10.8: Розв'язування DE за допомогою перетворення Фур'є
- Page ID
- 62898
Нехай
\[D = \dfrac{d}{dt}.\]
Наша мета полягає в тому, щоб побачити, як використовувати перетворення Фур'є для розв'язання диференціальних рівнянь, таких як
\[P(D) y = f(t).\]
\(P(D)\)Ось поліноміальний оператор, напр.
\[D^2 + 8D + 7I.\]
Спочатку відзначимо наступну формулу:
\[\widehat{Df} (\omega) = i \omega \hat{f}.\]
\(Proof\). Це просто інтеграція по частинам:
\[\begin{array} {rcl} {\widehat{Df} (\omega)} & = & {\int_{-\infty}^{\infty} f'(t) e^{-i \omega t}\ dt} \\ {} & = & {f(t) e^{i\omega t} \vert_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f(t) (-i \omega e^{-i \omega t})\ dt} \\ {} & = & {i \omega \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} \ dt} \\ {} & = & {i \omega \hat{f} (\omega) \ \ \ \text{QED}} \end{array}\]
У третьому рядку ми припустили, що\(f\) розпадається так, що\(f(\infty) = f(-\infty) = 0\).
Це просте розширення рівняння 10.9.4, щоб побачити
\[(\widehat{P(D)f}) (\omega) = P(i \omega) \hat{f}.\]
Тепер ми можемо використовувати це для вирішення деяких диференціальних рівнянь.
Розв'яжіть рівняння
\[y''(t) + 8y'(t) + 7y(t) = f(t) = \begin{cases} e^{-at} & \text{ if } t > 0 \\ 0 & \text{ if } t < 0 \end{cases}\]
Рішення
У цьому випадку ми маємо
\[P(D) = D^2 + 8D + 7I,\]
тому
\[P(s) = s^2 + 8s + 7 = (s + 7)(s + 1).\]
DE
\[P(D)y = f(t)\]
перетворюється на
\[P(iw) \hat{y} = \hat{f}.\]
Використовуючи перетворення Фур'є,\(f\) знайденого в прикладі 10.8.1, ми маємо
\[\hat{y} (\omega) = \dfrac{\hat{f}}{P(i\omega)} = \dfrac{1}{(a + i \omega)(7 + i \omega)(1 + i \omega)}.\]
Інверсія Фур'є говорить про те, що
\[y(t) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{y} (\omega) e^{i \omega t} \ d \omega\]
Як завжди, ми хочемо розширити,\(\hat{y}\) щоб бути функцією комплексної змінної\(z\). Назвемо його\(g(z)\):
\[g(z) = \dfrac{1}{(a + iz)(7 + iz)(1 + iz)}.\]
Тепер ми можемо діяти точно так, як в прикладі 10.8.1. Ми знаємо\(|g(z)| < M/|z|^3\) для деяких постійних\(M\). Таким чином, умови теореми 10.2.2 легко виконуються. Отже, так само, як і в прикладі 10.8.1, у нас є:
Для\(t > 0\),\(e^{izt}\) обмежена у верхній півплощині, тому ми використовуємо контур\(\PageIndex{1}\) на малюнку зліва.
\[\begin{array} {rcl} {y(t) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{y} (\omega) e^{i \omega t} \ d \omega} & = & {\dfrac{1}{2\pi} \lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_4} g(z) e^{izt}\ dz} \\ {} & = & {\dfrac{1}{2\pi} \lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_1 + C_2 + C_3 + C_4} g(z) e^{izt}\ dz} \\ {} & = & {i \sum \text{ residues of } e^{izt} g(z) \text{ in the upper half-plane}} \end{array}\]
Полюси\(e^{izt} g(z)\) знаходяться в
\(ia\),\(7i\),\(i\).
Це все у верхній півплощині. Залишки відповідно,
\[\dfrac{e^{-at}}{i(7 - a)(1 - a)}, \ \ \dfrac{e^{-7t}}{i(a - 7)(6)}, \ \ \dfrac{e^{-t}}{i(a - 1)(6)}\]
Таким чином, для\(t > 0\) нас є
\[y(t) = \dfrac{e^{-at}}{(7 - a)(1 - a)} - \dfrac{e^{-7t}}{(a - 7)(6)} + \dfrac{e^{-t}}{(a - 1)(6)}.\]
.svg)
Більш коротко, коли\(t < 0\) ми використовуємо контур вгорі праворуч. Ми отримуємо точно такий же рядок рівностей, за винятком того, що сума знаходиться над залишками\(e^{izt} g(z)\) в нижній півплощині. Оскільки в нижній півплощині немає полюсів, ми виявляємо, що
\[\hat{y} (t) = 0\]
коли\(t < 0\).
