1.3: Рівномірна збіжність неправильних інтегралів

Відтепер ми маємо справу з функціями\(f=f(x,y)\) з доменами\(I\times S\), де\(S\) є інтервал або об'єднання інтервалів і\(I\) має одну з наступних форм:

• \([a,b)\)з\(-\infty<a<b\le \infty\);
• \((a,b]\)з\(-\infty\le a<b< \infty\);
• \((a,b)\)с\(-\infty\le a\le b\le \infty\).

У всіх випадках слід розуміти, що локально\(f\) інтегрується по відношенню до\(x\) на\(I\). Коли ми говоримо, що неналежний\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) інтеграл має заявлену властивість «на S», ми маємо на увазі, що він має властивість для кожного\(y\in S\).

[визначення: 1] Якщо неправильний інтеграл

\[\label{eq:10} \int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to b-}\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\]

сходиться на\(S,\) ньому, як кажуть, сходяться рівномірно (або бути рівномірно сходяться) на\(S\) якщо\(,\) для кожного\(\epsilon>0,\) є\(r_{0} \in [a,b)\) таке, що

\[\left|\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx-\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\right| < \epsilon,\quad y\in S, \quad r_{0}\le r<b,\]

або\(,\) еквівалентно\(,\)

\[\label{eq:11} \left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad y\in S,\quad r_{0}\le r<b.\]

Найважливіша відмінність між точковою та рівномірною збіжністю полягає\(r_{0}(y)\) в тому, що в [еква:8] може залежати від конкретного значення\(y\), тоді як\(r_{0}\) in [eq:11] цього не робить: один вибір повинен працювати для всіх\(y\in S\). Таким чином, рівномірна конвергенція має на увазі точкову конвергенцію, але точкова конвергенція не передбачає рівномірної збіжності.

(Критерій Коші для рівномірної збіжності I) [теорема: 4] Неправильний інтеграл в [еква:10] збігається рівномірно,\(S\) якщо і тільки якщо\(,\) для кожного\(\epsilon>0,\) існує\(r_{0} \in [a,b)\) таке, що

\[\label{eq:12} \left|\int_{r}^{r_{1}}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad y\in S,\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.\]

Припустимо,\(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\) сходиться рівномірно на\(S\) і\(\epsilon>0\). З визначення [визначення: 1] існує\(r_{0}\in [a,b)\) таке, що

\[\label{eq:13} \left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right| <\frac{\epsilon}{2} \text{\, and\,} \left|\int_{r_{1}}^{b}f(x,y)\,dx\right| <\frac{\epsilon}{2} ,\quad y\in S, \quad r_{0}\le r,r_{1}<b.\]

Так як

\[\int_{r}^{r_{1}}f(x,y)\,dx= \int_{r}^{b}f(x,y)\,dx- \int_{r_{1}}^{b}f(x,y)\,dx,\]

[еква:13] і нерівність трикутника означають [еква:12].

Для зворотного позначимо

\[F(y)=\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx.\]

Оскільки [eq:12] означає, що

\[\label{eq:14} |F(r,y)-F(r_{1},y)|< \epsilon,\quad y\in S, \quad r_{0}\le r, r_{1}<b,\]

Теорема [теорема: 2] з\(G(r)=F(r,y)\) (\(y\)фіксована, але довільна в\(S\)) означає, що\(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\) сходиться точково для\(y\in S\). Тому якщо\(\epsilon>0\) тоді, для кожного\(y\in S\) знайдеться\(r_{0}(y) \in [a,b)\) таке, що

\[\label{eq:15} \left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad y\in S,\quad r_{0}(y)\le r< b.\]

Для кожного\(y\in S\) вибирайте\(r_{1}(y)\ge \max[{r_{0}(y),r_{0}}]\). (Нагадаємо [еква:14]). Тоді

\[\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx = \int_{r}^{r_{1}(y)}f(x,y)\,dx+ \int_{r_{1}(y)}^{b}f(x,y)\,dx, \quad\]

так [еква:12], [еква:15], і нерівність трикутника означає, що

\[\left|\int_{r}^{b} f(x,y)\,dx\right|< 2\epsilon, \quad y\in S, \quad r_{0}\le r<b.\]

На практиці ми явно не виставляємо\(r_{0}\) для кожного заданого\(\epsilon\). Досить отримати оцінки, які чітко передбачають його існування.

