10.7: перетворення Фур'є
- Page ID
- 62904
Перетворення\(f(x)\) Фур'є функції визначається
\[\hat{f} (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \omega}\ dx\]
Це часто читається як «\(f\)-hat».
Ми можемо відновити вихідну функцію\ f (x)\) за допомогою формули інверсії Фур'є
\[f(x) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) e^{ix \omega} \ d \omega.\]
Отже, перетворення Фур'є перетворює функцію у функцію,\(\omega\) а інверсія Фур'є перетворює її назад.\(x\) Звичайно, все вище залежить від збіжності різних інтегралів.
- Доказ
-
Ми тут не будемо приводити докази. (Ми можемо дістатися до нього пізніше в курсі.)
Нехай
\[f(t) = \begin{cases} e^{-at} & \text{for } t > 0 \\ 0 & \text{for } t < 0 \end{cases}\]
де\(a > 0\). Обчислити\(\hat{f} (\omega)\) і перевірити формулу інверсії Фур'є в цьому випадку.
Рішення
\(\hat{f}\)Обчислення легко: для\(a > 0\)
\[\hat{f} (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \ dt = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-i \omega t}\ dt = \dfrac{1}{a + i \omega} (\text{recall } a > 0).\]
Спочатку слід зазначити, що інверсійний інтеграл сходиться. Щоб уникнути відволікання, ми показуємо це в кінці цього прикладу.
Тепер нехай
\[g(z) = \dfrac{1}{a + iz}\]
Зверніть увагу, що\(\hat{f} (\omega) = g(\omega)\) і\(|g(z)| < \dfrac{M}{|z|}\) для великих\(|z|\).
Для перевірки формули інверсії розглянемо випадки\(t > 0\) і\(t < 0\) окремо. Для\(t > 0\) використовуємо стандартний контур (рис.\(\PageIndex{1}\)).
).svg)
Теорема 10.2.2 (а) передбачає, що
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_1 + C_2 + C_3} g(z) e^{izt}\ dz = 0\]
Чітко
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_4} g(z) e^{izt}\ dz = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) \ d \omega\]
Єдиний полюс\(g(z) e^{izt}\) знаходиться в\(z = ia\), який знаходиться у верхній півплощині. Отже, застосовуючи теорему про залишок на весь замкнутий контур, отримаємо для великих\(x_1, x_2\):
\[\int_{C_1 + C_2 + C_3 + C_4} g(z) e^{izt}\ dz = 2 \pi i \text{Res} (\dfrac{e^{izt}}{a + iz}, ia) = \dfrac{e^{-at}}{i}.\]
Об'єднавши три рівняння 10.8.6, 10.8.7 і 10.8.8, ми маємо
\[\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) \ d \omega = 2\pi e^{-at} \ \ \ \ \text{for } t > 0\]
Це показує формули інверсії для\(t > 0\).
Для\(t < 0\) цього використовуємо контур на рис\(\PageIndex{2}\).
).svg)
Теорема 10.2.2 (b) передбачає, що
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_1 + C_2 + C_3} g(z) e^{izt}\ dz = 0\]
Чітко
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \dfrac{1}{2\pi} \int_{C_4} g(z) e^{izt} \ dz = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) \ d \omega\]
Так як, полюсів\(g(z) e^{izt}\) в нижній півплощині немає, застосувавши теорему залишку на весь замкнутий контур, отримаємо для великих\(x_1, x_2\):
\[\int_{C_1 + C_2 + C_3 + C_4} g(z) e^{izt}\ dz = -2\pi i \text{Res} (\dfrac{e^{izt}}{a + iz}, ia) = 0.\]
Таким чином,
\[\dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) \ d \omega = 0 \ \ \ \ \text{for } t < 0\]
Це показує формулу інверсії для\(t < 0\).
Нарешті, наведемо обіцяний аргумент про те, що інверсійний інтеграл сходиться. За визначенням
\[\begin{array} {rcl} {\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) e^{i \omega t} \ d \omega} & = & {\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{i \omega t}}{a + i \omega} d \omega} \\ {} & = & {\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{a \cos (\omega t) + \omega \sin (\omega t) - i \omega \cos (\omega t) + ia \sin (\omega t)}{a^2 + \omega^2} \ d \omega} \end{array}\]
Терміни без множника\(\omega\) в чисельнику сходяться абсолютно через\(\omega ^2\) в знаменнику. Терміни з коефіцієнтом\(\omega\) в чисельнику не сходяться абсолютно. Наприклад, так як
\[\dfrac{\omega \sin (\omega t)}{a^2 + \omega ^2}\]
розпадається\(1/\omega\), як, його інтеграл не є абсолютно збіжним. Однак ми стверджуємо, що інтеграл дійсно сходяться умовно. Тобто обидві межі існують і є кінцевими.
\[\lim_{R_2 \to \infty} \int_{0}^{R_2} \dfrac{\omega \sin (\omega t)}{a^2 + \omega ^2} d \omega \ \ \text{and} \ \ \lim_{R_1 \to \infty} \int_{-R_1}^{0} \dfrac{\omega \sin (\omega t)}{a^2 + \omega ^2} d \omega\]
Ключовим є те, що, як\(\sin (\omega t)\) чергується між позитивними та негативними дугами, функція\(\dfrac{\omega}{a^2 + \omega ^2}\) монотонно занепадає. Так, в інтегралі площа під кожною аркою додає або віднімається менше, ніж арка раніше. Це означає, що в міру\(R_1\) (або\(R_2\)) зростання загальна площа під кривою коливається з загасаючою амплітудою навколо деякого граничного значення.
.svg)