2.3: Теореми ASA та AAS

У цьому розділі ми розглянемо ще два випадки, коли можна зробити висновок, що трикутники збігаються тільки з частковою інформацією про їх сторонам і кутах,

Припустимо, нам кажуть, що$\triangle ABC$ має$\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 40^{\circ}$, і$AB =$ 2 дюйма. Давайте спробуємо зробити ескіз$\triangle ABC$. Спочатку малюємо відрізок лінії в 2 дюйма і маркуємо його$AB$, транспортиром малюємо кут$30^{\circ}$ під$A$ і кут$40^{\circ}$ в$B$ (рис.$\PageIndex{1}$). Продовжуємо лінії формування$\angle A$ і$\angle B$ поки вони не зустрінуться в$C$. Тепер ми могли б виміряти$AC, BC$, і$\angle C$ знайти залишилися частини трикутника.

Малюнок$\PageIndex{1}$: (ліворуч) ескіз$\triangle ABC$ і (праворуч) ескіз$\triangle DEF$.

$\triangle DEF$Дозволяти бути ще один трикутник$\angle D = 30^{\circ}$, з$\angle E = 40^{\circ}$,, і$DE =$ 2 дюйми. Ми могли б ескіз так$\triangle DEF$ само, як ми зробили$\triangle ABC$, а потім виміряти$DF, EF$, і$\angle F$ (рис.$\PageIndex{2}$). Зрозуміло, що ми повинні мати$AC = DF$$BC = EF$, і$\angle C = \angle F$, тому що обидва трикутника були намальовані точно так само, тому$\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

У$\triangle ABC$ ми говоримо, що$AB$ це сторона включена між$\angle A$ і$\angle B$. У$\triangle DEF$ ми б сказали, що DE - це сторона, включена між$\angle D$ і$\angle E$.

Наша дискусія передбачає наступну теорему:

Теорема$\PageIndex{1}$: ASA or Angle-Side-Angle Theorem

Два трикутника є конгруентними, якщо два кути і включена сторона одного дорівнюють відповідно двом кутам і включеній стороні іншого.

На малюнку$\PageIndex{1}$ and $\PageIndex{2}$, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ because $\angle A, \angle B$, and $AB$ are equal respectively to $\angle D$, $\angle E$, and $DE$.

Ми іноді скорочуємо теорему$\PageIndex{1}$ by simply writing $ASA = ASA$.

Приклад$\PageIndex{1}$

В$\triangle PQR$, назвіть сторону, що входить між

1. $\angle P$і$\angle Q$.
2. $\angle P$і$\angle R$.
3. $\angle Q$і$\angle R$.

Рішення

Зверніть увагу, що включена сторона називається двома літерами, що представляють кожен з кутів. Тому для (1) сторона, що входить між$\angle P$ і,$\angle Q$ називається буквами$P$ і$Q$ — тобто стороною$PQ$. Аналогічно для (2) і (3).

Відповідь: (1)$PQ$, (2)$PR$, (3)$QR$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Для двох трикутників на схемі

1. написати заяву про конгруентність,
2. дати привід для (1),
3. знайти$x$ і$y$.

Рішення

(1) Від діаграми$\angle A$ в$\triangle ABC$ дорівнює$\angle C$ в$\triangle ADC$. Тому «$A$" відповідає "$C$». Також$\angle C$ в$\triangle ABC$ дорівнює$\angle A$ в$\triangle ADC$. Так що$C$ "" відповідає "$A$». У нас є

(2)$\angle A, \angle C$, і включена сторона$AC$ дорівнює відповідно$\angle C$$\angle A$, і включена$CA$ сторона$\triangle CDA$.$\triangle ABC$ ($AC = CA$Тому що вони просто різні імена для ідентичного сегмента лінії, Ми іноді говоримо$AC = CA$ через ідентичність.) Тому$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ через теорему ASA ($ASA = ASA$).

