1.4: Абсолютно рівномірно збігаються неправильні інтеграли

(Абсолютна рівномірна збіжність I) [визначення: 4] Неправильний інтеграл

\[\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to b-}\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\]

Кажуть, що сходяться абсолютно рівномірно,\(S\) якщо неправильний інтеграл

\[\int_{a}^{b}|f(x,y)|\,dx=\lim_{r\to b-}\int_{a}^{r}|f(x,y)|\,dx\]

сходиться рівномірно на\(S\); тобто, якщо для кожного є\(r_{0}\in [a,b)\) таке\(\epsilon>0\), що

\[\left|\int_{a}^{b}|f(x,y)|\,dx-\int_{a}^{r}|f(x,y)|\,dx\right| <\epsilon, \quad y\in S,\quad r_{0}<r<b.\]

Щоб побачити, що це визначення має сенс, нагадайте, що якщо локально\(f\) інтегрується\([a,b)\) для всіх\(y\) в\(S\), то так є\(|f|\) (Теорема 3.4.9, стор. 161). Теорема [теорема:4] з\(f\)\(|f|\) заміненою на означає, що\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) сходиться абсолютно рівномірно на\(S\) якщо і тільки тоді\(\epsilon>0\), коли для кожного існує\(r_{0}\in [a,b)\) таке, що

\[\int_{r}^{r_{1}}|f(x,y)|\,dx<\epsilon,\quad y\in S,\quad r_{0}\le r<r_{1}<b .\]

Так як

\[\left|\int_{r}^{r_{1}}f(x,y)\,dx\right| \le \int_{r}^{r_{1}}|f(x,y)|\,dx,\]

Теорема [теорема: 4] передбачає, що якщо\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) сходиться абсолютно рівномірно,\(S\) то вона рівномірно сходиться\(S\).

[теорема: 6] (Тест Вейєрштрасса для абсолютної рівномірної збіжності I) Припустимо,\(M=M(x)\) що ненегативний на\([a,b),\)\(\int_{a}^{b}M(x)\,dx<\infty,\) і

\[\label{eq:19} |f(x,y)| \le M(x), \quad y\in S,\quad a\le x<b.\]

Потім\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) сходиться абсолютно рівномірно на\(S.\)

Позначте\(\int_{a}^{b}M(x)\,dx=L<\infty\). За визначенням, для кожного\(\epsilon>0\) існує\(r_{0}\in [a,b)\) таке, що

\[L-\epsilon < \int_{a}^{r}M(x)\,dx \le L,\quad r_{0}<r<b.\]

Тому якщо\(r_{0}< r\le r_{1},\) тоді

\[0\le \int_{r}^{r_{1}}M(x)\,dx=\left(\int_{a}^{r_{1}}M(x)\,dx -L\right)- \left(\int_{a}^{r}M(x)\,dx -L\right)<\epsilon\]

Це і [eq:19] означають, що

\[\int_{r}^{r_{1}}|f(x,y)|\,dx\le \int_{r}^{r_{1}} M(x)\,dx <\epsilon,\quad y\in S, \quad a\le r_{0}<r<r_{1}<b.\]

Тепер теорема [теорема:4] має на увазі заявлений висновок.

[example:7] Припустимо, локально\(g=g(x,y)\) інтегрується\([0,\infty)\) для всіх\(y\in S\) і, для деяких\(a_{0}\ge 0\), є константи\(K\) і\(p_{0}\) такі, що

\[|g(x,y)| \le Ke^{p_{0}x},\quad y\in S, \quad x\ge a_{0}.\]

Якщо\(p>p_{0}\) і\(r\ge a_{0}\), то

\[\begin{aligned} \int_{r}^{\infty}e^{-px} |g(x,y)|\,dx &=& \int_{r}^{\infty} e^{-(p-p_{0})x}e^{-p_{0}x}|g(x,y)|\,dx\\ &\le& K\int_{r}^{\infty} e^{-(p-p_{0})x}\,dx= \frac{K e^{-(p-p_{0})r}}{p-p_{0}},\end{aligned}\]

