7.8: Міра Лебегу
- Page ID
- 63074
Зараз ми розглянемо найважливіший приклад міри у\(E^{n},\) зв'язку з Лебегом. Цей захід узагальнює поняття об'єму та присвоює «обсяги» великій множині сімейства, «вимірні» множини Лебега, так що «обсяг» стає повною топологічною мірою. Для «тіл» в\(E^{3},\) цій мірі погоджується з нашою інтуїтивною ідеєю «обсягу».
Почнемо з функції гучності\(v : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}\) («попередня міра Лебега») на півкільці\(\mathcal{C}\) всіх інтервалів в\(E^{n}\) (§1). Як ми бачили в §§5 та 6, ця попередня міра індукує зовнішню міру\(m^{*}\) на всіх підмножині\(E^{n};\) і,\(m^{*},\) в свою чергу, індукує міру\(m\) на\(\sigma\) -полі\(\mathcal{M}^{*}\)\(m^{*}\) -вимірюваних множин. Ці множини, за визначенням, вимірювані Лебега (коротко\(L\) -вимірювані) множини;\(m^{*}\) і\(m\) так визначені (\(n\)-вимірна) зовнішня міра Лебега та міра Лебега.
Передміра\(v\) Лебега\(\sigma\) -добавка\(\mathcal{C},\) на інтервалах в\(E^{n}\). Звідси останні є вимірними Лебегом,\(\left(\mathcal{C} \subseteq \mathcal{M}^{*}\right),\) а об'єм кожного інтервалу дорівнює його мірі Лебега:
\[v=m^{*}=m \text { on } \mathcal{C}.\]
Це випливає з слідства 1 у §2 та теоремі 2 §6
Примітка 1. Як\(\mathcal{M}^{*}\) і (\(\sigma\)-поле §6), він закривається під рахунковими союзами, лічильними перетинами та відмінностями. Таким чином
\[\mathcal{C} \subseteq \mathcal{M}^{*} \text { implies } \mathcal{C}_{\sigma} \subseteq \mathcal{M}^{*};\]
тобто, будь-яке зліченне об'єднання інтервалів є\(L\) -вимірюваним. Крім того,\(E^{n} \in \mathcal{M}^{*}\).
Будь-який\(A \subset E^{n}\) лічильний набір\(L\) -вимірюваний, с\(m A=0\).
- Доказ
-
Доказом є, як у Слідці 6 з §2.
Міра Лебега\(E^{n}\) є\(\infty\).
- Доказ
-
Доведіть, як у слідці 5 з §2.
(а) Нехай
\[R=\left\{\text {rationals in } E^{1}\right\}.\]
Тоді\(R\) підраховується (Слідство 3 глави 1, §9); так\(m R=0\) за наслідком 1. Аналогічно для\(R^{n}\) (раціональних точок в\(E^{n})\).
(b) Міра інтервалу з кінцевими точками\(a, b\) в\(E^{1}\) - це його довжина,\(b-a.\)
Нехай
\[R_{o}=\{\text { all rationals in }[a, b]\};\]
так\(m R_{o}=0.\) як\([a, b]\) і\(R_{o}\) знаходяться в\(\mathcal{M}^{*}\) (а\(\sigma\) -поле), так є
\[[a, b]-R_{o},\]
ірраціональні в\([a, b].\) By Lemma 1 в §4, якщо\(b>a,\) тоді
\[m\left([a, b]-R_{o}\right)=m([a, b])-m R_{o}=m([a, b])=b-a>0=m R_{o}.\]
Це знову показує, що ірраціональні формують «більший» набір, ніж раціональні (див. теорему 3 глави 1, §9).
(c) Існують незліченні набори нульової міри (див. Задачі 8 і 10 нижче).
Міра\(E^{n}\) Лебега в повному, топологічному і повністю\(\sigma\) -кінцевому. Тобто,
(i) всі нульові множини (підмножини множин нульових вимірювань) є\(L\) -вимірюваними;
(ii) так і всі відкриті набори,\(\left(\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{G}\right),\) отже, всі набори Borel\(\left(\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{B}\right);\) зокрема,\(\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{F}, \mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{G}_{\delta}, \mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{F}_{\sigma}, \mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{F}_{\sigma \delta},\) і т.д.;
(iii) кожен\(A \in \mathcal{M}^{*}\) є зліченним об'єднанням нероз'єднаних множин скінченної міри.
