1.2: Підготовка

Last updated
Save as PDF

Page ID: 105460

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Почнемо з двох корисних критеріїв збіжності для неправильних інтегралів, які не включають параметр. Відповідно до визначення на p. 152, ми говоримо, що локально\(f\) інтегрується на інтервалі,\(I\) якщо він інтегрується на кожному скінченному замкнутому підінтервалі\(I\).

[теорема: 2] Припустимо\(g\), локально інтегрується\([a,b)\) і позначає

\[G(r)=\int_{a}^{r}g(x)\,dx,\quad a\le r<b.\]

Тоді неправильний інтеграл\(\int_{a}^{b}g(x)\,dx\) сходиться якщо і тільки в тому випадку, якщо\(,\) для кожного\(\epsilon >0,\) знайдеться\(r_{0}\in[a,b)\) таке, що

\[\label{eq:9} |G(r)-G(r_{1})|<\epsilon,\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.\]

Для необхідності припустимо\(\int_{a}^{b}g(x)\,dx=L\). За визначенням це означає, що для кожного\(\epsilon>0\) існує\(r_{0}\in [a,b)\) таке, що

\[|G(r)-L|<\frac{\epsilon}{2} \text{\quad and\quad} |G(r_{1})-L|<\frac{\epsilon}{2},\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.\]

Тому

\[\begin{aligned} |G(r)-G(r_{1})|&=&|(G(r)-L)-(G(r_{1})-L)|\\ &\le& |G(r)-L|+|G(r_{1})-L|< \epsilon,\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.\end{aligned}\]

Для достатності [eq:9] означає, що

\[|G(r)|= |G(r_{1})+(G(r)-G(r_{1}))|< |G(r_{1})|+|G(r)-G(r_{1})|\le |G(r_{1})|+\epsilon,\]

\(r_{0}\le r\le r_{1}<b\). Так як\(G\) також обмежена на компактному множині\([a,r_{0}]\) (Теорема 5.2.11, стор. 313),\(G\) обмежена на\([a,b)\). Тому монотонні функції

\[\overline{G}(r)=\sup\left\{G(r_{1})\, \big|\, r\le r_{1}<b\right\} \text{\quad and\quad} \underline{G}(r)=\inf\left\{G(r_{1})\, \big|\, r\le r_{1}<b\right\}\]

чітко визначені на\([a,b)\), і

\[\lim_{r\to b-}\overline{G}(r)=\overline{L} \text{\quad and\quad} \lim_{r\to b-}\underline{G}(r)=\underline{L}\]

обидва існують і є кінцевими (Теорема 2.1.11, стор. 47). З [еква:9],

\[\begin{aligned} |G(r)-G(r_{1})|&=&|(G(r)-G(r_{0}))-(G(r_{1})-G(r_{0}))|\\ &\le &|G(r)-G(r_{0})|+|G(r_{1})-G(r_{0})|< 2\epsilon,\end{aligned}\]

тому

\[\overline{G}(r)-\underline{G}(r)\le 2\epsilon, \quad r_{0}\le r, r_{1}<b.\]

Оскільки\(\epsilon\) є довільним додатним числом, це означає, що

\[\lim_{r\to b-}(\overline{G}(r)-\underline{G}(r))=0,\]

так\(\overline{L}=\underline{L}\). Нехай\(L=\overline{L}=\underline{L}\). Так як

\[\underline{G}(r)\le G(r)\le \overline{G}(r),\]

з цього випливає\(\lim_{r\to b-} G(r)=L\).

Ми залишаємо вам доказ наступної теореми (Вправа [exer:2]).

[теорема: 3] Припустимо\(g\), локально інтегрується\((a,b]\) і позначає

\[G(r)=\int_{r}^{b}g(x)\,dx,\quad a\le r<b.\]

Тоді неправильний інтеграл\(\int_{a}^{b}g(x)\,dx\) сходиться якщо і тільки в тому випадку, якщо\(,\) для кожного\(\epsilon >0,\) знайдеться\(r_{0}\in(a,b]\) таке, що

\[|G(r)-G(r_{1})|<\epsilon,\quad a<r,r_{1}\le r_{0}.\]

Щоб зрозуміти, чому ми пов'язуємо теореми [теорема: 2] та [теорема:3] з Коші, порівняйте їх з теоремою 4.3.5 (стор. 204)