1.1: Введення в неправильні функції

У розділі 7.2 (с. 462—484) ми розглянули функції виду

\[F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx, \quad c \le y \le d.\]

Ми побачили,\(f\) що якщо безперервно на\([a,b]\times [c,d]\),\(F\) то безперервно на\([c,d]\) (Вправа 7.2.3, стор. 481) і що ми можемо змінити порядок інтеграції в

\[\int_{c}^{d}F(y)\,dy=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy\]

оцінити його як

\[\int_{c}^{d}F(y)\,dy=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx\]

(Слідство 7.2.3, с. 466).

Ось ще одна важлива властивість\(F\).

[теорема: 1] Якщо\(f\) і\(f_{y}\) є безперервними,\([a,b]\times [c,d],\) то

\[\label{eq:1} F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx, \quad c \le y \le d,\]

безперервно диференційована\([c,d]\) і\(F'(y)\) може бути отримана шляхом диференціації [еква:1] під інтегральним знаком щодо\(y;\) того, що є,

\[\label{eq:2} F'(y)=\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx, \quad c \le y \le d.\]

Ось\(F'(a)\) і\(f_{y}(x,a)\) похідні від правого і\(F'(b)\) і\(f_{y}(x,b)\) є похідними від лівого.\(.\)

Якщо\(y\) і\(y+\Delta y\) знаходяться в\([c,d]\) і\(\Delta y\ne0\), то

\[\label{eq:3} \frac{F(y+\Delta y)-F(y)}{\Delta y}= \int_{a}^{b}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\,dx.\]

З теореми середнього значення (Теорема 2.3.11, стор. 83)\(y\), якщо\(x\in[a,b]\) і\(y+\Delta y\in[c,d]\), існує\(y(x)\) між\(y\) і\(y+\Delta y\) таке, що

\[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_{y}(x,y)\Delta y= f_{y}(x,y(x))\Delta y+(f_{y}(x,y(x)-f_{y}(x,y))\Delta y.\]

З цього і [eq:3],

\[\label{eq:4} \left|\frac{F(y+\Delta y)-F(y)}{\Delta y}-\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\right| \le \int_{a}^{b} |f_{y}(x,y(x))-f_{y}(x,y)|\,dx.\]

Тепер припустимо\(\epsilon>0\). Так як\(f_{y}\) є рівномірно безперервним на компактному наборі\([a,b]\times [c,d]\) (Слідство 5.2.14, стор. 314) і\(y(x)\) знаходиться між\(y\) і\(y+\Delta y\), є\(\delta>0\) таке, що якщо\(|\Delta|<\delta\) потім

\[|f_{y}(x,y)-f_{y}(x,y(x))|<\epsilon,\quad (x,y)\in[a,b]\times [c,d].\]

Це і [eq:4] означають, що

\[\left|\frac{F(y+\Delta y-F(y))}{\Delta y}-\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\right|<\epsilon(b-a)\]

якщо\(y\) і\(y+\Delta y\) знаходяться в\([c,d]\) і\(0<|\Delta y|<\delta\). Це означає [eq:2]. Оскільки інтеграл в [еква:2] є безперервним на\([c,d]\) (Вправа 7.2.3, стор. 481, з\(f\) заміненим на\(f_{y}\)),\(F'\) є безперервним на\([c,d]\).

[приклад:1] Оскільки

\[f(x,y)=\cos xy\text{\quad and\quad} f_{y}(x,y)=-x\sin xy\]

є безперервними для всіх\((x,y)\), Теорема [теорема: 1] означає, що якщо

\[\label{eq:5} F(y)=\int_{0}^{\pi} \cos xy\,dx,\quad -\infty<y<\infty,\]

потім

\[\label{eq:6} F'(y)=-\int_{0}^{\pi}x\sin xy\,dx,\quad -\infty<y<\infty.\]

(При застосуванні теореми [теорема:1] для конкретного значення\(y\), ми беремо\(R=[0,\pi]\times [-\rho,\rho]\), де\(\rho>|y|\).) Це забезпечує зручний спосіб оцінки інтеграла в [eq:6]: інтеграція правої сторони [eq:5] щодо\(x\) прибутковості

\[F(y)=\frac{\sin xy}{y}\bigg|_{x=0}^{\pi}=\frac{\sin\pi y}{y}, \quad y\ne0.\]

Диференціювання цього та використання [eq:6] прибутковості

\[\int_{0}^{\pi}x\sin xy\,dx =\frac{\sin \pi y}{y^{2}}- \frac{\pi\cos \pi y}{y}, \quad y\ne0.\]

Щоб переконатися в цьому, використовуйте інтеграцію по частинам.

Ми вивчимо безперервність, диференційовність та інтегруваність

\[F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx,\quad y\in S,\]

де\(S\) - інтервал або об'єднання інтервалів, і\(F\) є збіжним неправильним інтегралом для кожного\(y\in S\). Якщо домен\([a,b)\times S\) де\(f\), ми говоримо\(-\infty<a< b\le \infty\),\(F\) що точково збігаються на\(S\) або просто сходяться на\(S\), і писати

\[\label{eq:7} \int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to b-}\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\]

якщо, для кожного\(y\in S\)\(\epsilon>0\), існує\(r=r_{0}(y)\) (що також залежить від\(\epsilon\)) таке, що

\[\label{eq:8} \left|F(y)-\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\right|= \left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad r_{0}(y)\le y<b.\]

Якщо домен\(f\) є\((a,b]\times S\) де\(-\infty\le a<b<\infty\), ми замінюємо [eq:7] на

\[\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to a+}\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\]

і [еква:8] по

\[\left|F(y)-\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|= \left|\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad a<r\le r_{0}(y).\]

Загалом, точкова конвергенція\(F\) для всіх не\(y\in S\) означає, що\(F\) є безперервною або інтегрується\([c,d]\), а додаткові припущення, які\(f_{y}\) є безперервними і\(\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\) сходяться, не означають [еква:2].

[приклад:2] Функція

\[f(x,y)=ye^{-|y|x}\]

є безперервним\([0,\infty)\times (-\infty,\infty)\) і

\[F(y)=\int_{0}^{\infty}f(x,y)\,dx =\int_{0}^{\infty}ye^{-|y|x}\,dx\]

сходиться для всіх\(y\), з

\[F(y)= \begin{cases} -1& y<0,\\ \phantom{-}0&y=0,\\ \phantom{-}1&y>0;\\ \end{cases}\]

отже,\(F\) є переривчастим при\(y=0\).

[приклад:3] Функція

\[f(x,y)=y^{3}e^{-y^{2}x}\]

безперервно ввімкнено\([0,\infty)\times (-\infty,\infty)\). Нехай

\[F(y)=\int_{0}^{\infty}f(x,y)\,dx= \int_{0}^{\infty}y^{3}e^{-y^{2}x}\,dx =y,\quad -\infty<y<\infty.\]

Тоді

\[F'(y)=1, \quad -\infty<y<\infty.\]

Однак,

\[\int_{0}^{\infty}\frac{\partial{}}{\partial{y}}(y^{3}e^{-y^{2}x})\,dx =\int_{0}^{\infty}(3y^{2}-2y^{4}x)e^{-y^{2}x}\,dx= \begin{cases} 1,& y\ne0,\\ 0,& y=0, \end{cases}\]

тому

\[F'(y)\ne\int_{0}^{\infty}\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}\,dx\text{\quad if\quad}y=0.\]