10.2: Перехресне співвідношення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59083

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Наступна теорема дає деякі величини, виражені в відстанях або кутах, які не змінюються після інверсії.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

\(ABCD\)\(A'B'C'D'\)Дозволяти і бути два чотирикутника такі\(A',B',C'\), що точки, і\(D'\) є оберненнями\(A,B,C\), і\(D\) відповідно.

Тоді

(а)

\(\dfrac{AB \cdot CD}{BC \cdot DA} = \dfrac{A'B' \cdot C'D'}{B'C' \cdot D'A'}\).

(б)

\(\measuredangle ABC + \measuredangle CDA \equiv -(\measuredangle A'B'C' + \measuredangle C'D'A')\).

Доказ

(а). \(O\)Дозволяти бути центром інверсії. Згідно з Леммою 10.1.1,\(\triangle AOB \sim \triangle B'OA'\). Тому,

\(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{OA}{OB'}.\)

Аналогічно,

\(\dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{OC}{OB'}\),\(\dfrac{CD}{C'D'} = \dfrac{OC}{OD'}\),\(\dfrac{DA}{D'A'} = \dfrac{OA}{OD'}\).

Тому,

\(\dfrac{AB}{A'B'} \cdot \dfrac{B'C'}{BC} \cdot \dfrac{CD}{C'D'} \cdot \dfrac{D'A'}{DA} = \dfrac{OA}{OB'} \cdot \dfrac{OB'}{OC} \cdot \dfrac{OC}{OD'} \cdot \dfrac{OD'}{OA}.\)

Звідси (а) випливає.

(б). Згідно з Леммою 10.1.1,

\[\begin{array} {l} {\measuredangle ABO \equiv -\measuredangle B'A'O, \measuredangle OBC \equiv -\measuredangle OC'B',} \\ {\measuredangle CDO \equiv -\measuredangle D'C'O, \measuredangle ODA \equiv -\measuredangle OA'D'.} \end{array}\]

За аксіомою IIIb,

\(\measuredangle ABC \equiv \measuredangle ABO + \measuredangle OBC\),\(\measuredangle D'C'B' \equiv \measuredangle D'C'O + \measuredangle OC'B'\),
\(\measuredangle CDA \equiv \measuredangle CDO + \measuredangle ODA\),\(\measuredangle B'A'D' \equiv \measuredangle B'A'O + \measuredangle OA'D'\),

Тому, підсумовуючи чотири ідентичності в 10.2.1, ми отримуємо, що

\(\measuredangle ABC +\measuredangle CDA \equiv -(\measuredangle D'C'B' + \measuredangle B'A'D')\).

Застосовуючи Axiom IIib та вправу 7.4.5, ми отримуємо, що

\(\begin{array} {rcl} {\measuredangle A'B'C' + \measuredangle C'D'A'} & \equiv & {-(\measuredangle B'C'D' + \measuredangle D'A'B') \equiv} \\ {} & \equiv & {\measuredangle D'C'B' + \measuredangle B'A'D'.} \end{array}\)

Звідси випливає (б).

(c). Випливає з (b) і Слідство 9.3.2.