1.2: Підготовка

Почнемо з двох корисних критеріїв збіжності для неправильних інтегралів, які не включають параметр. Відповідно до визначення на p. 152, ми говоримо, що локально$f$ інтегрується на інтервалі,$I$ якщо він інтегрується на кожному скінченному замкнутому підінтервалі$I$.

[теорема: 2] Припустимо$g$, локально інтегрується$[a,b)$ і позначає

$$G(r)=\int_{a}^{r}g(x)\,dx,\quad a\le r<b.$$

Тоді неправильний інтеграл$\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ сходиться якщо і тільки в тому випадку, якщо$,$ для кожного$\epsilon >0,$ знайдеться$r_{0}\in[a,b)$ таке, що

$$\label{eq:9} |G(r)-G(r_{1})|<\epsilon,\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.$$

Для необхідності припустимо$\int_{a}^{b}g(x)\,dx=L$. За визначенням це означає, що для кожного$\epsilon>0$ існує$r_{0}\in [a,b)$ таке, що

$$|G(r)-L|<\frac{\epsilon}{2} \text{\quad and\quad} |G(r_{1})-L|<\frac{\epsilon}{2},\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.$$

Тому

$$\begin{aligned} |G(r)-G(r_{1})|&=&|(G(r)-L)-(G(r_{1})-L)|\\ &\le& |G(r)-L|+|G(r_{1})-L|< \epsilon,\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.\end{aligned}$$

Для достатності [eq:9] означає, що

$$|G(r)|= |G(r_{1})+(G(r)-G(r_{1}))|< |G(r_{1})|+|G(r)-G(r_{1})|\le |G(r_{1})|+\epsilon,$$

$r_{0}\le r\le r_{1}<b$. Так як$G$ також обмежена на компактному множині$[a,r_{0}]$ (Теорема 5.2.11, стор. 313),$G$ обмежена на$[a,b)$. Тому монотонні функції

$$\overline{G}(r)=\sup\left\{G(r_{1})\, \big|\, r\le r_{1}<b\right\} \text{\quad and\quad} \underline{G}(r)=\inf\left\{G(r_{1})\, \big|\, r\le r_{1}<b\right\}$$

чітко визначені на$[a,b)$, і

$$\lim_{r\to b-}\overline{G}(r)=\overline{L} \text{\quad and\quad} \lim_{r\to b-}\underline{G}(r)=\underline{L}$$

обидва існують і є кінцевими (Теорема 2.1.11, стор. 47). З [еква:9],

$$\begin{aligned} |G(r)-G(r_{1})|&=&|(G(r)-G(r_{0}))-(G(r_{1})-G(r_{0}))|\\ &\le &|G(r)-G(r_{0})|+|G(r_{1})-G(r_{0})|< 2\epsilon,\end{aligned}$$

тому

$$\overline{G}(r)-\underline{G}(r)\le 2\epsilon, \quad r_{0}\le r, r_{1}<b.$$

Оскільки$\epsilon$ є довільним додатним числом, це означає, що

$$\lim_{r\to b-}(\overline{G}(r)-\underline{G}(r))=0,$$

так$\overline{L}=\underline{L}$. Нехай$L=\overline{L}=\underline{L}$. Так як

$$\underline{G}(r)\le G(r)\le \overline{G}(r),$$

з цього випливає$\lim_{r\to b-} G(r)=L$.

Ми залишаємо вам доказ наступної теореми (Вправа [exer:2]).

[теорема: 3] Припустимо$g$, локально інтегрується$(a,b]$ і позначає

$$G(r)=\int_{r}^{b}g(x)\,dx,\quad a\le r<b.$$

Тоді неправильний інтеграл$\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ сходиться якщо і тільки в тому випадку, якщо$,$ для кожного$\epsilon >0,$ знайдеться$r_{0}\in(a,b]$ таке, що

$$|G(r)-G(r_{1})|<\epsilon,\quad a<r,r_{1}\le r_{0}.$$

Щоб зрозуміти, чому ми пов'язуємо теореми [теорема: 2] та [теорема:3] з Коші, порівняйте їх з теоремою 4.3.5 (стор. 204)