1.6: Наслідки рівномірної конвергенції

[теорема: 10] Якщо\(f=f(x,y)\) є безперервним на будь-якому\([a,b)\times [c,d]\) або\((a,b]\times [c,d]\) і

\[\label{eq:23} F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\]

сходиться рівномірно на\([c,d],\) потім\(F\) безперервно на\([c,d].\) Більше того\(,\)

\[\label{eq:24} \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy =\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx.\]

Будемо вважати, що\(f\) є безперервним на\((a,b]\times [c,d]\). Можна розглянути інший випадок (Вправа [exer:14]).

Спочатку ми покажемо, що\(F\) в [eq:23] є безперервним\([c,d]\). Оскільки\(F\) сходиться рівномірно\([c,d]\), визначення [визначення: 1] (конкретно, [еква:11]) означає, що якщо\(\epsilon>0\), існує\(r \in [a,b)\) таке, що

\[\left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad c \le y \le d.\]

Тому якщо\(c\le y, y_{0}\le d]\), то

\[\begin{aligned} |F(y)-F(y_{0})|&=& \left|\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx-\int_{a}^{b}f(x,y_{0})\,dx\right|\\ &\le&\left|\int_{a}^{r}[f(x,y)-f(x,y_{0})]\,dx\right|+ \left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|\\ &&+\left|\int_{r}^{b}f(x,y_{0})\,dx\right|,\end{aligned}\]

тому

\[\label{eq:25} |F(y)-F(y_{0})| \le \int_{a}^{r}|f(x,y)-f(x,y_{0})|\,dx +2\epsilon.\]

Так як\(f\) є рівномірно суцільним на компактному наборі\([a,r]\times [c,d]\) (Слідство 5.2.14, стор. 314), існує\(\delta>0\) таке, що

\[|f(x,y)-f(x,y_{0})|<\epsilon\]

якщо\((x,y)\) і\((x,y_{0})\) знаходяться в\([a,r]\times [c,d]\) і\(|y-y_{0}|<\delta\). Це і [eq:25] означають, що

\[|F(y)-F(y_{0})|<(r-a)\epsilon +2\epsilon<(b-a+2)\epsilon\]

якщо\(y\) і\(y_{0}\) знаходяться в\([c,d]\) і\(|y-y_{0}|<\delta\). Тому\(F\) є безперервним\([c,d]\), тому інтеграл на лівій стороні [eq:24] існує. Позначте

\[\label{eq:26} I= \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy.\]

Ми покажемо, що неправильний інтеграл з правого боку [eq:24] сходиться до\(I\). З цією метою позначають

\[I(r)= \int_{a}^{r}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx.\]

Оскільки ми можемо змінити порядок інтеграції неперервної функції\(f\) над прямокутником\([a,r]\times [c,d]\) (Слідство 7.2.2, стор. 466),

\[I(r)=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\right)\,dy.\]

З цього і [eq:26],

\[I-I(r)=\int_{c}^{d}\left(\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy.\]

Тепер припустимо\(\epsilon>0\). Так як\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) сходиться рівномірно на\([c,d]\), є\(r_{0}\in (a,b]\) таке, що

\[\left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|<\epsilon, \quad r_{0}<r<b,\]

так\(|I-I(r)|<(d-c)\epsilon\) якщо\(r_{0}<r<b\). Отже,

\[\lim_{r\to b-}\int_{a}^{r}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx= \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy,\]

який завершує доказ [eq:24].

[example:10] Це просто перевірити, що

\[\int_{0}^{\infty}e^{-xy}\,dx=\frac{1}{y}, \quad y>0,\]

і збіжність рівномірна на\([\rho,\infty)\) if\(\rho>0\). Тому теорема [теорема: 10] має на увазі, що якщо\(0<y_{1}<y_{2}\), то

\[\begin{aligned} \int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\,dy}{y}&=& \int_{y_{1}}^{y_{2}}\left( \int_{0}^{\infty}e^{-xy}\,dx\right)\,dy =\int_{0}^{\infty}\left(\int_{y_{1}}^{y_{2}}e^{-xy}\,dy\right)\,dy \\ &=&\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-xy_{1}}-e^{-xy_{2}}}{x}\,dx.\end{aligned}\]