так\(\int_{0}^{\infty}e^{-px} g(x,y)\,dx\) сходиться абсолютно далі\(S\). Наприклад, так як

\[|x^{\alpha}\sin xy|<e^{p_{0}x}\text{\quad and \quad} |x^{\alpha}\cos xy|<e^{p_{0}x}\]

для\(x\) досить великих if\(p_{0}>0\), Теорема [теорема: 4] має на увазі, що\(\int_{0}^{\infty}e^{-px}x^{\alpha}\sin xy\,dx\) і\(\int_{0}^{\infty}e^{-px}x^{\alpha}\cos xy\,dx\) сходяться абсолютно рівномірно на\((-\infty,\infty)\) if\(p>0\) і\(\alpha~\ge~0\). По суті,\(\int_{0}^{\infty}e^{-px}x^{\alpha}\sin xy\,dx\) сходиться абсолютно на\((-\infty,\infty)\) якщо\(p>0\) і\(\alpha>-1\). (Чому?)

(Абсолютна рівномірна збіжність II) [визначення: 5] Неправильний інтеграл

\[\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to a+}\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\]

Кажуть, що сходяться абсолютно рівномірно,\(S\) якщо неправильний інтеграл

\[\int_{a}^{b}|f(x,y)|\,dx=\lim_{r\to a+}\int_{r}^{b}|f(x,y)|\,dx\]

сходиться рівномірно на\(S\); тобто, якщо для кожного є\(r_{0}\in (a,b]\) таке\(\epsilon>0\), що

\[\left|\int_{a}^{b}|f(x,y)|\,dx-\int_{r}^{b}|f(x,y)|\,dx\right| <\epsilon, \quad y\in S, \quad a<r<r_{0}\le b.\]

Ми залишаємо це вам (Вправа [exer: 7]), щоб довести наступну теорему.

[теорема: 7] (Тест Вейєрштрасса для абсолютної рівномірної збіжності II) Припустимо,\(M=M(x)\) що ненегативний на\((a,b],\)\(\int_{a}^{b}M(x)\,dx<\infty,\) і

\[|f(x,y)| \le M(x), \quad y\in S, \quad x\in (a,b].\]

Потім\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) сходиться абсолютно рівномірно далі\(S\).

[example:8] Якщо локально\(g=g(x,y)\) інтегрується\((0,1]\) для всіх\(y\in S\) і

\[|g(x,y)| \le Ax^{-\beta}, \quad 0<x \le x_{0},\]

для кожного\(y \in S\), потім

\[\int_{0}^{1} x^{\alpha}g(x,y)\,dx\]

сходиться абсолютно рівномірно на\(S\) if\(\alpha>\beta-1\). Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що якщо\(0<r< r_{1}\le x_{0}\), то

\[\int_{r_{1}}^{r}x^{\alpha}|g(x,y)|\,dx \le A\int_{r_{1}}^{r} x^{\alpha-\beta}\,dx= \frac{Ax^{\alpha-\beta+1}}{\alpha-\beta+1}\biggr|_{r_{1}}^{r}< \frac{Ar^{\alpha-\beta+1}}{\alpha-\beta+1}.\]

Застосування цього з\(\beta=0\) показує, що

\[F(y)=\int_{0}^{1} x^{\alpha}\cos xy\,dx\]

сходиться абсолютно рівномірно на\((-\infty,\infty)\) якщо\(\alpha>-1\) і

\[G(y)=\int_{0}^{1}x^{\alpha}\sin xy \,dx\]

сходиться абсолютно рівномірно на\((-\infty,\infty)\) if\(\alpha>-2\).

Згадавши Теорему 4.4.15 (стор. 246), ви можете зрозуміти, чому ми пов'язуємо теореми [теорема: 6] та [теорема: 7] з Вейєрштрассом.