[example:4] Для неправильного інтеграла Прикладу [example:2],

\[\left|\int_{r}^{\infty}f(x,y)\,dx\right|= \int_{r}^{\infty} |y|e^{-|y|x}=e^{-r|y|}, \quad y\ne0.\]

Якщо\(|y| \ge \rho\), то

\[\left|\int_{r}^{\infty}f(x,y)\,dx\right| \le e^{-r\rho},\]

так\(\int_{0}^{\infty}f(x,y)\,dx\) сходиться рівномірно на\((-\infty,\rho]\cup[\rho,\infty)\) якщо\(\rho>0\); однак, він не сходиться рівномірно на будь-якому сусідстві\(y=0\), так як, для будь-якого\(r>0\),\(e^{-r|y|}>\frac{1}{2}\) якщо\(|y|\) досить мало.

[визначення: 2] Якщо неправильний інтеграл

\[\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to a+}\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\]

сходиться на\(S,\) ньому, як кажуть, сходяться рівномірно (або бути рівномірно сходяться) на\(S\) якщо\(,\) для кожного\(\epsilon>0,\) є\(r_{0} \in (a,b]\) таке, що

\[\left|\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx-\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right| <\epsilon, \quad y\in S,\quad a<r\le r_{0},\]

або\(,\) еквівалентно\(,\)

\[\left|\int_{a}^{r} f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad y\in S,\quad a<r\le r_{0}.\]

Ми залишаємо вам доказ наступної теореми (Вправа [exer:3]).

(Критерій Коші для рівномірної збіжності II) [теорема: 5] Неправильний інтеграл

\[\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx =\lim_{r\to a+}\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\]

сходиться рівномірно,\(S\) якщо і тільки якщо\(,\) для кожного\(\epsilon>0,\) знайдеться\(r_{0}\in (a,b]\) таке, що

\[\left|\int_{r_{1}}^{r}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon,\quad y\in S,\quad a <r,r_{1}\le r_{0}.\]

Нам потрібно ще одне визначення, а саме:

[визначення: 3] Нехай\(f=f(x,y)\) буде визначено,\((a,b) \times S,\) де\(-\infty\le a<b\le \infty.\) Припустимо локально\(f\) інтегрується\((a,b)\) для всіх\(y\in S\) і нехай\(c\) буде довільною точкою в\((a,b).\) Тоді\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\), як кажуть, сходяться рівномірно на\(S\) якщо\(\int_{a}^{c}f(x,y)\,dx\) і \(\int_{c}^{b}f(x,y)\,dx\)обидва рівномірно сходяться\(S.\)

Ми залишаємо це вам (Вправа [exer:4]), щоб показати, що це визначення не залежить від\(c\); тобто якщо\(\int_{a}^{c}f(x,y)\,dx\) і\(\int_{c}^{b}f(x,y)\,dx\) обидва однаково сходяться\(S\) для деяких\(c\in(a,b)\), то вони обидва однаково сходяться\(S\) для кожного\(c \in (a,b)\).

Ми також залишаємо це вам (Вправа [exer: 5]), щоб показати, що якщо\(f\) обмежений\([a,b]\times [c,d]\) і\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) існує як належний інтеграл для кожного\(y\in [c,d]\), то він рівномірно сходиться\([c,d]\) відповідно до всіх трьох визначень [визначення: 1] — [визначення: 3].