Так як

\[\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{dy}{y}= \log\frac{y_{2}}{y_{1}}, \quad y_{2} \ge y_{1}>0,\]

з цього випливає, що

\[\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-xy_{1}}-e^{-xy_{2}}}{x}\,dx= \log\frac{y_{2}}{y_{1}}, \quad y_{2} \ge y_{1}>0.\]

[приклад:11] З прикладу [приклад:6],

\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin xy}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}, \quad y>0,\]

і збіжність рівномірна на\([\rho,\infty)\) if\(\rho>0\). Тому теорема [теорема:10] має на увазі, що якщо\(0<y_{1}<y_{2}\), то

\[\begin{aligned} \frac{\pi}{2}(y_{2}-y_{1}) &=&\int_{y_{1}}^{y_{2}}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{\sin xy}{x}\,dx\right)\,dy =\int_{0}^{\infty}\left(\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\sin xy}{x}\,dy\right)\,dx \nonumber\\ &=&\int_{0}^{\infty}\frac{\cos xy_{1}-\cos xy_{2}}{x^{2}} \,dx. \label{eq:27}\end{aligned}\]

Останній інтеграл сходиться рівномірно на\((-\infty,\infty)\) (Вправа 10 (h)), і тому є безперервним щодо\(y_{1}\) on\((-\infty,\infty)\), за теоремою [теорема: 10]; зокрема, ми можемо впустити\(y_{1}\to0+\) [еква:27] і замінити\(y_{2}\) на,\(y\) щоб отримати

\[\int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos xy}{x^{2}}\,dx=\frac{\pi y}{2}, \quad y \ge 0.\]

Наступна теорема аналогічна теоремі 4.4.20 (стор. 252).

[теорема: 11] Нехай\(f\) і\(f_{y}\) бути безперервним на будь-якому\([a,b)\times [c,d]\) або\((a,b]\times [c,d].\) Припустимо, що неправильний інтеграл

\[F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\]

сходиться для деяких\(y_{0} \in [c,d]\) і

\[G(y)=\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\]

сходиться рівномірно на\([c,d].\) Потім рівномірно\(F\) сходиться\([c,d]\) і задається явно

\[F(y)=F(y_{0})+\int_{y_{0}}^{y} G(t)\,dt,\quad c\le y\le d.\]

Крім того,\(F\) постійно диференціюється на\([c,d]\); конкретно,

\[\label{eq:28} F'(y)=G(y), \quad c \le y \le d,\]

де\(F'(c)\) і\(f_{y}(x,c)\) є похідними від правого, а\(F'(d)\) і\(f_{y}(x,d)\) є похідними від лівого\(.\)

Будемо вважати, що\(f\) і\(f_{y}\) є безперервними на\([a,b)\times [c,d]\). Можна розглянути інший випадок (Вправа [exer:15]).

Нехай

\[F_{r}(y)=\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx, \quad a\le r<b, \quad c \le y \le d.\]

Оскільки\(f\) і\(f_{y}\) є безперервними\([a,r]\times [c,d]\), Теорема [теорема: 1] означає, що

\[F_{r}'(y)=\int_{a}^{r}f_{y}(x,y)\,dx, \quad c \le y \le d.\]

Тоді

\[\begin{aligned} F_{r}(y)&=&F_{r}(y_{0})+\int_{y_{0}}^{y}\left( \int_{a}^{r}f_{y}(x,t)\,dx\right)\,dt\\ &=&F(y_{0})+\int_{y_{0}}^{y}G(t)\,dt \\&&+(F_{r}(y_{0})-F(y_{0})) -\int_{y_{0}}^{y}\left(\int_{r}^{b}f_{y}(x,t)\,dx\right)\,dt, \quad c \le y \le d.\end{aligned}\]

Тому,

\[\begin{aligned} \left|F_{r}(y)-F(y_{0})-\int_{y_{0}}^{y}G(t)\,dt\right|& \le & |F_{r}(y_{0})-F(y_{0})|\nonumber\\ &&+\left|\int_{y_{0}}^{y} \int_{r}^{b}f_{y}(x,t)\,dx\right|\,dt. \label{eq:29}\end{aligned}\]