Резюме:

$\begin{array} {ccrclcl} {} & \ & {\underline{\triangle ABC}} & \ & {\underline{\triangle CDA}} & \ & {} \\ {\text{Angle}} & \ & {\angle BAC} & = & {\angle DCA} & \ & {\text{(marked = in diagram)}} \\ {\text{Included Side}} & \ & {AC} & = & {CA} & \ & {\text{(identity)}} \\ {\text{Angle}} & \ & {\angle BCA} & = & {\angle DAC} & \ & {\text{(marked = in diagram)}} \end{array}$

(3)$AB = CD$ і$BC = DA$ тому, що вони є відповідними сторонами конгруентних трикутників. Тому$x = AB = CD = 12$ і$y = BC = DA = 11$.

Відповідь:

(1)$\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

(2). $ASA = ASA$:$\angle A, AC, \angle C$$\triangle ABC = \angle C$ оф$CA$,$\angle A$ оф$\triangle CDA$.

(3)$x = 12$,$y = 11$.

Розглянемо тепер$\triangle ABC$ і на$\triangle DEF$ малюнку$\PageIndex{3}$. $\angle A$ and $\angle B$

Малюнок$\PageIndex{3}$. Два кути та a: i невключені сторони дорівнюють відповідно двом кутам і невключеній стороні$\triangle DEF$.$\triangle ABC$

з$\triangle ABC$ дорівнюють відповідно$\angle D$ і$\angle E$ з$\triangle DEF$, але ми не маємо інформації про сторони, включені між цими кутами,$AB$ і$DE$, Замість цього ми знаємо, що невключена сторона BC дорівнює відповідної невключеної стороні$EF$. Тому, як все стоїть, ми не можемо$ASA = ASA$ зробити висновок, що трикутники є конгруентними, Однак ми можемо показати$\angle C$ рівні,$\angle F$ як у теоремі$\PageIndex{3}$, section 1.5 $(\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ and $\angle F = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ})$. Тоді ми можемо застосувати теорему ASA до кутів Band$C$ і їх включеної сторони$BC$ та відповідної кути$E$ і$F$ з включеним бічним EF. Ці зауваження призводять нас до наступної теореми:

Теорема$\PageIndex{2}$ (AAS or Angle-Angle-Side Theorem)

Два трикутника є конгруентними, якщо два кути і невключена сторона одного трикутника дорівнюють відповідно двом кутам і відповідній невключеній стороні іншого трикутника ($AAS = AAS$).

На малюнку$\PageIndex{4}$, if $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$ and $BC = EF$ then $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

Малюнок$\PageIndex{4}$. These two triangles are congruent by $AAS = AAS$.

Доказ

$\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (\angle D + \angle E) = \angle F$. Трикутники потім конгруентні,$ASA = ASA$ застосовуючи до$\angle B$. $\angle C$і$BC$$\angle ABC$ і$\angle E, \angle F$ і$EF$ з$\triangle DEF$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Для двох трикутників на схемі

1. написати заяву про конгруентність,
2. дати привід для (1),
3. знайти$x$ і$y$.

Рішення

(1)$\triangle ACD \cong \triangle BCD$.

(2)$AAS = AAS$ так як$\angle A, \angle C$ і невключена сторона$CD$ дорівнює відповідно$\angle B, \angle C$ і не включена$CD$ сторона$\triangle BCD$.$\angle ACD$

$\begin{array} {ccrclcl} {} & \ & {\underline{\triangle ACD}} & \ & {\underline{\triangle BCD}} & \ & {} \\ {\text{Angle}} & \ & {\angle A} & = & {\angle B} & \ & {\text{(marked = in diagram)}} \\ {\text{Angle}} & \ & {\angle ACD} & = & {\angle BCD} & \ & {\text{(marked = in diagram)}} \\ {\text{Unincluded Side}} & \ & {CD} & = & {CD} & \ & {\text{(identity)}} \end{array}$

(3)$AC = BC$ і$AD = BD$ оскільки вони є відповідними сторонами конгруентних трикутників. Тому$x = AC = BC = 10$ і$y = AD = BD$. Так як$AB = AD + BD = y + y = 2y = 12$, ми повинні мати$y = 6$.

