Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1: Трансформація

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58476

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    4.1.1 Планарні перетворення

    Визначення: Трансформація

    Функція є перетворенням тоді і тільки тоді, коли вона один-на-один і на.

    Визначення: Планарне перетворення

    Трансформація - це площинне перетворення тоді і тільки тоді, коли воно становить від 2 до 2.

    Для цього курсу всі перетворення будуть перетвореннями евклідової площини.

    Опишіть ефект кожного з наступних перетворень, розглянувши ефекти на область (область) з наступними вершинами. (0,0), (2,0), (3,5), (0,4). Підказка: відображати вершини, а потім відображати лінії, що з'єднують вершини.

    1. Т 1: (х, у) → (у, х).
    2. Т 2: (х, у) → (х/2, г/2).
    3. Т 3: (х, у) → (1-х 3, 1-й 3)
    4. Т 4: (х, у) → ((х 2+у 2) 1/2 х, (х 2+у 2) 1/2 у).

    4.1.2 Ізометрія

    Визначення: Ізометрія

    Перетворення - це ізометрія тоді і тільки тоді, коли ll P - Q ll = ll T (P) - T (Q) ll.

    Визначте, які з перерахованих нижче перетворень є ізометріями.

    1. Т 1: (х, у) → (2х, 2у)
    2. Т 1: (х, у) → (-у, -х)
    3. Т 1: (х, у) →\(\begin{bmatrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ & cosθ \end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)
    Лемма

    Склад двох ізометрій - ізометрія.

    Теорема: Ізометрії зберігають колінеарність

    Для будь-якої ізометрії Т, якщо A, B і C є колінеарними, то T (A), T (B) і T (C) є колінеарними.

    Наслідки: Ізометрії зберігають між собою

    Для будь-якої ізометрії Т, якщо A-B-C, то T (A) -T (B) -T (C).

    Теорема: Ізометрії зберігають трикутники

    Для будь-якої ізометрії Т і будь-яких трьох точок △ ABC △ T (A) T (B) T (C).

    Теорема: Ізометрії зберігають кути

    Для будь-якої ізометрії T mABC = Mt (A) T (B) T (C) і будь-яких трьох точок.

    Теорема: Ізометрії зберігають паралелізм

    Для будь-якої ізометрії, якщо T ν 1 ll ly 2 і тільки якщо T (ly 1) ll T (2).

    Теорема: Ізометрії зберігають кола

    Для будь-якої ізометрії Т-кола зіставляються з конгруентними колами.

    4.1.3 Розриви

    Визначення: Дилатація

    Перетворення є розширенням тоді і лише тоді, коли воно може бути визначено точкою Z та співвідношенням k таким, що T (P) = Q, де Z-P-Q та llzQll/llzpll=K.

    Визначення: Подібність

    Трансформація - це схожість тоді і лише тоді, коли вона може бути виражена як композиція ізометрії та розширення.

    Лемма: подібність лусочок сегментів рівномірно

    Для будь-якої подібності Т, ЛТ (А) Т (Б) ЛЛ/ЛЛаБЛЛ = К.

    Теорема: Подібність зберігає колінеарність

    Для будь-якої подібності T якщо A, B і C є колінеарними, то T (A), T (B) і T (C) є колінеарними.

    Наслідки: Подібність зберігає між собою

    Для будь-якої подібності T якщо потім A-B-C то T (A) -T (B) -T (C).

    Теорема: Подібність зберігає схожість трикутника

    Для будь-якої подібності Т і будь-яких трьох точок △ ABC△ T (A) T (B) T (C).

    Теорема: Подібність зберігає кути

    T Для будь-якої подібності і будь-яких трьох точок maBcmT (A) T (B) T (C).

    Теорема: Подібність зберігає паралелізм

    Для будь-якої подібності T ν 1 ll ➤ 2 тоді і тільки тоді, коли T (ν 1) ll T (ν 2).

    Теорема

    Для будь-якої подібності T кола зіставляються на кола.

    Лемма: подібності закриті

    Склад двох подібностей - це схожість.