2.6: Теорема ССС

Розглянемо тепер випадок, коли сторона двох трикутників, як відомо, має однакову довжину.

Теорема$\PageIndex{1}$: Side-Side-Side (SSS) Theorem

Два трикутника є конгруентними, якщо три сторони одного дорівнюють відповідно трьом сторонам іншого ($SSS = SSS$).

Теорема$\PageIndex{1}$ продемонстрована на малюнку$\PageIndex{1}$: якщо$a=d, b=e,$ і$c=f$ тоді$\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Малюнок$\PageIndex{1}$:$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ тому що$SSS = SSS$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайти$x, y, z:$

Рішення

$AB = 7 = DF$. Тому кут$\angle C,$, протилежний АВ, повинен відповідати тому$\angle E$, що кут протилежний$DF$. Таким же чином$\angle A$ відповідає$\angle F$ і$\angle B$ відповідає$\angle D$. У нас$\triangle ABC \cong \triangle FDE$ за допомогою$SSS = SSS$, так

$x^{\circ}=\angle D=\angle B=44^{\circ}$

$y^{\circ}=\angle F=\angle A=57^{\circ}$

$z^{\circ}=\angle E=\angle C=79^{\circ}$

Відповідь:$x = 44, y=57, z=79$

Доказ теореми$\PageIndex{1}$

На малюнку$\PageIndex{1}$ розташуйте$\triangle ABC$ і$\triangle DEF$ так, щоб їх найдовші сторони збігалися, в даному випадку$AB$ і$DE$. Це можна зробити тому, що$AB = c= r = DE.$ тепер малюємо$CF$, формуючи кути$1,2,3,$ і 4 (рис.$\PageIndex{2}$). Решта доказів буде представлена у вигляді подвійних стовпців:

Малюнок$\PageIndex{2}$: Помістіть$\triangle ABC$ і$\triangle DEF$ так, щоб$AB$ і ДЕ збігалися і малювали$CF$.

Заява	причини
1. $\angle 1 = \angle 2$.	1. $CAF$Базові кути рівнобедреного трикутника рівні (Теорема$\PageIndex{1}$, section 2.5).
2. $\angle 3 = \angle 4$.	2. $CBF$Базові кути рівнобедреного трикутника рівні.
3. $\angle C = \angle F$.	3. $\angle C = \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 = \angle F$.
4. $AC = DF$.	4. З огляду на,$AC = b = e = DF$.
5. $BC = EF$.	5. З огляду на,$BC = a = d = EF$.
6. $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.	6. $SAS = SAS$:$AC, \angle C, BC$$\triangle ABC = DF$ оф$\angle F$,$EF$ оф$\triangle DEF$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Дано$AB = DE, BC = EF,$ і$AC = DF$. Довести$\angle C = \angle F$

Рішення

Заяви	причини
1. $AB = DE$.	1. Дано.
2. $BC = EF$.	2. Дано.
3. $AC = DF$.	3. Дано.
4. $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.	4. $SSS = SSS$:$AB, BC, AC$ з$\triangle ABC = DE$,$EF, DF$ з$\triangle DEF$.
5. $\angle C = \angle F$.	5. Відповідні кути конгруентних трикутників рівні.

Застосування: Трикутна підв'язка

Теорема ССС є основою важливого принципу будівельної техніки, який називається трикутним кріпленням. Уявіть собі відрізки лінії$\PageIndex{3}$ на малюнку, щоб бути боби з дерева або сталі, з'єднані в кінцевих точках цвяхами або гвинтами. Якщо натиснути на одну зі сторін,$ABCD$ буде руйнуватися і виглядати$A'B'C'D'$.

Малюнок$\PageIndex{3}$:$ABCD$ руйнується в$A'B'C'D'$, при натисканні.

Тепер припустимо точки$A$ і$C$ з'єднуються новою балкою, званої дужкою (рис.$\PageIndex{4}$). Структура не зруйнується до тих пір, поки боби залишаться цілими і з'єднаними між собою. Неможливо деформуватися$ABCD$ в будь-яку іншу форму,$A'B'C'D'$ тому що якщо$AB = A'B'$$BC = B'C'$, і$AC = A'C'$ тоді$\triangle ABC$ буде конгруентно до$\triangle A'B'C'$ мимо$SSS = SSS$.

Малюнок$\PageIndex{4}$:$ABCD$ не може$A'B'C'D'$ звалитися до тих пір, поки балки залишаються непорушеними і Jotned разом.

Іноді ми говоримо, що трикутник - це жорстка фігура; як тільки сторони трикутника зафіксовані, кути не можуть бути змінені. Таким чином$\PageIndex{4}$, на малюнку, форма$\triangle ABC$ не може бути змінена до тих пір, поки довжини його сторін залишаються однаковими.

Проблеми

1 - 8. Для кожного з наступних (1) напишіть заяву про конгруентність,

(2) з огляду на причину (1) ($SAS$,,$ASA$$AAS$, або$SSS$ теорема), і

(3) знайти$x$, або$x$ і$y$, або$x, y$, і$z$.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. З огляду на$AB = DE$$BC = EF$,, і$AC = DF$. Доведіть$\angle A = \angle D$.

10. Дано$AC = BC$. $AD = BD$. Доведіть$\angle ADC = \angle BDC$.

11. З огляду$AB = AD$ на,$BC = DC$. Доведіть$\angle BAC = \angle CAD$.

12. З огляду$AB = CD$ на,$BC = DA$. Доведіть$\angle BAC = \angle DCA$.

13. З огляду$AE = CE$ на,$BE = ED$. Доведіть$AB = CD$.

14. З огляду$AB||CD$ на,$AD||BC$. Доведіть$AB = CD$.