2}$: Транскритична біфуркація. (а)$\overset{.}{x}$ проти$x$; (б) діаграма біфуркації.

Транскритична біфуркація виникає, коли відбувається обмін стійкістю між двома нерухомими точками. Нормальна форма для транскритичної біфуркації дається шляхом $$\overset{.}{x}=rx-x^2.\nonumber$$

Фіксованими точками є$x_* = 0$ і$x_* = r$. Похідна від правого боку є$f' (x) = r − 2x$, так що$f' (0) = r$ і$f ' (r) = −r$. Тому для$r < 0$,$x_* = 0$ є стабільним і$x_* = r$ нестабільним, в той час як для$r > 0$,$x_* = r$ є стабільним і$x_* = 0$ нестабільним. Дві фіксовані точки таким чином обмінюються стабільністю, як$r$ проходить через нуль. Транскритична біфуркація проілюстрована на рис. $\PageIndex{2}$.

Надкритичне роздвоєння вил

Переглянути підручник на YouTube

Малюнок$\PageIndex{3}$: Надкритична роздвоєння вил. (а)$\overset{.}{x}$ проти$x$; (б) діаграма біфуркації.

Біфуркації вил відбуваються у фізичних моделям, де фіксовані точки з'являються і зникають попарно через деяку внутрішню симетрію проблеми. Вила біфуркації можуть бути одного з двох типів. При надкритичної біфуркації пара стійких нерухомих точок створюється в точці біфуркації (або критичної) і існують після (супер) біфуркації. У підкритичній біфуркації в точці біфуркації створюється пара нестійких нерухомих точок і існують перед (суб) біфуркацією.

Нормальна форма для надкритичного роздвоєння вил дається шляхом $$\overset{.}{x}=rx-x^3.\nonumber$$

Зауважимо, що лінійний термін призводить до експоненціального зростання, коли$r > 0$ і нелінійний термін стабілізує це зростання. Фіксованими точками є$x_* = 0$ і$x_* = ±\sqrt{r}$, останні нерухомі точки існують тільки тоді, коли$r > 0$. Похідна$f$ - це$f' (x) = r − 3x^2$ так, що$f' (0) = r$ і$f' (±\sqrt{r}) = −2r$. Тому$x_* = 0$ фіксована точка стабільна$r < 0$ і нестабільна на$r > 0$ той час як фіксовані точки$x = ±\sqrt{r}$ існують і стабільні для$r > 0$. Зверніть увагу, що фіксована точка$x_* = 0$ стає нестабільною, оскільки$r$ перетинає нуль і народжуються дві нові стабільні$x_* = ±\sqrt{r}$ фіксовані точки. Надкритична біфуркація вил проілюстрована на рис. $\PageIndex{3}$.

Надкритичне роздвоєння вил

Переглянути підручник на YouTube

Малюнок$\PageIndex{4}$: Підкритична роздвоєння вил.

У докритичному випадку кубічний термін є дестабілізуючим. Нормальна форма (на замовлення$x^3$) - це $$\overset{.}{x}=rx+x^3.\nonumber$$

Фіксованими точками є$x_* = 0$ і$x_* = ±\sqrt{-r}$, останні нерухомі точки існують тільки тоді, коли$r ≤ 0$. Похідна від правого боку$f' (x) = r +3x^2$ така, що$f' (0) = r$ і$f' (±\sqrt{-r}) = −2r$. Тому$x_* = 0$ фіксована точка стабільна$r < 0$ і нестабільна на$r > 0$ той час як нерухомі точки$x = ±\sqrt{-r}$ існують і нестабільні для$r < 0$. Немає стабільних фіксованих точок, коли$r > 0$.

Відсутність стійких фіксованих точок для$r > 0$ вказує на те, що нехтування термінами вищого порядку$x^3$ в$x$ порівнянні з нормальною формою може бути необґрунтованим. Зберігаючи внутрішню симетрію рівнянь (лише непарні сили$x$), можна додати стабілізуючий нелінійний член, пропорційний$x^5$. Розширена нормальна форма (на замовлення$x^5$) є $$\overset{.}{x}=rx+x^3-x^5,\nonumber$$ і дещо складніше аналізувати. Фіксовані точки - це рішення $$x(r+x^2-x^4)=0.\nonumber$$

