4.1: Трансформація

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4: Трансформаційна геометрія
- 4.2: Аналітична трансформаційна геометрія

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

4.1.1 Планарні перетворення

Визначення: Трансформація

Функція є перетворенням тоді і тільки тоді, коли вона один-на-один і на.

Визначення: Планарне перетворення

Трансформація - це площинне перетворення тоді і тільки тоді, коли воно становить від ² до ².

Для цього курсу всі перетворення будуть перетвореннями евклідової площини.

Опишіть ефект кожного з наступних перетворень, розглянувши ефекти на область (область) з наступними вершинами. (0,0), (2,0), (3,5), (0,4). Підказка: відображати вершини, а потім відображати лінії, що з'єднують вершини.

Т ₁: (х, у) → (у, х).
Т ₂: (х, у) → (х/2, г/2).
Т ₃: (х, у) → (1-х ³, 1-й ³)
Т ₄: (х, у) → ((х ^2+у ²) ^1/2 х, (х ^2+у ²) ^1/2 у).

4.1.2 Ізометрія

Визначення: Ізометрія

Перетворення - це ізометрія тоді і тільки тоді, коли ll P - Q ll = ll T (P) - T (Q) ll.

Визначте, які з перерахованих нижче перетворень є ізометріями.

Т ₁: (х, у) → (2х, 2у)
Т ₁: (х, у) → (-у, -х)
Т ₁: (х, у) → $\begin{bmatrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ & cosθ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Лемма

Склад двох ізометрій - ізометрія.

Теорема: Ізометрії зберігають колінеарність

Для будь-якої ізометрії Т, якщо A, B і C є колінеарними, то T (A), T (B) і T (C) є колінеарними.

Наслідки: Ізометрії зберігають між собою

Для будь-якої ізометрії Т, якщо A-B-C, то T (A) -T (B) -T (C).

Теорема: Ізометрії зберігають трикутники

Для будь-якої ізометрії Т і будь-яких трьох точок △ ABC △ T (A) T (B) T (C).

Теорема: Ізометрії зберігають кути

Для будь-якої ізометрії T mABC = Mt (A) T (B) T (C) і будь-яких трьох точок.

Теорема: Ізометрії зберігають паралелізм

Для будь-якої ізометрії, якщо T _{ν 1} ll _{ly 2} і тільки якщо T (_{ly 1}) ll T (₂).

Теорема: Ізометрії зберігають кола

Для будь-якої ізометрії Т-кола зіставляються з конгруентними колами.

4.1.3 Розриви

Визначення: Дилатація

Перетворення є розширенням тоді і лише тоді, коли воно може бути визначено точкою Z та співвідношенням k таким, що T (P) = Q, де Z-P-Q та llzQll/llzpll=K.

Визначення: Подібність

Трансформація - це схожість тоді і лише тоді, коли вона може бути виражена як композиція ізометрії та розширення.

Лемма: подібність лусочок сегментів рівномірно

Для будь-якої подібності Т, ЛТ (А) Т (Б) ЛЛ/ЛЛаБЛЛ = К.

Теорема: Подібність зберігає колінеарність

Для будь-якої подібності T якщо A, B і C є колінеарними, то T (A), T (B) і T (C) є колінеарними.

Наслідки: Подібність зберігає між собою

Для будь-якої подібності T якщо потім A-B-C то T (A) -T (B) -T (C).

Теорема: Подібність зберігає схожість трикутника

Для будь-якої подібності Т і будь-яких трьох точок △ ABC△ T (A) T (B) T (C).

Теорема: Подібність зберігає кути

T Для будь-якої подібності і будь-яких трьох точок maBcmT (A) T (B) T (C).

Теорема: Подібність зберігає паралелізм

Для будь-якої подібності T ν ₁ ll ➤ ₂ тоді і тільки тоді, коли T (_{ν 1}) ll T (ν ₂).

Теорема

Для будь-якої подібності T кола зіставляються на кола.

Лемма: подібності закриті

Склад двох подібностей - це схожість.