4: ОДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Загальне лінійне диференціальне рівняння другого порядку з незалежною змінною $t$ та залежною змінною $x = x(t)$ задається тим,

$\label{eq:1}\overset{..}{x}+p(t)\overset{.}{x}+q(t)x=g(t),$ де ми використовували стандартні позначення фізики

$\overset{.}{x}= dx/dt$ та

$\overset{..}{x}= d^2x/dt^2$ . Унікальне рішення

$\eqref{eq:1}$ вимагає початкових значень

$x(t_0) = x_0$ і

$\overset{.}{x}(t_0) = u_0$ . Рівняння з постійними коефіцієнтами—на яке ми приділимо значні зусилля - передбачає, що

$p(t)$ і

$q(t)$ є константами, незалежними від часу. Лінійна ода другого порядку вважається однорідною, якщо

$g(t) = 0$ .