[example:5] Розглянемо неправильний інтеграл

\[F(y)=\int_{0}^{\infty}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx,\]

який розходиться, якщо\(y\le 0\) (перевірити). Визначення [визначення: 3] застосовується\(y>0\), якщо, тому ми вважаємо неправильні інтеграли

\[F_{1}(y)=\int_{0}^{1}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx \text{\quad and\quad} F_{2}(y)=\int_{1}^{\infty}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx\]

окремо. Більше того, ми могли б так само добре визначити

\[\label{eq:16} F_{1}(y)=\int_{0}^{c}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx \text{\quad and\quad} F_{2}(y)=\int_{c}^{\infty}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx,\]

де\(c\) - будь-яке додатне число.

Визначення [визначення: 2] застосовується до\(F_{1}\). Якщо\(0<r_{1}<r\) і\(y\ge 0\), то

\[\left|\int_{r}^{r_{1}}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx\right| < \int_{r_{1}}^{r}x^{-1/2}\,dx<2r^{1/2},\]

так\(F_{1}(y)\) сходиться для рівномірно на\([0,\infty)\).

Визначення [визначення: 1] застосовується до\(F_{2}\). Так як

\[\left|\int_{r}^{r_{1}}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx\right| < r^{-1/2} \int_{r}^{\infty}e^{-xy}\,dx = \frac{e^{-ry}}{yr^{1/2}},\]

\(F_{2}(y)\)сходиться рівномірно на\([\rho,\infty)\) if\(\rho>0\). Вона не сходиться рівномірно на\((0,\rho)\), так як зміна змінної\(u=xy\) дає

\[\int_{r}^{r_{1}}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx=y^{-1/2} \int_{ry}^{r_{1}y}u^{-1/2}e^{-u}\,du,\]

які, для будь-якого фіксованого\(r>0\), можна зробити довільно великими, взявши\(y\) досить малі і\(r=1/y\). Тому робимо висновок, що\(F(y)\) сходиться рівномірно на\([\rho,\infty)\) якщо\(\rho>0.\)

Зауважте, що константа\(c\) в [eq:16] не грає ніякої ролі в цьому аргументі.

[приклад:6] Припустимо, що ми беремо

\[\label{eq:17} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin u}{u}\,du =\frac{\pi}{2}\]

як дано (Вправа [exer:31] (b)). Заміна\(u=xy\) з\(y>0\) врожайністю

\[\label{eq:18} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin xy}{x}\,dx=\frac{\pi}{2},\quad y>0.\]

А як щодо рівномірної конвергенції? Оскільки\((\sin xy)/x\) є безперервним at\(x=0\), тут застосовуються визначення [визначення: 1] та теорема [теорема: 4]. Якщо\(0<r<r_{1}\) і\(y>0\), то

\[\int_{r}^{r_{1}}\frac{\sin xy}{x}\,dx=-\frac{1}{y} \left(\frac{\cos xy}{x}\biggr|_{r}^{r_{1}}+ \int_{r}^{r_{1}}\frac{\cos xy}{x^{2}}\,dx\right), \text{\, so\quad} \left|\int_{r}^{r_{1}}\frac{\sin xy}{x}\,dx\right|<\frac{3}{ry}.\]

Тому [еква:18] рівномірно сходиться на\([\rho,\infty)\) ньому\(\rho>0\). З іншого боку, від [eq:17] існує\(\delta>0\) таке, що

\[\int_{u_{0}}^{\infty}\frac{\sin u}{u}\,du>\frac{\pi}{4}, \quad 0 \le u_{0}<\delta.\]

Це і [eq:18] означають, що

\[\int_{r}^{\infty}\frac{\sin xy}{x}\,dx=\int_{yr}^{\infty}\frac{\sin u}{u}\,du >\frac{\pi}{4}\]

для будь-якого,\(r>0\) якщо\(0 <y<\delta/r\). Отже, [eq:18] не сходиться рівномірно на будь-якому інтервалі\((0,\rho]\) с\(\rho>0\).