4.2: Аналітична трансформаційна геометрія

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Мета полягає в розробці матричних формул для довільних ізометрій, використовуючи основні формули ізометрії, наведені нижче, як будівельні блоки.

Визначення: Однорідні координати

Записується точка з нормальними координатами (x, y) в однорідних координатах (x, y, 1).

Таблиця $\PageIndex{1}$ : Лінійні перетворення для ізометрій
Перекласти	Т (х, у, 1) = $\begin{bmatrix}1 & 0&a \\ 0 & 1&b \\0&0&1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}x\\ y \\1 \end{bmatrix}$
Відображення над віссю Y	M _y (x, y, 1) = $\begin{bmatrix}-1 & 0&0 \\ 0 & 1&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}$ (\ почати {bmatrix} х\ y\\ 1\ end {bmatrix}\)
Відображення над віссю x	M _x (x, y, 1) = $\begin{bmatrix}1 & 0&0 \\ 0 & -1&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}$ (\ почати {bmatrix} х\ y\\ 1\ end {bmatrix}\)
Обертати проти годинникової стрілки навколо початку	R _φ (x, y, 1) = $\begin{bmatrix}cosφ & -sinφ &0 \\ sinφ & cosφ &0 \\0&0&1 \end{bmatrix}$ (\ почати {bmatrix} х\ y\\ 1\ кінець {bmatrix}\)

Мета: розробити обертання навколо точки [x ₀, y ₀] ^T, використовуючи наступні кроки.

Знайдіть перетворення, яке переміщує [x ₀, y ₀] ^T до початку.
Знайдіть перетворення, яке рухається [x ₀, y ₀] ^{T до початку}, а потім обертається на φ.
Знайти перетворення, яке рухає [x ₀, y ₀] ^T до початку, обертається на φ, потім повертає початок до [x ₀, y ₀] ^T.
Стан, використовуючи матричні позначення, перетворення, яке обертає площину навколо точки [x ₀, y ₀] ^T на φ.

Мета: розробити відображення про вертикальну лінію, задану x=a, використовуючи наступні кроки.

Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію x = a до осі y.
Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію x = a до осі y, а потім відображає площину над віссю y.
Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію x = a до осі y, відображає площину над віссю y, а потім повертає вісь y до лінії x = a.
Стан, використовуючи матричні позначення, перетворення, яке відображає про довільну вертикальну лінію x=a.

Мета: розробити відображення про горизонтальну лінію, задану y=b, використовуючи наступні кроки.

Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію y=b до -осі.
Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію y=b до осі x, а потім відображає площину над віссю x.
Знайдіть перетворення, яке переміщує лінію y=b до осі x, відображає площину над віссю x, а потім повертає вісь x до лінії y=b.
Стан, використовуючи матричні позначення, перетворення, яке відображає про довільну горизонтальну лінію y=b.

Розробити відображення про довільної (невертикальної) лінії.