3.3: Одночасний

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Визначення: Медіана

Лінія є медіаною тоді і тільки тоді, коли вона з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

3.3.1 Досліджуйте

Geogebra буде корисним для виконання цих експериментів. Будьте настільки докладні, як ви можете зі своїми домислами.

Використовуйте приклад Geogebra, $\PageIndex{1}$ щоб експериментувати з співвідношенням трьох перпендикулярних бісектрис трикутника. Перемістіть вершини трикутника навколо. Що залишається вірним щодо перпендикулярної бісектриси?

3.3.1.jpg — Малюнок $\PageIndex{1}$ : GeoGebra: Перпендикулярні бісектриси

Використовуйте приклад Geogebra, $\PageIndex{2}$ щоб експериментувати з відносинами трьох медіанів трикутника. Перемістіть вершини трикутника навколо. Що залишається правдою про медіани?

3.3.2.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ : GeoGebra: Медіани

Використовуйте приклад Geogebra, $\PageIndex{3}$ щоб експериментувати з співвідношенням трьох кутових бісектрис трикутника. Перемістіть вершини трикутника навколо. Що залишається вірним щодо бісектриси кута?

3.3.3.jpg — Малюнок $\PageIndex{3}$ : GeoGebra: Кутові бісектриси

Використовуйте приклад Geogebra, $\PageIndex{4}$ щоб експериментувати з співвідношенням трьох висот трикутника. Перемістіть вершини трикутника навколо. Що залишається вірним щодо висот?

3.3.4.png — Малюнок $\PageIndex{4}$ : GeoGebra: Висоти

Побудувати △ ABC. Побудувати △ XYZ такі, що X-B-Y, Y-C-Z, Z-A-X і XY ll AC, YZ ll AB, ZX ll BC. Побудувати перпендикулярні бісектриси △ XYZ. Що, здається, вірно з ними стосовно △ ABC.

3.3.2 Довести

Лемма

Розглянемо три точки A, B, C з ₁ і ₂ перпендикулярними бісектрисами AB і BC відповідно. Нехай М ₂ = ₂ до н.е. Показати ₁ ll ➤ ₂ передбачає існування D = ₂ AB таким чином, що A, B і D є колінеарними, а BDM ₂ є прямим кутом.

Теорема: Перпендикулярні бісектриси

Доведіть гіпотезу про перпендикулярну бісектрису.

Теорема: Циркумцентр

Три точки однозначно визначають коло.

Лемма

Два медіани перетинаються в точці 2/3 шляху вниз обидва медіани.

Теорема: Медіанс

Доведіть здогадки про медіани.

Теорема

Точка знаходиться на бісектрисі кута тоді і лише тоді, коли він рівновіддалений від обох сторін кута.

Теорема: Кутові бісектриси

Доведіть гіпотезу про кутові бісектриси.

Теорема: Інцентр

Для кожного трикутника існує коло всередині і дотична до всіх трьох сторін.

Теорема: Висоти

Доведіть здогадки про висотах.