4: ОДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами
- Page ID
- 61239
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Загальне лінійне диференціальне рівняння другого порядку з незалежною змінною\(t\) та залежною змінною\(x = x(t)\) задається тим, \[\label{eq:1}\overset{..}{x}+p(t)\overset{.}{x}+q(t)x=g(t),\]де ми використовували стандартні позначення фізики\(\overset{.}{x}= dx/dt\) та\(\overset{..}{x}= d^2x/dt^2\). Унікальне рішення\(\eqref{eq:1}\) вимагає початкових значень\(x(t_0) = x_0\) і\(\overset{.}{x}(t_0) = u_0\). Рівняння з постійними коефіцієнтами—на яке ми приділимо значні зусилля - передбачає, що\(p(t)\) і\(q(t)\) є константами, незалежними від часу. Лінійна ода другого порядку вважається однорідною, якщо\(g(t) = 0\).