Тепер припустимо\(\epsilon>0\). Оскільки ми припустили, що\(\lim_{r\to b-}F_{r}(y_{0})=F(y_{0})\) існує, є\(r_{0}\) в\((a,b)\) такому, що

\[|F_{r}(y_{0})-F(y_{0})|<\epsilon,\quad r_{0}<r<b.\]

Оскільки ми припустили, що\(G(y)\) сходиться за\(y\in[c,d]\), є\(r_{1} \in [a,b)\) таке, що

\[\left|\int_{r}^{b}f_{y}(x,t)\,dx\right|<\epsilon, \quad t\in[c,d], \quad r_{1}\le r<b.\]

Таким чином, [еква:29] дає

\[\left|F_{r}(y)-F(y_{0})-\int_{y_{0}}^{y}G(t)\,dt\right|< \epsilon(1+|y-y_{0}|) \le \epsilon(1+d-c)\]

якщо\(\max(r_{0},r_{1}) \le r <b\) і\(t\in [c,d]\). Тому\(F(y)\) сходиться рівномірно на\([c,d]\) і

\[F(y)=F(y_{0})+\int_{y_{0}}^{y}G(t)\,dt, \quad c \le y \le d.\]

Оскільки\(G\) є безперервним\([c,d]\) за теоремою [теорема: 10], [еква:28] випливає з диференціації цього (Теорема 3.3.11, стор. 141).

[приклад:12] Нехай

\[I(y)=\int_{0}^{\infty}e^{-yx^{2}}\,dx, \quad y>0.\]

Так як

\[\int_{0}^{r}e^{-yx^{2}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{y}} \int_{0}^{r\sqrt{y}} e^{-t^{2}}\,dt,\]

з цього випливає, що

\[I(y)=\frac{1}{\sqrt{y}}\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,dt,\]

і збіжність рівномірна на\([\rho,\infty)\) if\(\rho>0\) (Вправа [exer:8] (i)). Щоб оцінити останній інтеграл, позначимо\(J(\rho)=\int_{0}^{\rho}e^{-t^{2}}\,dt\); потім

\[J^{2}(\rho)=\left(\int_{0}^{\rho}e^{-u^{2}}\,du\right) \left(\int_{0}^{\rho}e^{-v^{2}}\,dv\right) =\int_{0}^{\rho}\int_{0}^{\rho}e^{-(u^{2}+v^{2})}\,du\,dv.\]

Перетворення в полярні координати\(r=r\cos\theta\),\(v=r\sin\theta\) дає

\[J^{2}(\rho)=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\rho} re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta =\frac{\pi(1-e^{-\rho^{2}})}{4}, \text{\quad so\quad} J(\rho)=\frac{\sqrt{\pi(1-e^{-\rho^{2}})}}{2}.\]

Тому

\[\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\lim_{\rho\to\infty}J(\rho)= \frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{\quad and\quad} \int_{0}^{\infty}e^{-yx^{2}}\,dx= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{y}}, \quad y>0.\]

Диференціація цього\(n\) часу щодо\(y\) врожайності

\[\int_{0}^{\infty}x^{2n}e^{-yx^{2}}\,dx= \frac{1\cdot3\cdots(2n-1)\sqrt{\pi}}{2^{n}y^{n+1/2}}\quad y>0,\quad n=1,2,3, \dots,\]

де Теорема [теорема: 11] виправдовує диференціювання для кожного\(n\), оскільки всі ці інтеграли рівномірно сходяться на\([\rho,\infty)\) if\(\rho>0\) (Вправа [exer:8] (i)).

Деякі поради щодо застосування цієї теореми: Обов'язково спочатку перевірте, що\(F(y_{0})=\int_{a}^{b}f(x,y_{0})\,dx\) сходиться хоча б для одного значення\(y\). Якщо так, диференціюйте\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) формально, щоб отримати\(\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\). Тоді\(F'(y)=\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\) якщо\(y\) знаходиться в якомусь інтервалі, на якому цей неправильний інтеграл сходиться рівномірно.