Відповідь

(1)$\triangle ACD \cong \triangle BCD$

(2)$AAS = AAS$:$\angle A, \angle C, CD$$\triangle ACD = \angle B, \angle C, CD$ з$\triangle BCD$.

(3)$x = 10$,$y = 6$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Для двох трикутників на схемі

1. написати заяву про конгруентність,
2. дати привід для (1),
3. знайти$x$ і$y$.

Рішення

Частина (1) і частина (2) ідентичні Прикладу$\PageIndex{2}$.

(3):

$\begin{array} {rcl} {AB} & = & {CD} \\ {3x - y} & = & {2x + 1} \\ {3x - 2x - y} & = & {1} \\ {x - y} & = & {1} \end{array}$і$\begin{array} {rcl} {BC} & = & {DA} \\ {3x} & = & {2y + 4} \\ {3x - 2y} & = & {4} \end{array}$

Вирішуємо ці рівняння одночасно для$x$ і$y$:

Перевірка:

Відповідь:

(1) і (2) те саме, що і приклад$\PageIndex{2}$.

(3)$x = 2$,$y = 1$.

Приклад$\PageIndex{5}$

З вершини вежі Тон берег, корабель Сіс видно в море, Точка$P$ вздовж узбережжя також видно з$T$ так, що$\angle PTB = \angle STB$. Якщо відстань від$P$ підстави вежі$B$ становить 3 милі, як далеко знаходиться корабель від точки Бон берега?

Рішення

$\triangle PTB \cong \triangle STB$по$ASA = ASA$. Тому$x = SB = FB = 3$.

Відповідь: 3 милі

Історична записка

Метод знаходження відстані кораблів у морі, описаний у прикладі,$\PageIndex{5}$ приписується грецькому філософу Фалесу (бл. 600 р. До н.е.). Ми знаємо від різних авторів, що теорема ASA використовувалася для вимірювання відстаней з давніх часів, Існує історія, що один з офіцерів Наполеона використовував теорему ASA для вимірювання ширини річки, яку його армія повинна була перетнути, (див. Завдання 25 нижче.)

Проблеми

1 - 4. Для кожного з наступних (1) намалюйте трикутник з двома кутами і включеною стороною і (2) виміряйте решту сторін і кут,

1. $\triangle ABC$з$\angle A = 40^{\circ}$,$\angle B = 50^{\circ}$, і$AB = 3$ дюймів,

2. $\triangle DEF$з$\angle D = 40^{\circ}$,$\angle E = 50^{\circ}$, і$DE = 3$ дюймів,

3. $\triangle ABC$з$\angle A = 50^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$, і$AB = 3$ дюймів,

4. $\triangle DEF$з$\angle D = 50^{\circ}$,$\angle E = 40^{\circ}$, і$DE = 3$ дюймів.

5 - 8. Назвіть сторону, що входить між кутами:

5. $\angle A$і$\angle B$ в$\triangle ABC$.

6. $\angle X$і$\angle Y$ в$\triangle XYZ$.

7. $\angle D$і$\angle F$ в$\triangle DEF$.

8. $\angle S$і$\angle T$ в$\triangle RST$.

9 - 22. Для кожного з наступних

(1) написати заяву про конгруентність для двох трикутників,

(2) дати причину (1) (SAS, ASA або AAS теореми),

(3) знайти$x$, або$x$ і$y$.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23 - 26. Для кожного з наведених нижче, включіть заяву про конгруентність та причину як частину вашої відповіді:

23. На схемі наскільки далеко знаходиться корабель S від точки$P$ на узбережжі?

24. Корабель$S$ спостерігається з точок$A$ і$B$ вздовж узбережжя. Трикутник$ABC$ потім будується і вимірюється, як на схемі, Як далеко знаходиться корабель від точки$A$?

25. Знайдіть відстань$AB$ через річку, якщо$AC = CD = 5$ і$DE = 7$ як на схемі.

26. яка відстань через водойму?