10.2: Перехресне співвідношення

Наступна теорема дає деякі величини, виражені в відстанях або кутах, які не змінюються після інверсії.

Теорема$\PageIndex{1}$

$ABCD$$A'B'C'D'$Дозволяти і бути два чотирикутника такі$A',B',C'$, що точки, і$D'$ є оберненнями$A,B,C$, і$D$ відповідно.

Тоді

(а)

$\dfrac{AB \cdot CD}{BC \cdot DA} = \dfrac{A'B' \cdot C'D'}{B'C' \cdot D'A'}$.

(б)

$\measuredangle ABC + \measuredangle CDA \equiv -(\measuredangle A'B'C' + \measuredangle C'D'A')$.

(c) Якщо чотирикутник$ABCD$ вписаний, то так і є$\square A'B'C'D'$.

Доказ

(а). $O$Дозволяти бути центром інверсії. Згідно з Леммою 10.1.1,$\triangle AOB \sim \triangle B'OA'$. Тому,

$\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{OA}{OB'}.$

Аналогічно,

$\dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{OC}{OB'}$,$\dfrac{CD}{C'D'} = \dfrac{OC}{OD'}$,$\dfrac{DA}{D'A'} = \dfrac{OA}{OD'}$.

Тому,

$\dfrac{AB}{A'B'} \cdot \dfrac{B'C'}{BC} \cdot \dfrac{CD}{C'D'} \cdot \dfrac{D'A'}{DA} = \dfrac{OA}{OB'} \cdot \dfrac{OB'}{OC} \cdot \dfrac{OC}{OD'} \cdot \dfrac{OD'}{OA}.$

Звідси (а) випливає.

(б). Згідно з Леммою 10.1.1,

$$\begin{array} {l} {\measuredangle ABO \equiv -\measuredangle B'A'O, \measuredangle OBC \equiv -\measuredangle OC'B',} \\ {\measuredangle CDO \equiv -\measuredangle D'C'O, \measuredangle ODA \equiv -\measuredangle OA'D'.} \end{array}$$

За аксіомою IIIb,

$\measuredangle ABC \equiv \measuredangle ABO + \measuredangle OBC$,$\measuredangle D'C'B' \equiv \measuredangle D'C'O + \measuredangle OC'B'$,
$\measuredangle CDA \equiv \measuredangle CDO + \measuredangle ODA$,$\measuredangle B'A'D' \equiv \measuredangle B'A'O + \measuredangle OA'D'$,

Тому, підсумовуючи чотири ідентичності в 10.2.1, ми отримуємо, що

$\measuredangle ABC +\measuredangle CDA \equiv -(\measuredangle D'C'B' + \measuredangle B'A'D')$.

Застосовуючи Axiom IIib та вправу 7.4.5, ми отримуємо, що

$\begin{array} {rcl} {\measuredangle A'B'C' + \measuredangle C'D'A'} & \equiv & {-(\measuredangle B'C'D' + \measuredangle D'A'B') \equiv} \\ {} & \equiv & {\measuredangle D'C'B' + \measuredangle B'A'D'.} \end{array}$

Звідси випливає (б).

(c). Випливає з (b) і Слідство 9.3.2.