Висновок (реорганізація знаків і порядку термінів):
\[y(t) = \begin{cases} 0 & \text{ for } t < 0 \\ \dfrac{e^{-at}}{(7 - a)(1 - a)} + \dfrac{e^{-7t}}{(7 - a)(6)} - \dfrac{e^{-t}}{(1 - a)(6)} & \text{ for } t > 0. \end{cases}\]
\(|g(z)| < M/|z|^3\)Тому що ми могли б замінити прямокутні контури півколами, щоб обчислити інтеграл інверсії Фур'є.
Розглянемо
\[y'' + y = f(t) = \begin{cases} e^{-at} & \text{ if } t > 0 \\ 0 & \text{ if } t < 0. \end{cases}\]
Знайдіть рішення для\(t > 0\).
Рішення
Працюємо трохи швидше, ніж в попередньому прикладі.
Беручи перетворення Фур'є, отримуємо
\[\hat{y} (\omega) = \dfrac{\hat{f} (\omega)}{P(i \omega)} = \dfrac{\hat{f} (\omega)}{1 - \omega ^2} = \dfrac{1}{(a + i \omega)(1 - \omega ^2)}.\]
(В останньому виразі ми використовували відоме перетворення Фур'є\(f\).)
Як завжди, ми\(\hat{y} (\omega)\) поширюємося на функцію\(z\):
\[g(z) = \dfrac{1}{(a + iz) (1 - z^2)}.\]
Це має прості полюси на
-1, 1,\(ai\).
Оскільки деякі полюси знаходяться на дійсній осі, нам потрібно буде використовувати контур з відступом уздовж дійсної осі і використовувати основне значення для обчислення інтеграла.
Контур зображений на малюнку\(\PageIndex{2}\). Припускаємо, що кожен з маленьких відступів є півколом з радіусом\(r\). Великий прямокутний шлях від\((R, 0)\) до\((-R, 0)\) називається\(C_R\).
.svg)
Для функції\(t > 0\)\(e^{izt} g(z) , M/|z|^3\) у верхній півплощині. Таким чином, отримуємо наступні межі:
\(\begin{array} {ccl} {\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} e^{izt} g(z)\ dz = 0} & \ \ \ \ \ \ & {\text{(Theorem 10.2.2(b))}} \\ {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_2} e^{izt} g(z) \ dz = \pi i \text{Res} (e^{izt} g(z), -1)} & \ \ \ \ \ \ & {\text{(Theorem 10.7.2)}} \\ {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_4} e^{izt} g(z)\ dz = \pi i \text{Res} (e^{izt} g(z), 1)} & \ \ \ \ \ \ & {\text{(Theorem 10.7.2)}} \\ {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_1 + C_3 + C_5} e^{izt} g(z) \ dz = \text{p.v.} \hat{y} (t) e^{i \omega t}\ dt} & \ \ \ \ \ \ & {} \end{array}\)
Поклавши це разом з теоремою залишку, ми маємо
\[\begin{array} {rcl} {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_1 - C_2 + C_3 - C_4 + C_5 + C_R} e^{izt} g(z)\ dz} & = & {\text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{y} (t) e^{i \omega t} \ dt - \pi i \text{Res} (e^{izt} g(z), - 1) - \pi i \text{Res} (e^{izt} g(z), 1)} \\ {} & = & {2\pi i \text{Res} (e^{izt}, ai).} \end{array}\]
Все, що залишилося, це обчислити залишки і зробити деяку арифметику. Ми не показуємо розрахунки, а даємо результати
\[\begin{array} {l} {\text{Res} (e^{izt} g(z), -1) = \dfrac{e^{-it}}{2(a - i)}} \\ {\text{Res} (e^{izt} g(z), 1) = -\dfrac{e^{it}}{2(a + i)}} \\ {\text{Res} (e^{izt} g(z), ai) = -\dfrac{e^{-at}}{i(1 + a^2)}} \end{array}\]
Отримуємо, за те\(t > 0\),
\[\begin{array} {rcl} {y(t)} & = & {\dfrac{1}{2\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{y} (t) e^{i \omega t} \ dt} \\ {} & = & {\dfrac{i}{2} \text{Res} (e^{izt} g(z), -1) + \dfrac{i}{2} \text{Res} (e^{izt} g(z), 1) + i \text{Res} (e^{izt} g(z), ai)} \\ {} & = & {\dfrac{e^{-at}}{1 + a^2} + \dfrac{a}{1 + a^2} \sin (t) - \dfrac{1}{1 + a^2} \cos (t).} \end{array}\]