19.4: Перевірки

Припустимо, нам потрібно перевірити, що задана конфігурація визначається певною властивістю. Чи можна виконати це завдання геометричною конструкцією з заданими інструментами? Ми припускаємо, що ми можемо перевірити, що дві побудовані точки збігаються.

Очевидно, що якщо конфігурація є конструктивною, то її можна перевірити - просто повторіть конструкцію і перевірте, чи результат однаковий. Деякі неконструктивні конфігурації можуть бути перевірені. Наприклад, це не створює проблем перевірити, чи даний кут перетинається, поки неможливо перетнути заданий кут за допомогою лінійки та циркуля. Регулярний 7-кутник надає ще один приклад цього типу - його легко перевірити, тоді як теорема Гаусса - Вантцеля стверджує, що неможливо побудувати за допомогою лінійки та компаса.

Оскільки ми не довели неможливість трисекції кута та теореми Гауса—Ванцеля, наступний приклад може бути більш задовільним. Він заснований на вправі 19.3.2, в якому зазначено, що неможливо побудувати рівносторонній лише з набірним квадратом.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Зробіть квадратну конструкцію, перевіряючи, що даний трикутник рівносторонній.

Підказка

Зверніть увагу, що три перпендикуляра на схемі зустрічаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли трикутник рівнобедрений. Скористайтеся цим спостереженням пару разів, щоб переконатися, що даний трикутник рівносторонній.

Це спостереження призводить до джерела неможливих конструкцій у більш сильному сенсі - тих, які навіть не піддаються перевірці.

Наступний приклад тісно пов'язаний з вправою 10.3.2. Нагадаємо, що circumtool створює коло, що проходить через будь-які задані три точки або лінію, якщо всі три точки лежать на одній лінії.

Проблема

Покажіть, що лише за допомогою circumtool неможливо перевірити, що задана точка є центром заданого кола\(\Gamma\). Зокрема, неможливо побудувати центр тільки з круговим інструментом.

Зауваження

У геометричних конструкціях ми дозволяємо вибрати деякі вільні точки, скажімо будь-яку точку на площині, або точку на побудованій лінії, або точку, яка не лежить на побудованій лінії, або точку на заданій прямій, яка не лежить на заданому колі, і так далі.

В принципі, при здійсненні такого вільного вибору можна зробити правильну конструкцію випадково. Тим не менш, ми не приймаємо такий збіг як справжнє будівництво; ми говоримо, що конструкція виробляє центр, якщо вона виробляє його для будь-якого вільного вибору.

Рішення

Аргументуючи протиріччям, припустимо, що у нас є перевіряюча конструкція.

Нанесіть інверсію по колу перпендикулярно всій конструкції.\(\Gamma\) Відповідно до Слідство 10.5.1, коло\(\Gamma\) відображає себе. Оскільки інверсія посилає коло до окружності, ми отримуємо, що вся конструкція відображена на еквівалентну конструкцію; тобто звуження з іншим вибором вільних точок.

Згідно з вправою 10.3.1, інверсія направляє центр\(\Gamma\) в іншу точку. Однак ця конструкція стверджує, що це ще одна точка центру — протиріччя.

Аналогічний приклад неможливих конструкцій для лінійки і паралельного інструменту наведено у вправі 14.2.4.

Обговоримо ще один приклад для побудови тільки лінійки. Зауважте, що побудови тільки лінійки є інваріантними щодо проективних перетворень. Зокрема, для вирішення наступної вправи досить побудувати проективне перетворення, яке фіксує дві точки і переміщує їх середину.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Показати, що не існує побудови лише лінійки, яка перевіряє, що задана точка є середньою точкою даного сегмента. Зокрема, неможливо побудувати середину тільки за допомогою лінійки.

Підказка

Розглянемо перспективну проекцію\((x,y) \mapsto (\tfrac{1}{x}, \tfrac{y}{x})\). Нехай\(A = (1, 1), B = (3, 1)\), і\(M = (2, 1)\). Зверніть увагу, що\(M\) це середина\([AB]\).

Їх образи є\(A' = (1, 1)\)\(B' = (\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3})\), і\(M' = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})\). Зрозуміло,\(M'\) це зверніть увагу на середину\([A'B']\).

Наступна теорема є більш сильною версією вправи вище.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Не існує побудови лише лінійки, яка перевіряє, що задана точка є центром заданого кола. Зокрема, неможливо побудувати центр тільки за допомогою лінійки.

Доказ використовує конструкцію в теоремі 16.3.2.

ескіз доказу

Той самий аргумент, що і в наведеній вище задачі, показує, що досить побудувати проективне перетворення, яке посилає задане коло\(\Gamma\) до кола\(\Gamma'\) таким чином, що центр не\(\Gamma'\) є зображенням центру\(\Gamma\).

Виберіть коло\(\Gamma\), яке лежить в площині\(\Pi\) в евклідовому просторі. За теоремою 16.3.1 обернене коло в сфері - це коло або пряма. Закріпіть сферу\(\Sigma\) з центром\(O\) так, щоб\(\Gamma'\) інверсія була\(\Gamma\) колом, а площина,\(\Pi'\)\(\Gamma'\) що містить, не паралельна\(\Pi\); будь-яка сфера \(\Sigma\)в загальному положенні підійде.

Нехай\(Z\) і\(Z'\) позначають центри\(\Gamma\) і\(\Gamma'\). Зауважте, що\(Z'\notin(OZ)\). Звідси випливає, що перспективна проекція\(\Pi\to \Pi'\) з центром\(\Gamma\) на\(O\)\(Z'\) посилає\(\Gamma'\), але не є зображенням\(Z\).