1.5: Тести Діріхле
- Page ID
- 105445
Тест Вайєрштрасса корисний і важливий, але має основний недолік: він відноситься тільки до абсолютно рівномірно збіжним неправильних інтегралам. Наступна теорема застосовується в деяких випадках, коли\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) сходиться рівномірно по\(S\), але\(\int_{a}^{b}|f(x,y)|\,dx\) ні.
[теорема: 8] (Тест Діріхле для рівномірної збіжності I) Якщо\(g,\)\(g_{x},\) і\(h\) є неперервними на\([a,b)\times S,\) тоді
\[\int_{a}^{b}g(x,y)h(x,y)\,dx\]
сходиться рівномірно,\(S\) якщо виконуються наступні умови:
\[\displaystyle{\lim_{x\to b-}\left\{\sup_{y\in S}|g(x,y)|\right\}=0};\]
Є постійна\(M\) така, що
\[\sup_{y\in S}\left|\int_{a}^{x}h(u,y)\,du\right|< M, \quad a\le x<b;\]
\(\int_{a}^{b}|g_{x}(x,y)|\,dx\)сходиться рівномірно на\(S.\)
Якщо
\[\label{eq:20} H(x,y)=\int_{a}^{x}h(u,y)\,du,\]
потім інтеграція по частинам дає
\[\begin{aligned} \int_{r}^{r_{1}}g(x,y)h(x,y)\,dx&=&\int_{r}^{r_{1}}g(x,y)H_{x}(x,y)\,dx \nonumber\\ &=&g(r_{1},y)H(r_{1},y)-g(r,y)H(r,y)\label{eq:21}\\ &&-\int_{r}^{r_{1}}g_{x}(x,y)H(x,y)\,dx. \nonumber\end{aligned}\]
Оскільки припущення (b) і [eq:20] означають\(|H(x,y)|\le M,\)\((x,y)\in (a,b]\times S\), що, Eqn. [eq:21] означає, що
\[\label{eq:22} \left|\int_{r}^{r_{1}}g(x,y)h(x,y)\,dx\right|< M\left(2\sup_{x\ge r}|g(x,y)|+\int_{r}^{r_{1}}|g_{x}(x,y)|\,dx\right)\]
на\([r,r_{1}]\times S\).
Тепер припустимо\(\epsilon>0\). З припущення (а), є\(r_{0} \in [a,b)\) таке, що\(|g(x,y)|<\epsilon\) на\(S\) if\(r_{0}\le x <b\). З припущення (c) та теореми [теорема: 6] існує\(s_{0}\in [a,b)\) таке, що
\[\int_{r}^{r_{1}}|g_{x}(x,y)|\,dx<\epsilon, \quad y\in S, \quad s_{0}<r<r_{1}<b.\]
Тому [eq:22] означає, що
\[\left|\int_{r}^{r_{1}}g(x,y)h(x,y)\right| < 3M\epsilon, \quad y\in S, \quad \max(r_{0},s_{0})<r<r_{1}<b.\]
Тепер теорема [теорема:4] має на увазі заявлений висновок.
Твердження цієї теореми є складним, але застосовувати її не так; просто шукайте факторизацію\(f=gh\), де\(h\) має обмежену антипохідну на\([a,b)\) і\(g\) є «малим» поруч\(b\). Потім інтегруйте по частинам і сподівайтеся, що щось приємне станеться. Аналогічний коментар застосовується до теореми 9, яка випливає далі.
Додайте сюди текст.
Рішення
Додайте сюди текст.
Нехай
\[I(y)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos xy}{x+y}\,dx,\quad y>0.\]
очевидна нерівність
\[\left|\frac{\cos xy}{x+y}\right|\le \frac{1}{x+y}\]
тут марно, так як
\[\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x+y}=\infty.\]
Однак інтеграція по частинам дає
\[\begin{aligned} \int_{r}^{r_{1}}\frac{\cos xy}{x+y}\,dx &=& \frac{\sin xy}{y(x+y)}\biggr|_{r}^{r_{1}}+ \int_{r}^{r_{1}}\frac{\sin xy}{y(x+y)^{2}}\,dx\\ &=&\frac{\sin r_{1}y}{y(r_{1}+y)}-\frac{\sin ry}{y(r+y)} +\int_{r}^{r_{1}}\frac{\sin xy}{y(x+y)^{2}}\,dx.\end{aligned}\]
Тому якщо\(0< r<r_{1}\), то
\[\begin{aligned} \left|\int_{r}^{r_{1}}\frac{\cos xy}{x+y}\,dx\right|< \frac{1}{y}\left(\frac{2}{r+y}+\int_{r}^{\infty}\frac{1}{(x+y)^{2}}\right) \le \frac{3}{y(r+y)^{2}}\le \frac{3}{\rho(r+\rho)}\end{aligned}\]
якщо\(y\ge \rho>0\). Тепер теорема [теорема: 4] передбачає, що рівномірно\(I(y)\) сходиться на\([\rho,\infty)\) if\(\rho>0\).
Ми залишаємо вам доказ наступної теореми (Вправа [exer:10]).
[теорема: 9] (Тест Діріхле для рівномірної збіжності II) Якщо\(g,\)\(g_{x},\) і\(h\) є неперервними на\((a,b]\times S,\) то
\[\int_{a}^{b}g(x,y)h(x,y)\,dx\]
сходиться рівномірно,\(S\) якщо виконуються наступні умови:
\(\displaystyle{\lim_{x\to a+}\left\{\sup_{y\in S}|g(x,y)|\right\}=0};\)
Є постійна\(M\) така, що
\[\sup_{y\in S}\left|\int_{x}^{b}h(u,y)\,du\right| \le M, \quad a< x\le b;\]
\(\int_{a}^{b}|g_{x}(x,y)|\,dx\)сходиться рівномірно на\(S\).
Згадуючи теореми 3.4.10 (стор. 163), 4.3.20 (стор. 217) та 4.4.16 (стор. 248), ви можете зрозуміти, чому ми пов'язуємо теореми [теорема: 8] та [теорема: 9] з Діріхле.