1.5: Тести Діріхле

Тест Вайєрштрасса корисний і важливий, але має основний недолік: він відноситься тільки до абсолютно рівномірно збіжним неправильних інтегралам. Наступна теорема застосовується в деяких випадках, коли$\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx$ сходиться рівномірно по$S$, але$\int_{a}^{b}|f(x,y)|\,dx$ ні.

[теорема: 8] (Тест Діріхле для рівномірної збіжності I) Якщо$g,$$g_{x},$ і$h$ є неперервними на$[a,b)\times S,$ тоді

$$\int_{a}^{b}g(x,y)h(x,y)\,dx$$

сходиться рівномірно,$S$ якщо виконуються наступні умови:

$$\displaystyle{\lim_{x\to b-}\left\{\sup_{y\in S}|g(x,y)|\right\}=0};$$

Є постійна$M$ така, що

$$\sup_{y\in S}\left|\int_{a}^{x}h(u,y)\,du\right|< M, \quad a\le x<b;$$

$\int_{a}^{b}|g_{x}(x,y)|\,dx$сходиться рівномірно на$S.$

Якщо

$$\label{eq:20} H(x,y)=\int_{a}^{x}h(u,y)\,du,$$

потім інтеграція по частинам дає

$$\begin{aligned} \int_{r}^{r_{1}}g(x,y)h(x,y)\,dx&=&\int_{r}^{r_{1}}g(x,y)H_{x}(x,y)\,dx \nonumber\\ &=&g(r_{1},y)H(r_{1},y)-g(r,y)H(r,y)\label{eq:21}\\ &&-\int_{r}^{r_{1}}g_{x}(x,y)H(x,y)\,dx. \nonumber\end{aligned}$$

Оскільки припущення (b) і [eq:20] означають$|H(x,y)|\le M,$$(x,y)\in (a,b]\times S$, що, Eqn. [eq:21] означає, що

$$\label{eq:22} \left|\int_{r}^{r_{1}}g(x,y)h(x,y)\,dx\right|< M\left(2\sup_{x\ge r}|g(x,y)|+\int_{r}^{r_{1}}|g_{x}(x,y)|\,dx\right)$$

на$[r,r_{1}]\times S$.

Тепер припустимо$\epsilon>0$. З припущення (а), є$r_{0} \in [a,b)$ таке, що$|g(x,y)|<\epsilon$ на$S$ if$r_{0}\le x <b$. З припущення (c) та теореми [теорема: 6] існує$s_{0}\in [a,b)$ таке, що

$$\int_{r}^{r_{1}}|g_{x}(x,y)|\,dx<\epsilon, \quad y\in S, \quad s_{0}<r<r_{1}<b.$$

Тому [eq:22] означає, що

$$\left|\int_{r}^{r_{1}}g(x,y)h(x,y)\right| < 3M\epsilon, \quad y\in S, \quad \max(r_{0},s_{0})<r<r_{1}<b.$$

Тепер теорема [теорема:4] має на увазі заявлений висновок.

Твердження цієї теореми є складним, але застосовувати її не так; просто шукайте факторизацію$f=gh$, де$h$ має обмежену антипохідну на$[a,b)$ і$g$ є «малим» поруч$b$. Потім інтегруйте по частинам і сподівайтеся, що щось приємне станеться. Аналогічний коментар застосовується до теореми 9, яка випливає далі.

Приклад$\PageIndex{1}$

Додайте сюди текст.

Рішення

Додайте сюди текст.

Нехай

$$I(y)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos xy}{x+y}\,dx,\quad y>0.$$

очевидна нерівність

$$\left|\frac{\cos xy}{x+y}\right|\le \frac{1}{x+y}$$

тут марно, так як

$$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x+y}=\infty.$$

Однак інтеграція по частинам дає

$$\begin{aligned} \int_{r}^{r_{1}}\frac{\cos xy}{x+y}\,dx &=& \frac{\sin xy}{y(x+y)}\biggr|_{r}^{r_{1}}+ \int_{r}^{r_{1}}\frac{\sin xy}{y(x+y)^{2}}\,dx\\ &=&\frac{\sin r_{1}y}{y(r_{1}+y)}-\frac{\sin ry}{y(r+y)} +\int_{r}^{r_{1}}\frac{\sin xy}{y(x+y)^{2}}\,dx.\end{aligned}$$

Тому якщо$0< r<r_{1}$, то

$$\begin{aligned} \left|\int_{r}^{r_{1}}\frac{\cos xy}{x+y}\,dx\right|< \frac{1}{y}\left(\frac{2}{r+y}+\int_{r}^{\infty}\frac{1}{(x+y)^{2}}\right) \le \frac{3}{y(r+y)^{2}}\le \frac{3}{\rho(r+\rho)}\end{aligned}$$

якщо$y\ge \rho>0$. Тепер теорема [теорема: 4] передбачає, що рівномірно$I(y)$ сходиться на$[\rho,\infty)$ if$\rho>0$.

Ми залишаємо вам доказ наступної теореми (Вправа [exer:10]).

[теорема: 9] (Тест Діріхле для рівномірної збіжності II) Якщо$g,$$g_{x},$ і$h$ є неперервними на$(a,b]\times S,$ то

$$\int_{a}^{b}g(x,y)h(x,y)\,dx$$

сходиться рівномірно,$S$ якщо виконуються наступні умови:

$\displaystyle{\lim_{x\to a+}\left\{\sup_{y\in S}|g(x,y)|\right\}=0};$

Є постійна$M$ така, що

$$\sup_{y\in S}\left|\int_{x}^{b}h(u,y)\,du\right| \le M, \quad a< x\le b;$$

$\int_{a}^{b}|g_{x}(x,y)|\,dx$сходиться рівномірно на$S$.

Згадуючи теореми 3.4.10 (стор. 163), 4.3.20 (стор. 217) та 4.4.16 (стор. 248), ви можете зрозуміти, чому ми пов'язуємо теореми [теорема: 8] та [теорема: 9] з Діріхле.