4.2: Аналітична трансформаційна геометрія
- Page ID
- 58471
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Мета полягає в розробці матричних формул для довільних ізометрій, використовуючи основні формули ізометрії, наведені нижче, як будівельні блоки.
Записується точка з нормальними координатами (x, y) в однорідних координатах (x, y, 1).
| Перекласти | Т (х, у, 1) =\(\begin{bmatrix}1 & 0&a \\ 0 & 1&b \\0&0&1 \end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}x\\ y \\1 \end{bmatrix}\) |
| Відображення над віссю Y | M y (x, y, 1) =\(\begin{bmatrix}-1 & 0&0 \\ 0 & 1&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}\) (\ почати {bmatrix} х\ y\\ 1\ end {bmatrix}\) |
| Відображення над віссю x | M x (x, y, 1) =\(\begin{bmatrix}1 & 0&0 \\ 0 & -1&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}\) (\ почати {bmatrix} х\ y\\ 1\ end {bmatrix}\) |
| Обертати проти годинникової стрілки навколо початку | R φ (x, y, 1) =\(\begin{bmatrix}cosφ & -sinφ &0 \\ sinφ & cosφ &0 \\0&0&1 \end{bmatrix}\) (\ почати {bmatrix} х\ y\\ 1\ кінець {bmatrix}\) |
Мета: розробити обертання навколо точки [x 0, y 0] T, використовуючи наступні кроки.
- Знайдіть перетворення, яке переміщує [x 0, y 0] T до початку.
- Знайдіть перетворення, яке рухається [x 0, y 0] T до початку, а потім обертається на φ.
- Знайти перетворення, яке рухає [x 0, y 0] T до початку, обертається на φ, потім повертає початок до [x 0, y 0] T.
- Стан, використовуючи матричні позначення, перетворення, яке обертає площину навколо точки [x 0, y 0] T на φ.
Мета: розробити відображення про вертикальну лінію, задану x=a, використовуючи наступні кроки.
- Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію x = a до осі y.
- Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію x = a до осі y, а потім відображає площину над віссю y.
- Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію x = a до осі y, відображає площину над віссю y, а потім повертає вісь y до лінії x = a.
- Стан, використовуючи матричні позначення, перетворення, яке відображає про довільну вертикальну лінію x=a.
Мета: розробити відображення про горизонтальну лінію, задану y=b, використовуючи наступні кроки.
- Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію y=b до -осі.
- Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію y=b до осі x, а потім відображає площину над віссю x.
- Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію y=b до осі x, відображає площину над віссю x, а потім повертає вісь x до лінії y=b.
- Стан, використовуючи матричні позначення, перетворення, яке відображає про довільну горизонтальну лінію y=b.
Розробити відображення про довільної (невертикальної) лінії.