4.9: Затухаючий резонанс

Перегляд демпфірованого резонансу на YouTube

Тепер ми вирішуємо безрозмірні рівняння, задані (4.8.5), (4.8.6) та (4.8.7), написані тут, як \[\label{eq:1}\overset{..}{x}+a\overset{.}{x}+x=\cos\beta t,\]там, де цього вимагають фізичні обмеження наших трьох додатків\(\alpha > 0\). Однорідне рівняння має характеристичне рівняння,\[r^2+\alpha r+1=0,\nonumber\] так що розв'язки\[r_{\pm}=-\frac{\alpha}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\alpha^2-4}.\nonumber\]

Коли\(\alpha^2 − 4 < 0\), рух невимушеного осцилятора, як кажуть, недогасає; коли\(\alpha^2 − 4 > 0\), надмірно затухає; і коли\(\alpha^2 − 4 = 0\), критично затухає. Для всіх трьох типів демпфування коріння характерного рівняння задовольняють\(\text{Re}(r_±) < 0\). Отже, як лінійно незалежні однорідні розчини розпадаються експоненціально до нуля, а тривалий час асимптотичний розв'язок\(\eqref{eq:1}\) зводиться до нерозпадаючого конкретного розв'язку. Оскільки початкові умови задовольняються вільними константами, що множать розкладаються однорідні розв'язки, тривалий асимптотичний розв'язок не залежить від початкових умов.

Якщо нас цікавить тільки тривалий асимптотичний розв'язок\(\eqref{eq:1}\), то можна приступати безпосередньо до визначення того чи іншого розв'язку. Як і раніше, розглянемо складну оду\[\overset{..}{z}+\alpha\overset{.}{z}+z=e^{i\beta t},\nonumber\] с\(x_p=\text{Re}(z_p)\). З ансацем\(z_p=Ae^{i\beta t}\) у нас є\[-\beta^2A+i\alpha\beta A+A=1,\nonumber\] чи \[\begin{align}A&=\frac{1}{(1-\beta^2)+i\alpha\beta}\nonumber \\ &=\left(\frac{1}{(1-\beta^2)^2+\alpha^2\beta^2}\right)\left((1-\beta^2)-i\alpha\beta\right).\label{eq:2}\end{align}\]

Для визначення\(x_p\) використовується полярна форма комплексного числа. Комплексне число\(z = x + iy\) можна записати в полярній формі як\(z = re^{i\phi}\), де\(r =\sqrt{x^2+y^2}\) і\(\tan\phi = y/x\). Тому ми пишемо\[(1-\beta^2)-i\alpha\beta =re^{i\phi},\nonumber\] з\[r=\sqrt{(1-\beta^2)^2+\alpha^2\beta^2},\quad\tan\phi=-\frac{\alpha\beta}{1-\beta^2}.\nonumber\]

Використовуючи полярну форму,\(A\) в\(\eqref{eq:2}\) стає\[A=\left(\frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)^2+\alpha^2\beta^2}}\right)e^{i\phi},\nonumber\] і\(x_p=\text{Re}(Ae^{i\beta t})\) стає \[\begin{align}x_p&=\left(\frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)^2+\alpha^2\beta^2}}\right)\text{ Re}\left\{e^{i(\beta t+\phi)}\right\}\nonumber \\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)^2+\alpha^2\beta^2}}\right)\cos (\beta t+\phi).\label{eq:3}\end{align}\]

Закінчуємо парою спостережень про\(\eqref{eq:3}\). По-перше, якщо частота форсування\(\omega\) дорівнює власній частоті\(\omega_0\) незагашеного осцилятора, то\(\beta = 1\) і\(A = 1/i\alpha\), і\(x_p = (1/\alpha ) \sin t\). Позиція генератора спостерігається\(π/2\) поза фазою із зовнішньою силою, або іншими словами, швидкість осцилятора, а не положення, знаходиться у фазі з силою. По-друге, значення,\(\beta\) яке максимізує амплітуду коливань, є значенням\(\beta\), яке мінімізує знаменник\(\eqref{eq:3}\). Для визначення\(\beta_m\) ми таким чином\(g(\beta^2)\) мінімізуємо функцію щодо того\(\beta^2\), де\[g(\beta^2)=(1-\beta^2)^2+\alpha^2\beta^2.\nonumber\]

Беручи\(g\) похідну відносно\(\beta^2\) і встановивши це на нуль, щоб визначити\(\beta_m\) врожайність\[-2(1-\beta_m^2)+\alpha^2=0,\nonumber\] або\[\beta_m=\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{2}}\approx 1-\frac{\alpha^2}{4},\nonumber\] останнє наближення дійсне, якщо\(\alpha << 1\) і безрозмірний коефіцієнт демпфування малий. Ми можемо інтерпретувати цей результат, сказавши, що невелике демпфування трохи знижує «резонансну» частоту незагашеного генератора.