Фіксована точка$x_* = 0$ існує для всіх$r$, і чотири додаткові фіксовані точки можна знайти з розв'язків квадратного рівняння в$x^2$:

$$x_*=\pm\sqrt{\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{1+4r})}.\nonumber$$

Ці фіксовані точки існують тільки в$x_*$ тому випадку, якщо вони реальні. Ясна річ, щоб внутрішній квадрат-корінь був справжнім,$r ≥ −1/4$. Також спостерігайте, що$1 −\sqrt{1+4r}$ стає негативним для$r > 0$. Таким чином, ми маємо три інтервали,$r$ щоб розглянути, і ці регіони та їх фіксовані точки $$\begin{array}{rlll} r<-\frac{1}{4}: & x_*=0 &\text{(one fixed point);} \\ -\frac{1}{4}<r<0: & x_*=0, &x_*=\pm\sqrt{\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{1+4r})} &\text{(five fixed points);} \\ r>0: &x_*=0, &x_*=\pm\sqrt{\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4r})} &\text{(three fixed points).}\end{array}\nonumber$$

Стабільність визначається з$f' (x) = r + 3x^2 − 5x^4$. Тепер,$f' (0) = r$ так$x_* = 0$ стабільно$r < 0$ і нестабільно для$r > 0$. Розрахунок для інших чотирьох коренів можна спростити, зазначивши, що$x_*$ задовольняє$r + x_*^2 − x_*^4 = 0$, або$x_*^4 = r + x_*^2$. Тому, $$\begin{aligned}f'(x_*)&=r+3x_*^2-5x_*^4 \\ &=r+3x_*^2-5(r+x_*^2) \\ &=-4r-2x_*^2 \\ &=-2(2r+x_*^2).\end{aligned}$$

З$x_*^2=\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{1+4r})$, у нас є $$\begin{aligned} f'(x_*)&=-2\left(2r+\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{1+4r})\right) \\ &=-\left( (1+4r)\pm\sqrt{1+4r}\right) \\ &=-\sqrt{1+4r}\left(\sqrt{1+4r}\pm 1\right).\end{aligned}$$

Зрозуміло, що плюс корінь завжди стабільний з$f' (x_*) < 0$. Мінус корінь існує тільки для$−\frac{1}{4}< r < 0$ і є нестабільним з тих пір$f' (x_*) > 0$. Підсумовуємо стійкість різних нерухомих точок:

$$\begin{array}{rll} r<-\frac{1}{4}:&x_*=0&\text{(stable);} \\ -\frac{1}{4}<r<0:&x_*=0,&\text{(stable)} \\ &x_*=\pm\sqrt{\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4r})}&\text{(stable);} \\ &x_*=\pm\sqrt{\frac{1}{2}(1-\sqrt{1+4r})}&\text{(unstable);} \\ r>0:&x_*=0&\text{(unstable)} \\ &x_*=\pm\sqrt{\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4r})}&\text{(stable).}\end{array}\nonumber$$

Схема роздвоєння показана на рис. $\PageIndex{4}$, І складається з субкритичної вил біфуркації при$r = 0$ і двох сідлово-вузлів біфуркацій при$r = −1/4$. Ми можемо уявити, що відбувається із$x$$r$ збільшенням негативних значень, припускаючи, що в системі є невеликий шум, який$x = x(t)$ буде розходитися з нестабільними фіксованими точками. Для$r < −1/4$,$x$ рівноважне значення є$x_* = 0$. У міру$r$ збільшення діапазону$−1/4 < r < 0$,$x$ залишиться на$x_* = 0$. Однак катастрофа відбувається відразу ж$r > 0$. $x_* = 0$Фіксована точка стає нестійкою, і рішення буде стрибати вгору (або вниз) до єдиної стійкої фіксованої точки. Така поведінка називається роздвоєнням стрибка. Подібна катастрофа може статися у міру$r$ зменшення від позитивних значень. При цьому стрибок відбувається відразу ж$r < −1/4$.

Оскільки стабільне рівноважне значення$x$ залежить від того, збільшуємо ми або$r$ зменшуємо, ми говоримо, що система проявляє гістерезис. Існування підкритичної біфуркації вил може бути дуже небезпечним в інженерних додатках, оскільки невелика зміна параметрів задачі може призвести до великої зміни стану рівноваги. Фізично це може відповідати обваленню конструкції або виходу з ладу компонента.