- Доказ
-
(i) Це випливає з теореми 1 в §6.
(ii) За Lemma 2 в §2, кожен відкритий набір знаходиться в,\(\mathcal{C}_{\sigma},\) отже, в\(\mathcal{M}^{*}\) (Примітка 1). Таким чином\(\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{G}.\) Але за визначенням, поле Бореля\(\mathcal{B}\) є найменшим\(\sigma\) -кільцем\(\supseteq \mathcal{G}.\) Отже\(\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{B}^{*}\).
(iii) Як\(E^{n}\) відкрито, це зліченний союз нероз'єднаних напіввідкритих інтервалів,
\[E^{n}=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \text { (disjoint),}\]
з\(m A_{k}<\infty\) (Лемма 2 §2). Звідси
\[\left(\forall A \subseteq E^{n}\right) \quad A \subseteq \bigcup A_{k};\]
тому
\[A=\bigcup_{k}\left(A \cap A_{k}\right) \text { (disjoint).}\]
Якщо, далі,\(A \in \mathcal{M}^{*},\) то\(A \cap A_{k} \in \mathcal{M}^{*},\) і
\[m\left(A \cap A_{k}\right) \leq m A_{k}<\infty. \text{ (Why?)} \quad \square\]
Примітка 2. Більш загально,\(\sigma\) -скінченна множина\(A \in \mathcal{M}\) в просторі мір\((S, \mathcal{M}, \mu)\) - це зліченне об'єднання нез'єднаних множин скінченної міри (Слідство 1 з §1).
Примітка 3. Не всі\(L\) вимірювані набори - це набори Borel. З іншого боку, не всі набори\(L\) - вимірювані (див. Проблеми 6 та 9 нижче).\(E^{n}\)
(а) Зовнішня міра\(E^{n}\) Лебега\(m^{*}\) в\(\mathcal{G}\) -регулярний; тобто,
\[\left(\forall A \subseteq E^{n}\right) \quad m^{*} A=\inf \{m X | A \subseteq X \in \mathcal{G}\}\]
(\(\mathcal{G}=\)відкриті набори в\(E^{n}\)).
(б) Міра Лебега\(m\) є сильно регулярною (визначення 5 та теореми 1 і 2, все в §7).
- Доказ
-
За визначенням,\(m^{*} A\) є glb всіх базуючих покривних значень.\(A.\) Таким чином, дається\(\varepsilon>0,\) основне покриття\(\left\{B_{k}\right\} \subseteq \mathcal{C}\) непорожніх множин,\(B_{k}\) таких, що
\[A \subseteq \bigcup B_{k} \text { and } m^{*} A+\frac{1}{2} \varepsilon \geq \sum_{k} v B_{k}.\]
(Чому? Що робити, якщо\(m^{*} A=\infty\)?)
Тепер, по Lemma 1 в §2, зафіксуйте для кожного відкритий\(B_{k}\) інтервал\(C_{k} \supseteq B_{k}\) таким чином, що
\[v C_{k}-\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}<v B_{k}.\]
Тоді (2) дає
\[m^{*} A+\frac{1}{2} \varepsilon \geq \sum_{k}\left(v C_{k}-\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}\right)=\sum_{k} v C_{k}-\frac{1}{2} \varepsilon;\]
так по\(\sigma\) -субадитивності,
\[m \bigcup_{k} C_{k} \leq \sum_{k} m C_{k}=\sum_{k} v C_{k} \leq m^{*} A+\varepsilon.\]
Нехай
\[X=\bigcup_{k} C_{k}.\]
Потім\(X\) відкрито (як\(C_{k}\) є). Також,\(A \subseteq X,\) і по (3),
\[m X \leq m^{*} A+\varepsilon.\]
Таким чином, дійсно,\(m^{*} A\) є\(g l b\) з усіх\(m X, A \subseteq X \in \mathcal{G},\) доказів (а).
Зокрема, якщо\(A \in \mathcal{M}^{*},\) (1) показує, що\(m\) є регулярним (for\(m^{*} A=m A). Also, by Theorem 2, \(m\) є\(\sigma\) -скінченним, і\(E^{n} \in \mathcal{M}^{*};\) так (b) слідує теорема 1 в §7. \(\quad \square\)